Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Линеаризованная система описывается уравнениями л1 — Я2 л2 — л1. Ее характеристическое уравнение Лз + 1 = О имеет два чисто мнимых корня. Поэтому, как было показано в гл. 2, начало координат является особой точкой типа центр, и оно соответствует устойчивому по Ляпунову положению равновесия. Таким образом, в рассматриваемом случае устойчивость линеаризованной системы не имеет ничего общего с устойчивостью исходной нелинейной системы: по линейному приближению нельзя делать какие-либо выводы об устойчивости исходной нелинейной системы как при а > О, так и при а < О. 4.5.1.

Уравнение Ляпунова и критерий Ляпунова устойчивости линейных систем. Рассмотрим линейнук> систему (4. 21) х = Ах, где х . вектор (х е Лн), А -- квадратная матрица н-го порядка. Пусть задана квадратичная форма ю(х) = х Сх. Лля того чтобы эта квадратичная форма была равна производной по времени от квадратичной формы )х(х) = хтВх в силу системы (4.21), т.е. Ъ'(х) = ю(х), матрица В должна удовлетворять матричному уравНЕНИК1 АТВ + ВА = С (4.22) Лействительно, производная по времени от квадратичной формы 'г'(х) = хтВх в силу уравнения (4.2Ц имеет вид 1'(х) = хтВх+ хгВх = хтАтВх+ хтВАх = хт(АтВ+ ВА)х.

128 Гл. 4. Метод функций Ляпунова Отсюда следует, что равенство 1Э(х) = иь(х) возможно в том и только том случае, если матрицы В и С удовлетворяют уравнению (4.22), которое называется уравнением Пяььунова. Таким образом, чтобы по заданной квадратичной форме иь(х) = х Сх найти соответствующую ей квадратичную форму Ъ'(х) = х Вх, нужно решить уравнение Ляпунова.

Исследование уравнения Ляпунова представляет большой интерес, так как это уравнение позволяет найти функцию Ляпунова в виде квадратичной формы по заданной ее производной. Естественно возникает вопрос: когда уравнение Ляпунова имеет решение? Ответ на этот вопрос зависит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение системы (4.21) аы — Л а12 а21 а22 — Л аь„ а2 с1оь(А — 1Л) = = О. (4.23) а„„вЂ” Л а„ь ап2 Теорема 4.14 (теорема о существовании решения уравнения Ляпунова). Если среди корней характеристического уравнения (4.23) неьп пары корней, сумма которых равна нулю, т.

е. сумма корней Л;+ Л ф 0 при всех ь, у = 1 2,,п, пьо при любой симмепьрической матрице С уравнение Пяпунова имеет единственное решение для неизвестной матрицы В. Эта теорема может быть доказана с помощью теории операторов (7), и ее доказательство здесь не рассматривается.

Теорема 4.15 (критерий устойчивости Ляпунова линейных систем). Пля того чтобы линейная стационарная система (4.21) была асимтлотически устойчнва, необходимо и достаточно, чтобы для любой отрицапьельно определенной квадратичной формы ш(х) = = хтСх существовала гьолыэкипьельно определенная квадратичная форма 1х(х) = хтВх пикал, что производная по времени от этой функции в силу уравнения системы (4.21) была равна заданной квадратичной форме иь(х); ъ'(х) = ш(х). Показательство.

Необходимость. Существование некоторой квадратичной формы 1х(х) = х Вх, производная от которой по времени равна заданной квадратичной форме, следует из теорс мы 4.14. Поэтому достаточно показать, что эта квадратичная форма является положительно определенной функцией. Пусть система (4.21) устойчива. Тогда ес решение, которое при начальном условии х(0) = х имеет вид (см. (1.10)) х(1) = ел'хв, стремится к нулю при 1 — э оо. Следовательно, и квадратичная форма T(х(1)) ь 0 при г — э со.

Покажем, что квадратичная функция, удовлетворяющая условиям теоремы, является положительно определенной функцией. Лопустим противное; в некоторой точке х = х ~ 0 4.5. Исследование нелинейных систем по линейному приближению 129 квадратичная форма 1т(хо) ( О.

Тогда в силу того, что $'(х(1)) = ю(х(1)) ( О, где х(1) = е~тхо, функция т'(х(1)) при 1 > О отрицательна и убывает с ростом й А это противоречит тому, что )т(х(1)) — т О при 1 -э оо. Достаточность непосредственно следует из теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теорем а 4.16 (теорема о существовании положительно определенного решения уравнения Ляпунова). Если мшприца А устойчива, т.

е. все ее собственные значения имеют отрицательные вещественные части, то какова бы ни была отрицательно определенная матраца С, уравнение Ляпунова (4.22) имеетп единственное решение Е, которое является положительно определенной матрицей. Эта теорема непосредственно вытекает из теорем 4.14 и 4.15. Теорема 4.17. Если среди корней характеристического уравнения системы (4.21) имеется хотя бы один корень с положительной вешественной частью и сумма никаких пар этих корней не обращается в нуль, то какова бы ни была положительно определенная функция ю(х), найдется квадратичная форма 1'(х), у которой пуюизводная по времени в силу указанного уравнения системы удовлетпворяет уравнению Г(х) = ю(х), и в любой окрестности начала координат имеется точки, в которой т'(х) принимает положительное значение.

Доказательство. Существование квадратичной формы К(х), удовлетворяющей указанному в теореме уравнению, следует из теоремы 4.14. Покажем, что в любой окрестности начала координат существует точка, в которой )т(х) принимает положительное значение. Квадратичная форма 1т(х) не может быть отрицательно определенной, так как в противном случае функция -Ъ'(х) удовлетворяла бы условию теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В силу указанной причины в любой окрестности начала координат существует точка, где )т(х) по крайней мере обращается в нуль.

Но так как )т(х) = ш(х) > О, то в любой окростности такой точки существует точка, где 1т(х) ) О. Теорема 4.18. Если среди корней характеристического уравнения системы (4.21) имеется хотя бы один корень с положительной вешественнон частью, ттю какова бы ни была положительно определенная квадратичная фор.ма ю(х), всегда найдутся квадратичная форма 1т(х) и положительное число о тпакие, что проазвот)ная Ъ'(х) в силу указанного уравнения системы удовлетворяет соотношению 1) (х) = о1т(х) + и~(х), и в любой окрестпности начала координат найдется тпочка, в которой квадратичная форма Ъ'(х) принимает положитпельное значение, 9 Д.П.

Ким Гл. 4. Метод функций Ляпунова Показательство. Рассмотрим наряду е: (4.21) систему х = (А — — 1)х. Характеристическое уравнение этой системы имеет вид (4.24) А — ( — +Л)1 =О, $[з41(х) = х = (А — — )х = ю(х). 41'(х) . 41е(х) / па да дх (, 2 е 41'(х) Так как Ах . производная по времени квадратичной фордх мы 1'(х) в силу уравнения (4.21) и в случае квадратичной формы ( ) х = 21е(х), дх то из последнего соотношения получаем 1е(х) = о1е(х) + ю(х). Теорема доказана. 4.5.2. Критерий устойчивости Ляпунова по линейному приближению.

Пусть уравнения нелинейной системы представлены в виде п, й; = ~аех +Л(хытз,...,тп), Л(00,...,0) = О, 4 = 1,2,...,.п,. 4=4 или, в векторной форме, х = Ах+ Л(х), Л(0) = О, (4.25) где и 4.~-а ~Л(х)~я = ~~ Л,(яз,тз,,я„) < с~ ~~ т,) е=-1 е=о (4.26) и его корни Л, связаны с корнем Л, характеристического уравнения системы (4.21) соотношением Ле = Л, + о/2. Пусть Л;, —. корень с положительной вещественной частью. Выберем о таким, чтобы выполнялись условия: 1) из ПеЛм > О следует ПеЛ;, > О:, 2) Л,+Ляг.О привсехеий.

Условие 1) всегда можно выполнить, выбрав о достаточно леалым. Учитывая, что Ле+ Лв = Л, + Ля — о, можно выбрать о, не совпадающим ни с одной суммой Ле + Ля Согласно теореме 4.17 для положительно определенной функции найдется квадратичная форма г'(х), принимающая в какой-либо точке любой окрестности начала координат положительное значение, и производная по времени этой формы в силу уравнения (4.24) равна ц~(х); 4.б. Исследование нелинейных систем по линейному приближению 131 Тогда, функция ю(х) + ~ гь,(х) т=1 будет знакоопределенной, совпадаютмей по знаку с ю(х) в некоторой окрестаности начала коордттнат. Показательство.

Согласно неравенству (4.1) имеем Л„, (х)з < ю(х) < Лзт )х)з, (4. 27) минимальное, Лм максимальное собственные числа соответствующей матрицы квадратичной формы ю(х), ~х~~ = 2 хз. ~,=1 л,д1т 2 Так как 2 ( — ) квадратичная форма, то, аналогично, имеем дх; др Л,'„!х!~ < ~~ ( — ) < Л'дт!х!~, (4.28) где Л',„минимальное, Л', максимальное собственные числа соответствующей матрицы указанной квадратичной формы. Из неравенства Коши Шварца (4.19) и неравенств (4.26) и (4.28) имеем где Льл П л З л — Л, ( ~ ( — ) ~П, ( ~/Л (х)ьтс)х( т=т ,=1 т=1 Л' с~к~зло, или о —,/Л', с )х( за ( ~~ — Вт ( ))(Л' с (х! тл. ;=т Пусть для определенности ю(х) положительно определенная функция.

Тогда Ло, и Лм в (4.27) являются положительными чис- 9" Здесь ст — — малое положительное число, с — — положительная константа. Условие (4.26) означает, что разложение нелинейного члена Я(х) в (4.25) в ряд Тейлора в начале координат начинается с членов, содержащих квадраты или более высокие степени фазовых координат и их произведения. Теорема 4.19 (критерий устойчивости Ляпунова нелинейной системы). Положение равновесия х = 0 нелинейной системы (4.25) асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы х = Ах имеют отрицательную естественную часть, и неустойчиво, если среди указанных корней имеется хотя бы один корень с положительной ветественной ластпью.

Показательство этой теоремы опирается на следующую лемму [7]. Лемма 4.2. Пусть ю(х) знакоот~ределеннтзя квадратичная форма, И(х) — произвольная квадратичная форма. 132 Гл. 4. Метод функция Ляпунова лами. Поэтому из (4.27) и последнего неравенства имеем и ко+ ~ ~— В, > (Л вЂ” ° /Л' с )х/~) (х! .

е=-1 Если Л,„— )1Л', с (х! > О, или )х/ ( (Лт ееЛ' с) то из последнего неравенства следует ю+~ — Ле >О, др дя, Ма т.е. в окрестности ~х~ < (Лп/«Л' с) начала координат знак левой части в последнем неравенстве совпадает со знаком ю(х), что и требовалось доказать. Показательство теоремы 4.19. Пусть линеаризованная система х = Ах асимптотически устойчива, т.е.

Характеристики

Список файлов книги