Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 17
Текст из файла (страница 17)
у. Метод гарлоиииееиой лииеаригаиии Вибрационная линеаризация еьен1)жденньеми колебаниями. Пусть на вход нелинейного звена системы (рис. 3.15) подается Рис. 3.15. Структурная схема нелинейной системы )к внбрационной ли- неарнзацни вынужденными колебаниями) гармонический сигнал 6 = Вз)пи)*й При этом частота колебания на.много выше полосы пропускания линейного звена с персдаточной функцией И'г: ое )л) ': Е )А) )е')) ")) е 1. На входе нелинейного звена имеем е=е +е', е =т1 — яз, е'=Вюпы й Таким образом, в системе на входе нелинейного звена возникают вынужденные колебания с амплитудой, равной амплитуде внешнего колебания (А = В), и сдвигом фазы )р = О.
И в этом случае при вычислении коэффициента вибрационной линеаризации в качестве амплитуды вынужденного колебания берется амплитуда внешнего колебания В. Поэтому величину коэффициента вибрационной линеаризации можно изменять за счет выбора этой амплитуды. Однако амплитуду внешнего воздействия нельзя брать произвольной.
С одной стороны, она не должна быть слишком большой, чтобы возмущение не оказывало заметного влияния на процесс управления. С другой стороны, амплитуда В должна быть во всяком случае не меньше максимального значения сигнала ео, до которого необходимо обеспечить линейность характеристики. Например, в случае нелинейного звена с релейной характеристикой с зоной нечувствительности (см.
рис, 2.1, б) должно выполняться неравенство В > а+ япр (е (. е>)0 Вибрационная линеаризация авгаонолебаниями. Вибрационную линеаризацию можно реализовать, создав вокруг нелиней- Рис. 3.16. Структурная схема нелинейной системы )к вибрацнонной ли- неаризации автоколебаниями) ного звена внутренний автоколебательный контур (рис. 3.16).
Передаточные функции И'г и Игз выбираются так, чтобы частота авто- колебаний была достаточно высокой и автоколебания не пропуска- У.б. Вынужденные ковебвния и вибрвционнаа винеариэацив 103 лись остальными звеньями, находящимися за пределами внутреннего контура, и амплитуда автоколебаний была не меньше максимального значения медленно меняющегося составляющего сигнала е на входе нелинейного звена.
Исследование такой системы производится следующим образом. Рассматривая внутренний контур, определяем амплитуду А симметричных автоколебаний. Затем, используя найденное значение амплитуды, определяем коэффициент вибрационной линеаризации Й„ и нелинейное звено заменяем линейным звеном с передаточной функцией, равной Й„. П р и м е р 3.4. Пусть в нелинейной системе (см, рис, 3.16) нелинейное звено имеет идеальную релейную характеристику (см.
рис. 2.1, а) с параметром с = яо а линейные звенья имеют передаточные функции вида И; = й,(1-ь0,1р), И; =1у10,1р+1)р, И 3 = йз(~Тзр -ь 1), И>4 = 1> (р+ 1). Требуется определить параметры кз и Тз такие, при которых на входе нелинейного звена амплитуда автоколебаний А = 4 и звено с передаточной функцией И>в ослабляет амплитуду автоколебаний в 100 раз.
Решение. Так как автоколебания через звено с передаточной функцией И>в практически не проходят (амплитуда на его выходе в 100 раз меньше, чем на его входе), при исследовании автоколебаний можно ограничится рассмотрением только внутреннего контура. Передаточная функция линейной части этого контура и коэффициенты гармонической линеаризации нелинейного звена (см.
табл. 3.1) соответственно имеют вид И' = И'оИз = вз/(0,1р~ + рКТзр+ 1), >> = 4с>>(яА) = 4>А, >1' = О. Условие возникновения периодического процесса принимает вид — О 1 Тзуи>' — (О 1 + Тз) и>з + у > + 4 йз >>А = О, или — (01+Т) з+4АЯА=Оо — 0,1Т, з+ =О. Отсюда для амплитуды и частоты получаем А = 4йзТз,>(1+ 10Тз), о>* = о>>10!Тз. Так как звено с передаточной функцией И'4 ослабляет амплитуду автоколебаний в 100 раз и его амплитудная частотная функция имеет вид Ав (ов) = 1>>~/1 = и>з, то имеем ~,( ") = =ото, ° т, =овооот.
+оооо, 1 +О о>те Отек>да находим Тз = 0,001. Подставив это значение для Тз в раннее полученное выражение для амплитуды и учитывая, что по 104 Га. о, Моизод гармонической аииеаризаиии условию амплитуда на входе нелинейного звена равна 4, получаем 4 йзТз 4 йз 0,001 1-Ь 10Тз 1 4-0,01 Отснзда находим кз = 1010. Таким образом, искомыми параметрами являются йз = 1010 и Тз = 0,001. Теперь убедимся,что в системе действительно возникнут автоколебания. Для этого проверим устойчивость найденного периодического процесса. Так как д' = О, условие устойчивости имеет вид дд(А) 4 1 — — = — — < О. дА 4=4 Аа 4=4 4 Условие устойчивости выполняется. Следовательно, колебания асимптотически орбитально устойчивы, и в системо возникнут автоколобания.
П р и м е р 3.5. При каких положительных значениях параметра кз система, рассмотренная в примере 3.4, будет устойчива? Параметры кз и Тз принимают значения, найденные в указанном примере. Решение. Так как в системе происходит вибрационная линеаризация автоколебаниями, нелинейное звено заменим линейным Рис. 3.17. Структурная схема внбрацнонно лннеаризованной системы (рис. 3.17) и найдем его передаточную функцию, равную к„.
Из табл. 3.3 имеем о 2с . е" . е зг~ = — ' агссйп — = 2 агсзш з. А А' В соответствии с формулой (3.25) й„находится следующим образом: д ..=, з т:(,~дг ..=, т Учитывая, что амплитуда симметричных колебаний А = 4, получаем )о„= 0,5. Преобразуем структурную схему вибрационно линеаризованной системы (см. рис. 3.17) в одноконтурную, заменив внутренний контур звеном с передаточной функцией й»Из 0,5(0,001 р -Ь Ц 1-г а ИггИ'з 0;0001рз -~-0,101рз -'г р-г б05 Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид 5з (0,00005 р + 0,0505 р 4- О,б) 0,0001 р" -> 0,101 рз -~- 1,10 рз -Ь 505 р -Ь 50б 105 Задами Складывая числитель и знаменатель и полагая р = Л, получим характеристическое уравнение замкнутой системы О 0001 Л + 0101Л + (1,10 + О 00005 Йг) Л + (506+ 00505 Й4) Л + + 505+ 0,514 = О.
При положительном к4 необходимое условие устойчивости выполняет- ся, Поэтому по критерию Льенара- Шипара система будет устойчива, если определитель Гурвица 3-го порядка будет положительным: аз аз 0 ао а2 а4 0 аз аз 2 = аз(агаз — ага4) — аоаз > О. Здесь ао = 0,0001, аз — — 0,101, аг = 1,10+0,00005йы аз —— 506+ 0,0505 йы а4 = 505 -~- 0,5 Йы Подставив зти выражения в предыдущее неравенство., получим 0,0025 кз — 3,08 > О. Отсюда следует, что система будет устойчива при к4 > 5200. Задачи 1. Определить коэффициенты гармонической линеаризации при симметричных колебаниях для нелинейного звена, которое описывается функцией ((е) = ез. 2. Определить коэффициенты гармонической линеаризации при несимметричных колебаниях для нелинейного звена, которое описывается функдией ((е) = е .
3. Определить коэффициенты гармонической линеаризации для (ке, е>0, нелинейного звена, описываемого функцией 1(е) = ~ е ( О. 4. В типовой структурной схеме нелинейной системы (см. рис. З.Ц нелинейное звено имеет идеальную релейную характеристику Д(е) = = (я/2) з1яп е и линейная часть имеет передаточную функцию И' (р) = 5!(0,1р+ Ц(р+ Цр. Исследовать автоколебания. 5. В типовой структурной схеме нелинейной системы (см.
рис, 3. Ц нелинейное звено имеет релейную характеристику с зоной нечувствительности: О, (е! ( 0,5, (я/2) з1япе, (е! > 0,5, и линейная часть имеет передаточную функцик4 Иг (р) = 5Др+ Цгр. Исследовать автоколебания. 106 Гл. о, Метод гармонической линеариэаиаи 6. В типовой структурной схеме нелинейной системы (см. рис. З.Ц нелинейное звено описывается функцией ) Йе, е>0, ) О., е(0, и линейная часть имеет передаточную функцию Иг (р) = 5/(р+ 1) р.
Исследовать автоколебания. 7. В нелинейной системе (см, рис, 3.15) нелинейное звено имеет идеальную релейную характеристику у(е) = (к/2) ядие и линейные звенья имеют следующие передаточные функции; И'~ = 10(1+ 0,1р), И'з =, Из = (0,1р+ Цр' тр+1 На вход сумматора перед нелинейным звеном подается гармоничес- кий сигнал й = бзш106 Произвести вибрационную линеаризацию и исследовать устойчивость системы. 8. В нелинейной системе (см. рис. 3.16) нелинейное звено имеет идеальную релейную характеристику у(е) = (х/2) з1кпе, и линейные звенья имеют следующие передаточные функции; И1 — 10(1 + 0 1Р) Из — (О 1 (0 1р '-1)р' 15 1 Исследовать возможность вибрационной линеаризации и опреде- лить устойчивость системы. Глава 4 МЕТОЛ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА Основы общей теории устойчивости были заложены А.М.
Ляпуновым в ого книге «Общая задача об устойчивости движения», которая вышла в 1892 г. В этой книге им был предложен общий метод исследования устойчивости движения, который называется втпорым или прямым методом Ляпунова. Этот метод основан на построении специальной функции, которая получила название функции Ляпунова. Прямой метод Ляпунова получил дальнейшее развитие в трудах российских и зарубежных авторов.
Метод исследований, основанный на построении функции Ляпунова, включая прямой метод Ляпунова, стали называть методом функций Ляпунова. 4.1. Зпакопостоияяые и зяакоопределенпые функции В большинстве случаев функции Ляпунова являются знакоопределенными, а их производные "- знакоопределснными или знакопостоянными функциями. Познакомимся с этими функциями.
4.1.1. Определение знакопостоянных и знакоопределенных функций. Рассмотрим функцию 1т(х), определенную в некоторой области Р С Л" и функцию 1'(х, г), определенную на прямом произведении Р к ~0, оо), т.е. при х Е Р и 0 ( т < оо. Область Р содержит начало координат: 0 е Р. Функции Ъ'(х) и )т(х,~) являются непрерывными и обладают непрерывными производными по всем своим аргументам. Функция Р'(х) называется знакоположительной или положительно полуопредсленной в области Р, если Ъ'(0) = 0 и гт(х) > 0 всюду на Р, и называется знакоопгрггцательной или опгрицаглельно полуопределенной в области Р, если Р'(0) = 0 и 1т(х) < 0 всюду на Р. ФУнкциЯ 1т(хг ь) называетсЯ зпакоположительной или полозки- тельно полуопределенной в области Р, если при всех ~ > ~в (~о > 0) Ъ'(ОгС) = 0 и $'(хг~) > 0 всюду на Р, и знакоотрицательной или отлрицательно полуопределенной в области Р, если при всех т > то (йв > 0) Ъ'(О, С) = 0 и Ъ'(х, й) < 0 всюду на Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
