Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 26
Текст из файла (страница 26)
5.3.2. Линейнаи часть неустойчива. Пусть линейная часть нелинейной системы (рис. 5.4, а) неустойчива. Преобразуем ее сле- Рис. 5.4. Преобразование структурной схемы с неустойчивой линейной частью: а — - исходная схема; б-- преобразованная схема 149 б.й. Частотные методы дующим образом. Охватим линейную часть отрицательной обратной связью звоном с передаточной функцией т, а к нелинейному звену подключим параллельно звено также с передаточной функцией т, выход которого подключен к сумматору по отрицательному входу (рис. 5.4,6). Преобразованная схема эквивалентна исходной схеме. Действительно, учитывая д = О, на входе линейного звена преобразованной схемы имеем и = 1(с) + ту — ту = 1(с), т, е, тот же сигнал, что и на входе линейного звена исходной схемы.
В преобразованной схеме передаточная функция линейной части имеет вид И'„= И' /(1+ тИт,), а нелинейность выражается равенством У.Ю =Ы) — 1 (см. рис. 5.4, б). Так как при 5 ф 0 имеем у„(5)Я = 1(Я)Я вЂ” т, то неравенство т < ((~)Д < и равносильно неравенству 0 < 1„(й)Я < < к — т. Поэтому положение равновесия исходной системы (см. рис. 5.4, а) абсолютно устойчиво в угле [т, Ц, если положение равновесия преобразованной системы (см. рис.
5.4, б) абсолютно устойчиво в угле [О,й — т~. Пусть преобразованная линейная часть устойчива, т. е. все полюса передаточной функции И'„имеют отрицательные вещественные части. Тогда по теореме Попова положение равновесия преобразованной системы абсолютно устойчиво в угле [О, к — т), если выполняются неравенства гсе(1+ ууьз)И"„(~ьз) + > О, или 1 У„(ю) — дьЬ'„(ы) >— (5.8) где Г„(ы) = ПеИт„(~ьз) и )т„(ы) = 1шИт„оы). Из изложенного выше получаем следующий критерий абсолютной устойчивости в случае неустойчивой линейной части.
Критерий Попова. Положение равновесия нелинейной системы (5.3) с неустойчивой линейной частью абсолютно устойчиво в угле [т,*в1 если все полюса преобразованной передаточной функции Ит„= И"„Д1+ тЬ7,) имеют отрицательные вещественные части и существует такое вещественное число д, что при всех ю > 0 вьтолниетси неравенство (5.8). П р и м е р 5.4. Пусть передаточная функция линейной части имеет вид Итп = 10/(р — 1). Исследовать, является ли система (см. рис. 5.3, б) абсолютно устойчивой в угле [0,2; 200).
Решение. Преобразованная передаточная функция имеет вид И'„= И'„/(1+ тИт ) = 10/(р+ 1). Отсюда для частотной передаточ- 150 Гл. б, Абсолютна» устойчивость ной функции, а также для вещественной и мнимой частотных функций имеем Условие (5.8) принимает вид 10 10ы 10+ д10ы~ 1 ьззц1 ьззч-1 ызч-1 + уьз > 200 — 0,2 ' и оно выполняется при любом д > О. Следовательно, рассматриваемая система абсолютно устойчива в угле [0,2; 200[. Как и в случае с устойчивой линейной частью, можно сформулировать частотный вариант критерия устойчивости. Для этого введем следующие частотные функции: П.
(ю)=ПМ, У'.( )= Р'( ), И'м(йю)=П ( )+ду' ( ) Функцию Ис„м(зьз) будем называть модифицированной преобразованной час»потной передато спой функниеи, а ее годограф при изменении 0 < ш < оо модифицированной преобразованной частотной характеристикой. Используя вещественную и мнимую части функции И",»Осо), условие (5.8) можно записать в виде о'„я(ьз) — дЪ"„(ьз) >— В случае неустойчивой линейной части прямая Попова эта прямая, которая пересекает вещественную ось в точке — 11(к — г) и имеет наклон 1/Ф Частотная формулировка критерия Попова. Положение равновесия нелинейной системы (5.3) с неустойчивой линейной частью абсолютно устойччво в угле [г,к], если можно провести такую пр»мую Попова, что модифицированная преобразованна» частотна» характеристика полностью располагается правее этой пр»мой.
5.4. Доказательство критерия Попова Нужно показать, что положение равновесия х = 0 системы (5.1) х = Ах+Ьи, и =1(С), С = — стх, или у = И'ч(р)и, и = 1(с), с = — у, где Ис„(р) = ст(1р — А) 1Ь, абсолютно устойчиво в угле [О, к), если выполняется неравенство (5.5а): Не(1+уды)И' Цсо) + — „> О.
1 Доказательство проведем в два этапа. Сначала покажем, что по- ложение равновесия системы (5.1) абсолютно устойчиво в угле [О, к), о4. Показал)евьеп)во критерия Попова 151 если выполняется неравенство ( в ~~~ш„(у — т) + апшо(у — т) + + ( + (1шо(0))д(д — т)~ /"(с(т)) Д((д)) йт/10 > О, (5 9) где ш (г) весовая функция линейной части, д вещественное число, е бесконечно малое положительное число, б(1) дельта- функция (функция ширака). 1. По формуле Коши (см. (1.9)) решение уравнения линейной части при начальном условии х(1о) = х можно представить в виде х(1) = Х(1 — 1о)х + ~Х(1 — т)Ъи(т) (1т. (5.10) о Здесь учтено, что в стационарном случае фундаментальная матрица решений однородного уравнения линейной части зависит от одного аргумента: Х(1, ео) = Х(г — 1о).
Умножим обе части последнего ра- венства на ст. Тогда, учитывая С = — с х и у = — (, получим у(ь) = отХ(у — /о)х + сс'( Х(ь — т)Ьи(т) йт. о Как известно, в линейных системах выход у(1) связан с входной переменой и(ь) и весовой функцией и)(ь) при нулевых начальных условиях соотношением у(1) = ~ш(1 — т)и(т) Йт. о Поэтому формулу (5.10) можно записать в виде у(1) = с~Х(1 — 1о)х + ~и/о(1 — т)и(т) /1т, о где ш„(1) = с Х(о)Ь .
весовая функция линейной части. Отсюда, учитывая Я1) = — у(1) и и(1) = /(Е(1)), получаем ((о =-~, х( -ь) ' 1"„„( -,)/((о))о,1. (к11) о Производная по времени от этой функции имеет вид (о) = - (:хо - ы. ь,.„(а)/((о)) +о -,)/(((,)) ь,~. о (5.12) Введем в рассмотрение интеграл ((г) = — ~ ((((Ы вЂ” = /(((Ы))/(((ь))ьь + ь (((Ы/(((ь)) ыь /, (523) о о 152 Пь б. Абввояювовоя уппойчиооать Подставим сюда выражения для с(у) и с(1) из (5.11) и (5.12): в 1(1) = ~~с~Х( — 1о)хо + /ш„(д — т)ДЯт)) г1т + а о в ~ ввввввв 1 ввввввв вв в в) ~ хвв — в.вг в вввввввввв в й в в /в„вв — ввввв вв в )ввввввввв. а Используя тождество ~= + Чш(0 Ц~.в (ь(г)) = / [= + Чш(0)]1(з(д))о(1 — В) ввд о и обозначение 1о(1) = ~(стХ( — 1о)хо + дстХ(д — 1о)хо) ~ЯВ)) йд (5 14) а последнее соотношение можно представить следующим образом; 1Я = 1оф -ь ~~(ш„(д — т) + дш ( — т) + о о 1 + (= + цш (0))о(д — т)).((6(т)) ((~(д)) Йт в1О. / (6(д) — ='1(6(В))) У®д)) 1В+ у ~6(ВЦ(ЦВ)) 1В < -1о(1), (5П5) а Так как рассматривается абсолютная устойчивость в угле [О,й), то 0 < 1(с)Я < й при 1 ф О.
Поэтому справедливы следующие нера- венства: УКК > О, 1 1(') < И)6 (1 — И))Я) > О. (5.16) Если условие (5.15) выполняется при й = й + ж ~(Ю вЂ”, 1ЯВ)))Я(д)) г(д+ О~ИВ)ХЯВ)) г1В < — 1 (1), о а то в силу последнего неравенства (5.16) оно будет выполнятся при любом й 6 (О, й + е]. На основании второго неравенства из (5.16) имеем Если выполняется неравенство (5.9), то при й 6 (Овй+е) имеем 1ф — 1оф > О, или — 1(1) < — 1о(1). Подставив в последнее неравенство выражение для 1(1) из (ов.13), получим 153 54.
Паказапьепьепьее кратерие Полоза / (ЦВ) —, ' /®В))) /®В)) Ю > о 3 / ( —,/ЯВ)))/ЯВ)) еИ = ее //~ЯВ)) ьЮ, о где ее — — е/(к(/е + е)). Используя зто соотношение и равенство йо по по> ,/ (В)/«(В».В= //( .~= //( .~- //( М из неравенства (5.15) получаем ео по> /у'(ею .У(/Г(еэ( — /ле~ ) 0 е о (5.17) Используя неравенство Коши — Буняковского (55) ь //г(х)/г(х) е1х < ь ь //'(*)' /й(.)' (5.18) из соотношения (5.14) получаем — /е(й) = / (стХ( — йа)хо + ас Х( — 1о)к~и — /(с(В))) еЫ < ь / /г(ье(В))/В о С учетом етого соотношения неравенство (5.17) можно представить в виде ао «а~ ео / Р (ь (В) ) еьВ + е/ / /(е) еьг, < е/ / т) ььь + //г(ЦВ)) ВВ. о Используя обозначения //' = / /г(5(В)) /В., о (5.19а) /~~(1) = /(с Х( — Ге)х + ас~Х( — 1а)х~]~ ь/В, о (5.19б) 154 Гж б.
Абоооютнон уппойчиоооть пи 1(61)) = ~Ы) К (5.19в) а и принимая во внимание неравенство 1х(у) < 1х (со), последнее неравенство можно записать в виде 11+ — 1(61)) < — 1(60)) + — 1х(оэ)11(1), оо оо ео или г (11 — — 1х(оо)) + — 1(4(г)) < 1®0)) + 1х(оо). (5.20) 2оо со еа 4оо Так как линейная часть устойчива,то фундаментальная матрица Х(г) и ее производная по времени Х(1) удовлетворяют условиям ~ ~Х(1)~ 11 <, 7!Х(1)~' о о /)Х(1)/а11 < со, /)Х(1)/~Ф < оо.
а о Поэтому (см. (5.19б)) 1х(оо) < оо, и из неравенства (5.20) получаем (11 — — 1х(со)) + ~ 1®1)) < со < со, где со = — 1(60)) + —, 1х(~4. со 4боо Второе слагаемое слева в последнем неравенстве при у > 0 является положительным. Поэтому при д > 0 также можем записать 1 г (11 — — Е (со)) < со < оо. (5.21) Из (5.19б) и (5.19в) следует, что при ~хо~ — а 0 имеют место предельные соотношения 1х(оо) -+ О, 1ЯО)) -а 0 и соответственно — Ч 1®0))+ 1 1г( ) О ео 4оо Поэтому из (5.21) следует, что для любого ез > 0 существует такое бд > О, что (см.
также (5.19а)) 1,' = /' 1г(1(В))4В < е, И > О а как только ~х ~ < бы В силу этого неравенства, непрерывности Д(~) и 1'(О) = 0 длЯ любого ег > 0 сУществУет такое бг > О, что фг)~ < < ег пРи любом 4 > О, как только ~хо~ < йг. Таким обРазом, положение 155 5.4. Показательство кригперио Попова равновесия устойчиво по Ляпунову. Остается показать, что при любом начальном условии с(е) — г 0 при 1 — г оо. При любом начальном условии (см. (5.2Ц) имеем 1~ — — ~(~ЯВ)) еШ ( сг гУ1 > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
