Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 29
Текст из файла (страница 29)
2=1 Здесь т; (у = 1,2,...,т) — произвольные постоянные, т О = т+ 1, т + 2, ..., р) произвольные положительные постоянные. Локальная связь о г'(с,я,п) = ~ т ЕЯ,с,п) > 0 1=1 с одной формой эквивалентна исходной локальной связи с р формами. 6) Если система содержит нелинейность, которая имеет вид и = (а соя 2 + Ь э1по)С, то ее можно представить как систему, содержащую две нелинейности вида и1 = бсое1, ие =Сз1п При этом локальную связь можно определить равенством г' = С~ — и1 — из = О.
2 2 2 Пример 5.6. Система описывается уравнениями Те1 + е1 = Й1и1 -~- Й2и2, Т е2 + 1-'2 — о2и1 о1и2 и; = Де1, 2), 1 = 1, 2, где Т,. Й1, Й2 -- положительные постоянные, ((ео Ь) -- неубывающая по переменной е1 функция, удовлетворяющая при всех 1 > 0 условию 2(0 о) =О, 0< ' <Д при с~О. е, Определить значения постоянных Т, Ь1, Ь2, при которых положе- ние равновесия системы асимптотически устойчиво в целом. б,б.
Квадратаииими ириюерий абсоа»о»ивой усшойчивосгаи 167 Е» (з) йз Ез(з) 1с» е»1(з) Тз + 1 Уз(з) У Б» 1 Если использовать обозначение Ит, = й;)(Тз+ 1), то матричную передаточную функцию можно записать в виде И11 И12 И1 И2 С помо»цью передаточных функций уравнение системы в изображениях Лапласа можно записать в виде Е2(э) И 2(з) И'1(з) с'2(з) Е1(з) И 1(з)~'1(з) + И 2(з)с'2(з)~ или (5.40а) (5.406) Е2(з) И 2(з)»'»(з) И »(з)с'2(з) Нелинейности удовлетворяют локальной связи 1 / 1 Е» = »»е» — — и»)и» > О, Ег = ~ сз — — и»)из > О, 11 ) - (, »У Ез = (е» вЂ” ез)(и» вЂ” из) > О.
или 1 Е(е,.п) = т»Е1 + т272+ тзЕз = т» (е» вЂ” — и»)и» + 1 +тз(ез — — из)из+ тз(е» вЂ” ез)(и» вЂ” из) > О, т; > О, 1 = 1,2,3. Здесь е = (е» ез) и п = (и» из) . «Нелинейность» п = 0 удовлет т творяет локальной связи: Е(е,О) = О. Примем эту нелинейность в качестве нелинейности сравнения. В этом случае система сравнения принимает вид Те»+е» = О, Тез+ез = 0 и представляет собой две не связанные между собой линейные системы.
Эти системы устойчивы (асимптотически устойчивы в целом). Поэтому рассматриваемая система минимально устойчива. Решение. Найдем матричную передаточную функцию линейной части Ит = (И',ь), где Ить = Е,(з)/Уь(з) (1, х = 1, 2). Для этого произведем преобразование Лапласа исходных уравнений, описывающих линейную часть, при нулевых начальных условиях: ТзЕ,(з) + Е»(з) = — к»»11(з) + Й2Г~(з). ТзЕ2(з) + Ез(з) = кз»11 (з) — к»Ю2(з).
Отсюда, положив Уз(з) = 0 при определении И'и и У»(з) = 0 при определении Ит,з, находим Е»(з) й» Е1(з) аз 168 Го. б, Абсоок11пноя устойчивость Так как квадратичные формы Е1 и Рг похожи, дальше примем т, = тг = т. Эрмитово расширение квадратичной формы Е(е, и) имеет вид т (Е(З)~ с~) ььс (1 (Е1(З) с 1)Н1 +1 (Ег(З) сг) с2 + + тз [Е1(з) — Ег(з)](Н1+ Нг) ~. Подставив сюда выражения для Е1(з) и Ег(з) из (5.40а), (5.40б) и положив з = гог, получим Р(уы, Т1) = Пе (т [ — ИТ1(бог)У1 + И 2(уог)У2 — — Ь1] У1* + 1 + Т [Иг(уы)У1 — И 1(аког)Н2(з) — — Гг] Нг + + тз [ — И1(гог)Н1 + Иг(зог)Н2(з) — Иг(гог)Н1 + И1(бог)Н2[(Н1 — Нг) ), или, после перемножения и приведения подобных членов, Р(у' ~, ~Л) = — Ве ( [(Т + Тз)И 1 Оог) + ТзИТг (1ог) + — ] Н1 Н1* + + [(т+ тз)И 1оог) + тзИ2(го ) + ]Н2Г2 ~ тзИ 1(гог) + (тз + 'Г)И 2(гог)] о1й~г — [тзИТ15ог) + (Тз+ Т)ИТг(аког) Н2Н1 ~. Подставив выражения для передаточных функций, найдем Пе [(т+ тз)Ит1(1ог) +тзЪгОог) + ] — + '+ ' ' + —, — А, (ты)2+ 1 И (.
) ( )И, (. ) [тзо1 т (тз с т)ьг)(1 ТУ~~) В +1 Используя эти обозначения, частотное условие можно записать в видо Р(уог, Б) = — (АЬ1У1* + АГдУ2 — Пе (ВН1Б~ + ВГ2У1*)) < О, или Е1(уы, и) = — Пе (Н'Н О )и) = -11*НО Ж, где Н,Цсо) = ~, Н(1ог) = — [Н1(~ог) + Н;(1ог)), А — В) . 1 ~-~ — (Н1 с'2) Элементы 511 (г, к = 1,.2) матрицы Н определяются следующим образом: (т т ть)М1 т тзйг т (Т )г+ 1 + (У~ 6.6. Круговой нригаерий абсолютной устойчивости 169 1 (д г)*) [гзй1 с ('"3 с г)нг] 2 (Твг)г -'с 1 Частотное условие будет выполнено, если эрмитова матрица Н(у ~) будет положительно определенной.
Согласно критерию положительной определенности эрмитова матрица ТХОаг) будет положительно определенной, если ее главные угловыс миноры будут положительны: (г + тз)1сг + тзйг т (Твг)г -Ь 1 6 'лг — гг11522 гг12гг21 (т + гз)Й~ + тзаз г ] [ [г Мг + (тз + т)иг] ~ =[ (Т )'+1 61 ( (Т )г+1 Так как все параметры положительны, первое неравенство выполняется при — оо < аг < сю.
Чтобы определить, при каких значониях параметров будет выполнятся второе неравенство, представим его в виде (с+ тз)лг + гзйг т 1 ~ [тзаг+ (тз+ т)аг] 1 + — ] > (Т-)г+1 (Тю)г + 1 Так как в обеих частях выражения в скобках положительны, то последнее неравенство можем записать в виде (г 3- тз)йг -'с тзй т [гзйг + (ге+ т)ЬгЗ (Тю)2 + 1 (1 (Тог)г -'„1 Если обе части приведенного неравенства умножить на (Таг)~ + 1 и положить т = 1112 и тз = 1/Йг, то получим — '+ — '[(Таг)'+Ц >1.
йг (1 Это неравенство будет выполнено при — оо < аг < оо, если оно будет выполнено при аг = О. А при ог = О последнее неравенство будет выполнено и соответственно рассматриваемая система будет асимптотически устойчива в целом, если йг 1 — + — > 1. йг ~Иг 5.6. Круговой критерий абсолютной устойчивости Рассмотрим опять задачу об абсолютной устойчивости в угле [о, Д] нелинейной системы с одной нелинейностью (рис. 5.5, а). Как было показано, в этом случае класс нелинейностей (нелинейность в общем случае является нестационарной) может быть определен локальной связью г'(е, и) = ()ге — и)(и — сге) > О зг'1 > О.
170 Пь 6. Абсопютнпн усгпойчпвосспь Рис. 5.5. Нелинейная система (а) и система сравнения 6 Наряду с данной системой рассмотрим систему сравнения (рис.5.5, 6), в которой нелинейное звено заменено линейным звеном с передаточной функцией И~,(р) = р, д б [о,)з). Пусть передаточная функция линейной части имеет 1 полюсов в правой полуплоскости и не содержит полюсов на мнимой оси. Тогда по критерию Найквиста для того чтобы система сравнения была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы (т.е.
годограф частотной передаточной функции Иг(ую) = НИ' (уы) при 0 < ы < оо) охватывала точку ( — 1,10) 1/2 раз против часовой стрелки. Или, что то же, для того чтобы система сравнения была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной передаточной функции линейной части И'„(~о~) при 0 < ю < оо охватывал точку ( — 1/д,уО) 1/2 раз против часовой стрелки. Очевидно, для того чтобы система сравнения была робастно устойчива в интервале [а,Д] (т.е. при всех 1з Е [а,Д[), необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной передаточной функции линейной части Иг (уьо) охватывал отрезок [ — 10э', — 1/а) на действительной оси 1/2 раз против часовой стрелки.
В частности, если линейная часть устойчива, для того чтобы система сравнения была робастно устойчива в интервале [а,Я), необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной передаточной функции линейной части И' (ую) не охватывал указанный отрезок (рис. 5.б, а). Круговой критерий абсолютной устойчивости в угле [а,)з1 является общением критерия Найквиста робастной устойчивости на интервале линейных систем на нслинейныс системы. При этом роль отрезка [ — 10), — 1/а) на вещественной оси играет окружность с центром на вещественной оси, пересекаюгдая вещественную ось в Рис. 5.5.
Иллюстрации к робастной (а) и абсолютной (6) устойчивости 6.6. Круговой критперий абсолютной устпойчивостпи 171 точках — 1//1 и — 1/тх (см. рис. 5.6, б). Эту окружность называют [о, Я-окружностью. Круговой критерий абсолютной устойчивости. Пустив система сравнения устойчива при каком-либо р б [о,Я, О < о < < т3 < оо, .передаточная фтункиття линейной части имеет 1 полюсов в правой полуплоскости и не имеет полюсов на мнимой оси. Тогда для того чтобы нелинейная система была абсолютпно устойчива в угле [о,Я, достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика линейной части охватывала [ои Я-окружность 1/2 раз прогнив часовой стрелки.
Если 1 = О (линейная частпь устойчива), то для того чтобы нелинейная система бала абсолюлтно устойчива в угле [о, Я, достапточно, чтобы амплитудно-фазовая харакптеристпика линейной части не пересекала [о,Я-окружность (см. рис. 5.6, 6). Покажем круговой критерий, пользуясь квадратичным критерием. Эрмитово расширение квадратичной формы Е(е,и) = (,Зе — и)(и — ое) имеет вид Р(Е(в), П) = Пс[1з Е(в) — П)[П вЂ” о Е(в))*. При д = О имеем (см.
рис. 5.5, а) Ь(в) = — И„(в)П. Подставив это выражение для Е(в) в последнее равенство и положив в = дш, частотное условие можно записать в виде Е(~ш, П) = — Пе[/тИт (~ш) + Ц[1+ о И'„(уш))* [П[ < О. Так как о,З > О и строгое неравенство должно выполнятся при П ~ О, то частное условие можно представить в виде Пе[И'л(дш) + — ~ [ — + Ить(~ш)1 > О. Представив частотную передаточную функцию в виде И'Ош) = = П(ш) + дЪ'(ш), левую часть частотного условия можно преобразовать следуюшим образом; Пе[У(ш) + у И(ш) + — ~ [ — + Иш) — ур(ш)~ = [П( )+ ~~ [1 +тгт( )~ +1,2( ) Пг( )+ (1 + т)П( )+ 1 +1;2( ) 2 (~3 ст)1 4 (о 3) 172 Гль б.
Абсооянпноя усгпойнивость Обозначим полученное выражение для левой части частотного условия С[У[со), $'[о~)] и приравняем его нулю: С[ЬГ[ы), $'[ы)] = ~У[со) + — ( — + — )~ + $" [оо) — — ( — — — ) = О. Это уравнение [а,)1]-окружности -- уравнение окружности, пересекающей вещественную ось в точках — 1/а и — 11О1, имеющей радиус [1/2) [1/а — 1111) и центр, расположенный на вещественной оси. На вещественной плоскости [У,И) вне [а,)з]-окружности С[У[со), Г[ы)] > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
