Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Так как функции хд = Ь' ~6(х) (ь = 1, 2,..., п — 1) удовлетворяют этому уравнению (см. (6.19а)) и их градиенты линейно независимы, то они могут быть использованы как функции Л, (г = 1,2,...,г — 1). Пругие и — г функций, удовлетворяющих (6.23), примем за переменные х„оы ..., хо. Итак, все переменные выбраны. Однако нужно показать, что градиент функции х„, которая не удовлетворяет уравнению (6.23), линейно не зависит от градиентов остальных переменных. Попустим противное: градиент ь7хе линейно выражается через градиенты остальных переменных, т.е. существуют функции сн(х) (1 — 1,... ...,г — 1, с+ 1,...,п) такие, что Чх, = ехь'7зз +...
+о„х'7х, ь +схе.ьь~'х„ы +... + зух„. Умножая справа обе части этого равенства на н, получим Тдхг = о11дх! + ° + ое — 11дхе — 1 + не+11 две+1 + . + Тоха. Все слагаемые в правой части полученного равенства равны нулю, так как все они удовлетворяют уравнению (6.23). Поэтому Ьдх, = О, что противоречит условию (см.
(6.19б)) Ед х„= Е Ь' ~ И,х) у'. -О. ~з 196 Гв. б. Линеаризаиия обратной связью После нахождения и — г решений уравнения (6.23), для того чтобы использовать их в качестве переменных внутренней динамики, нужно убедиться, что их градиенты линейно независимы между собой и с градиентами остальных переменных, т.е. выполняется неравенство 11ек( — ) = 11еу( ') ~0 11, к = 1,2,...,п). Если полученное преобразование представить в виде к = Ф(х), то оно, являясь диффсоморфизмом, преобразует систему (6.18) в нормальную форму вида 16.21) с о1к(11 к~г)) 12 й(х) Р ей ~ф — 11к)) 16.24а) о(к01,к1~1) = ЬоТ" 'Ь1х) = Т Ь" "11.~Ф '1к)).
16.246) Пример 6.10. Система описывается уравнениями — х г 1 0 Х= хгхг + 1 и, у=6(Х)=хз. Х2 0 Произвести линеаризацик1 обратной связью по выходу. Решение. Так как У = хз = хг, У = йг = х1хг+ и, то относительная степень г = 2. Поэтому в качестве первых двух новых переменных примем выходную переменную и ес производную: 21 = у = хз, 22 = у = хг. Третью переменную найдем из уравнения ЬвЛ = СУЛ8 = = О. дЛ дхг Этому уравнению, в частности, удовлетворяет функция Л = х1. Примем эту функцию в качестве третьей переменной: гз = х1.
Убедимся, что выбранные переменные являются независимыми: 0 0 1 бе1( — ) = 0 1 0 = — 1~0. 1 0 0 Итак, найденное пРеобРазование имеет вид к = (хз хг х1)т, а обРатное 11РеобРазование вид х = 122 22 21)т. В соответствии с формулой 16.24) имеем п(к) = 1111 = 1 у(Т у11) = 1 ухг = (О 1 О) е = х1хг = 2222, 6(к) = г,Т,,Ь = 'Ухгк = (О 1 О)Н = 1. Так как йз = х1 = — х1 = — гз, уравнение в новых переменных в нор- 2 2 мальной форме 1см. 16.21а) и 16.216)) принимает вид 2 41 22 22 2222 + и йз гз: У 21 ИспользУЯ пРеобРазование обРатной свЯзью и = — гзгг + и, полУчим 2 22 — и гз — 22. 21 — 22~ 6.6.
Нуль-динамика и синтез алеоритмов управления 197 6.6. Нуль-динамика и синтез алгоритмов управления Линеаризация обратной связью по выходу ра.збивает уравнения нелинейной системы на уравнения внешней и внутренней динамики. При этом внешняя динамика описывается дифференциальными уравнениями, содержащими управление и, линейно связанное с выходом у. Поэтому легко синтезировать управление и так, чтобы у изменялся нужным образом. Однако синтезированный таким образом закон управления представляет интерес, если внутренняя динамика будет устойчива и соответственно ее координаты ограничены. 6.6.1. Нуль-динамика. Внутренняя динамика описывается последними и — г уравнениями в нормальной форме (6.21б): кйз~ = = ис(хп~,хаб).
В общем случае эти уравнения зависят от внешнего состояния хп~. Однако когда управление таково, что выход тождественно равено нулю (у = 0), внутренняя динамика не зависит от переменных внешнего состояния. Определение 6.9. Нуль-динамикой нелинейной системы называют ее динамику при условии, что выход тождественно равно нулю (у - =О) Так как при у = О все производные по времени выхода, равны нулю, уравнение нуль-динамики в нормальной форме (6.21) имеет вид йо1 = О, хрб = зу(0, крб). Управление, требующееся для подержания условия хр~ = О, получа- ется из соотношения йс = о(ко~, кбб) + Ь(ко~, кбб) и = О и имеет вид а(О, хоп) Ь(О, хоп) Рассмотрение нуль-динамики связано с тем, что в общем случае нуль-динамика описывается более простыми уравнениями, чем внутренняя динамика, и в то же время исследование нуль-динамики позволяет судить об устойчивости внутренней динамики.
Как увидим дальше, для задачи слежения локальная (неглобальная) экспоненциальная устойчивость нуль-динамики гарантирует устойчивость внутренней динамики, если желаемая траектория и ее производная до (г — 1)-го порядка принимают малые значения. В случае стабилизации локальная асимптотическая устойчивость нуль- динамики гарантирует асимптотическую устойчивость внутренней динамики. Нуль-динамика является внутренним свойством нелинейной системы, а ее устойчивость не зависит от выбора закона управления и = и(х~Ц, у ) и желаемой траектории.
198 Гл. б. Пинеаризачия обратной связью 6.6.2. Синтез алгоритма стабилизации. Пусть точка х = 0 является положением равновесия системы (6.18); 1'(0) = О. Следующая теорема указывает на то, что если нуль-динамика асимптотически устойчива,то регулятор, синтезированный на основе линейной части, может стабилизировать систему в целом. Теорема 6А. Пусть система (6.18) имеет опьносительную степень г ( и и линеаризованная (путем разложения в ряд Тейлора) модель ее нуль-динамики асимппьотически устойчива. Тоеда если полинам (6.26) усп1ойчив, то закон управления и = —,, (7~11+ оь 1Л" '11+... + оЯ111+о011) (6.26) 76'1й обеспечивает локальную асимптотическую устойчивость замкнусаой сисгпемы.
Доказательство. В новых координатах замкнутая система управления может быть представлена в виде 2 ~ =А112 (6.27а) 209 — ю(2С1) 2С11) О 1 О ... 0 0 О 1 ... 0 где А11 = 0 О О ... 1 110 С11 оз ... ов — 1 Уравнение внутренней динамики после линсаризации путем разложения его правой части в ряд Тейлора можно преобразовать к виду хбб = А11201+ АззхС~1. (6.276) Исследование устойчивое:ти нуль-динмики намного проще исследования устойчивости внутренней динамики, так как нуль-динамика включает только внутренние координаты, в то время как внутренняя динамика связана с внешней динамикой и желаемой траекторией.
Если относительная степень нелинейной системы равна ее порядку,то линеаризация обратной связью по выходу полностью линеаризует систему, и нелинейная задача синтеза сводится к линейной. Если же относительная степень меньше порядка системы, то линеаризация обратной связью по выходу только частично линеаризует систему, и пригодность синтезированного на основе линейной модели закона управления зависит от устойчивости внутренней динамики. Изучение внутренней динамики может быть упрощено, если его заменить изучением нуль-динамики. 6.6.
Иуль-динамика и синтез алгоритмов управления 199 Отсюда для линеаризованной модели нуль-динамики имеем кйг) = Аггк(2) Линеаризованная модель всей системы описывается уравнением кы~ Агз Агг кбб Характеристический полипом уравнения (6.27а), описывающего внешнюю динамику, или, что то же, матрицы Ам, совпадает с устойчивым полиномом (6.25). Характеристический полипом линеаризованной модели всей системы имеет вид с1ей ~ 1 1 — — с)е1 Аы деу Агг (Аы О 21 22 и будет устойчив, если устойчивым будет характеристический полинам с1сь Агг линсаризованной модели нуль-динамики. Но тогда исходная нелинейная система в соответствии с теоремой Ляпунова об устойчивости по линсаризованной модели будет асимптотически устойчива. Теорема доказана.
6.6.3. Синтез алгоритма управления в задаче слежения. Управление (6.26) легко можно распространить на задачу слежения, включив в него величину, определяющую желаемое движение. Пусть у (С) определяет желаемую траекторию. Для ошибки слежения и ее производных по времени введем обозначения (О РО е,= у — у„с=со=у — у (1=0,1,2,,г). При законе управления 1 ь Ф и = —, (Ь~Ь вЂ” у +о„,е„, +...
+о,е, +посо) (6.28) 55" 5 уравнение замкнутой системы примет вид е = Аые, кбб = и(е+ у, кбб), где е=(еоеь ... е„1)'', у =(у у ... у )'. (6. 29) Теорем а 6.5. Лусии система (6.18) имеет относительную степень г < и и нуль-динамика экспоненииально устойчива. Тогда если полинам (6.25) ус аойчив и желаемая траектория у (1) и ес г — 1 производных достаточно малы, то управление (6.28) обеспечивает сходимость к нулю ошибки слежения при неограни ьенном увеличении времени и ограниченность переменных внутренней динамики: е(1) — > О, 1 — ь сю; ~к~~~~ ( б (б ) О).
200 Га. б. Линеаригаиия обратной связью Показательство. Так как внешняя динамика системы (6.29), представляющая устойчивую линейную систему, экспононциально устойчива, то ошибка слежения е(г) сходится к нулю экспоненциально. Поэтому достаточно показать, что внутреннее состояние хрб остается ограниченным, когда е(1) в 0 при 2 — г оо.
Лля этого воспользуемся прямым методом Ляпунова. Но прежде всего отметим следующее. а) Так как по условию у (1) и ее г — 1 производных достаточно малы (ограничены), то существует положительное число бг такое, что ~у .~ < бг. б) Так как и (хр~, хбб) гладкая функция, то выполняется условие Липшица ~ги(е+у,хбб) — ги(О,хбб)( <1и~е+у ~ ( < 1ю()е( + )у )) < г ()е) + бг). в) Так как нуль-динамика экспоненциально устойчива, то согласно теореме Красовского (см.
гл. 7) для нее существуют функция Ляпунова и положительные числа сы сг, сз, сг такие, что справедливы неравенства сг)к~э~~э < )гг(х~г~) < сг~к(г)~г д1'г (гг < 00 2 дЪ'г ~ < <,, го(О,х ) < — сз/х ), м ~ < св. Функцию Ляпунова для системы (6.29) будем искать в виде Г(е,к~ ~) = е Ре+ дггг(х~ ~), где Р положительно определенная матрица, удовлетворяющая уравнению Ляпунова Ат Р+ РАы 1 д положительная постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
