Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 28
Текст из файла (страница 28)
5.5.2. Локальная связь. Минимальная устойчивость. Рассмотрим многомерную систему., которая описывается уравнением х = Ах+ Вп, п = Щ, у = Сх, й = — у, х 6 В", у 6 В'", п 6 В", (5.35а) или у=Иг(р)п, .п=щ, й= — у, (5.356) где И' (р) = С(1р — А) ~В (т х г)-матричная передаточная функция. Система содержит г нелинейностей 1(й). Переменные й и п являются векторными функциями времени: й = й(г), п = 1(й(1) ) = п(1).
Пусть задана вещественная квадратичная форма г'(й, п, п) и множество нелинейных звеньев задается условием (5.36) Е(С(1).й(1),п(1)) > О Ч1 > О. В квадратичной форме г'(й, й, п) переменные й, й, п рассматриваются как независимые. В частном случае какие-либо переменные в квадратичную форму могут не входить. Тогда соответствующие переменные будем опускать. Соотношение (5.36) называют локальной связью [63). Определение 5.1.
Есливыполняотсяусловие (5.36), тоговорят, что функции й(1) и п(1) удовлетворяют локальной связи с формой Г(й,й,п). Локальную связь (5.36) также будем записывать в виде Р(~,~,п) > О или Рф(',Г(() > О. Ы д.П. Ким 162 Гл. б, Абеолютнав устойчивость Определение 5.2. Система (5.35а), или (5.356) называется минимально устойчивой в заданном классе аелинвйношпей (нелинейных звеньев), если она асимптотически устойчива в целом при какой-либо нелинейности 1® из указанного класса. Рассмотрим локальную связь (5.33): г'(й,п) = ()уй — п)(п — ой) > 0 в случае одномерной системы, т. е. при т = т = 1. Как было показано, эта локальная связь определяет тот же класс нелинейных звеньев, что и соотношение (5.32). Этому классу нелинейных звеньев принадлежат линейные звенья и= у(, о( у(,3.
Поэтому если система у=Иг(р)и., и= ус', с'= — д устойчива при каком-нибудь у Е [а,(1]., то нелинейная система (5.356) минимально устойчива в классе нелинейных звеньев, опредсляемых локальной связью (5.33). Нелинейность,при которой будет устанавливаться минимальная устойчивость, будем называть нелинейностью сравнения. а саму систему при этой нелинейности системой сравнения.
Часто нелинейность сравнения берется в виде с = О. В этом случае система (5.356) минимально устойчива в класс функций с локальной связью (5.36), если г'(й(1), С(1), 0) > 0 при любых я и линейная часть устойчива. 5.5.3. Квадратичный критерий. Лля формулировки квадратичного критерия потребуется следующее преобразование квадратичной формы, определяющей локальную связь: 1) квадратичная форма г'(й, й, п) расширяется до эрмитовой формы заменой переменных й, й, п их изображениями й(в), й(в), 11, 2) производится постановка й(в) = — Иг (в)11 и й(в) = — вИ' (в)11: гч(в,11) = Р( — И'(в)11, — вИг(вЩ 13).
Таким образом, преобразование квадратичной формы сводится к расьпирению ее до эрмитовой и последующей замене переменных их изображениями Лапласа, найденными при нулевых начальных условиях. При этом изображение выходной переменной нелинейного звена 11(в) рассматривается как независимая комплексная переменная, и его записывают без аргумента, т. е. в виде 11.
Рассмотрим в качестве примера локальную связь (5.33) в случае одномерной системы. Расширенная до эрмитовой ее квадратичная форма принимает вид г'(в, 11) = г'фв),11(в)) = Не(]13Дв) — 11]" (13 — оД(в)]). б.б, Квадратичный критерий абсолютной устпойчивости 163 Подставив сюда выражение для изображения й(в), которое определяется исходя из заданных уравнений системы при нулевых начальных условиях, получим Е(в, ) = - .((1П ,(в) + П) ( + - .(.) И = — (( ( )+ Г(1+ ( ))) ~ Квадратичный критерий (В. А. Якубович [63) ). Пусть нелинейная сисоьема (5.35а) или (5.356) минимально усп1ойчива в классе нелинейных звеньев, заданных локальной связью с формой Е(с,й,п), и матрица А не имеет собственных значений на мнимой оси, или, что то же, характеристи сеское уравнение ее линейной части не имеет корней на мнимой оси.
Тогда ее положение равновесия абсолютно устойчаво в указанном классе нелинейных звеньев, если эрмитова форма Р(ы,1э) отрицательно определена при — оо < ы < оо, т. е. вьтолнено условие Р(уы,11) < О при —;ю ( ы ( оо и любом Г ф О. (5.37) При этом имеет место экспоненциальная сходимость (устойчивость), т. е. существуют постоянные С > О и е > О такие, что при любом 1 > со выполняетпся неравенстпво !х(Х)! ( С/х(1в)!е 'О "1 (5.38) Условие (5.37) называется часп1отным условием. Если эрмитову форму Е(~ьэ, Щ представить в виде Гоог, 11) = — 11*Н(уьэ) Ъ3, то частотное условие равносильно тому, что матрица Н(~ог) является положительно определенной при — оо < ог < оо.
Эрмитова матрица Н(~ы) положительно определена при — со < < вг < оо в то.н и гаолько п1ом случае, если она положительно определена при ы = оо и детерминант от, нее не обраи1ается в нуль при — сю < ьэ < оо: Н(уоо) > О, 11ехН(у~) ~ О цри — оо < ы < со. (5.39) Покажем это утверждение. Заметим, что первое неравенство (5.39) означает, что матрица Н(уоо) = !пп Н(у ~) является положительно '-э х определенной.
Положительная определенность матрицы Н(учо) для всех †< < ы < со равносильна положительности ее собственных значений Лг(уы) (г = 1,2,...,п). Поэтому условие де1 Н(учо) = Л1(1ьг)Лг(учо)... Лооы) у'. -О является необходимым, чтобы матрица Ноьэ) была положительно определенной для всех — оо < ы < оо. Постаточность условия (5.39) следует из того, что Л,(усе) > О и Л,Цог) ~ О (г = 1,2,...,п). И 11* Гль б. Абсовнггвная устоинивость Пример ос.б. Исследовать устойчивость системы у+ 4у+ (2+ соз1)у = О.
Решение. Представим уравнение системы в виде у+ 4у+ 2у+и = О, и = усоз1, или И' (р) =,, и = у соз й 1 рг ч- 4р -~- 2 ' у = — И'„Р)ии, Здесь входом «нелинейного» звена является у, выходом и. В качестве локальной связи примем соотношение Г(у и) =у — иг =у — у совг1=у сйп 1> О Система минимально устойчива в рассматриваемом классе, так как линейная часть устойчива и г'(гу,О) > О при любом у.
Эрмитово расширение квадратичной формы этой локальной связи имеет вид Р ( 11) ггг(У( ) сс) У ( )У( ) 11 П ~У()~г ~11~э Подставив скгда выражение для У(в) и положив в = усо, для частот- ного условия получим Г(до, У) = ((И' (аког)(~ — 1)~Цг < О. Так как это неравенство должно выполняться при сг ~ О, то обе части неравенства можно разделить на ~Ц~. Квадрат амплитудной частотной функции линейной части имеет вид г 1 )~ (2 г) с 1в ,г' Подставив это выражение в частотное условие, его можно представить в виде 1 — (2 — шг)г — 1богг < О, или — ч — 12 ог — о 4 < О Очевидно, последнее неравенство выполняется при — оо ( ог ( оо.
Следовательно, положение равновесия рассматриваемой системы асимптотически устойчиво в цепом. поскольку Л,(~ог) — непрерывные функции ог, то все Л,(уог) > О для всех — оо < ог < со. Следовательно, Ноог) положительно определенная матрица. Квадратичный критерий можно использовать для исследования глобальной асимптотической устойчивости отдельных нестационарных и нелинейных систем. Для этого нужно задать локальную связь так, чтобы класс нелинейностей, который она определяет, включал данную нелинейность.
При этом желательно локальную связь (или, что то же, квадратичную форму) выбирать так, чтобы класс нелинейностей, который она определяет, был как можно менее объемным. б.б. Квадратичивсй криюсрий абсввгвгливй усшвйчаввсгаа 165 5.5.4. Методы построения квадратичной формы локальной связи. Чтобы воспользоваться квадратичным критерием при исследовании устойчивости каких-либо систем, нужно по заданным уравнениям системы строить локальную связь, т.
е. определять класс систем, в который можно было бы включить данную систему. В зависимости от конкретного вица нелинейностей возможны различные способы задания локальной связи [63). 1) Как уже было показано, если нелинейность и = 1(~) принадлежит к классу, определяемому неравенством о < Д~)Д ( д, то локальная связь может быть задана в виде г'(с,и) = (Я вЂ” и)(и — ос) > О. Если о = 0 и 0 < Д < оо, то эта связь принимает вид г'(с,и) = и()с — и) ) 0 или Е(с,и) = и(Я вЂ” Д ~и) > О. 2) Если система содержит две нелинейности вида иг — — сг, иг = = ~з или иг = ~з, иг = ~', то локальную связь можно задать в виде равенства Е(с, и) = сиг — и~г = О.
3) Система содержит две одинаковые нелинейности и, = 1(сов) (г = 1,2), и ~((о1) является неубывающей функцией переменной ~, при всех 1 ) 0: Д~,', 1) ( Д~,", 1) при й,' < Ц'. В этом случае локальную связь можно задать в виде Е(6п) = (6 — 6)(ис — иг) > О- 4) Система содержит две одинаковыо нелинейности ив = 1(й„с) (г = 1,2), и функция (ф,1) удовлетворяет следующему условию; о < д~®,1)/д(, < д при всех 1 > О. В этом случае локальная связь может быть задана в виде г'(й, и) = [~3((г — сг) — (и, — иг))[(и, — иг) — о(йг — ~г)) > О.
Покажем, что эта локальная связь имеет место, если исходное условие, которое можно представить в виде (з — — >О, — — о>0, дт дт дб, ' дс, выполняется. При сг > сг локальная связь справедлива, так как / (Д вЂ” ' ) с(р = Д((г — сг) — (иг — иг) ( О, дУ(г г) др и — о) с1р = (гн — иг) — о® вЂ” сг) ( О. ГОУ(д,г) др и 166 Гль б. Абео ито1лноя устойчивость При С1 < С2 она справедлива, так как /(Р— . ' ) 11р =Р(61 — с2) — (и1 — и2) > О, дйр: П др о) др = (и1 и2) — е4(С1 С2) ~ >О. с тду(р,2) др б 5) Иногда локальная связь может быть задана несколькими соотношониями в виде равенств и неравенств: Р'1((',(',п) = О, 1, '= 1,2,...,т: Р'ьЯ,~,п)>0, Ь=т+1, т+2, ..., р. Такую локальную связь можно преобразовать в локальную связь с одной формой, свернув все квадратичные формы в одну: Г((, (, п) = ~ туго ф (, п) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
