Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Исследование симметричных автоколебаний При использовании метода гармонической линеаризации, естественно, принимается, что гипотеза фильтра выполняется. Тогда, как было показано, если в системе возникает периодический процесс, то на выходе линейной части и на входе нелинейного звена он является гармоническим: е = Авшюй Поэтому периодический режим однозначно определяется частотой о~ и амплитудой А, и исследование периодического процесса сводится к определению этих параметров. Основное условие возникновения периодическоео процесса. В линейной системе (см.
рис. 3.2) могут возникнуть гармонические колебания, если ее характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни, или, что то жо, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку ( — 1,10), т.е. если выполняется равенство (3.12) И'„(А)И' (ую) = — 1. Это соотношение является уравнением относительно неизвестных параметров, частоты со и амплитуды А и определяет основное условие возникновения периодических процессов в рассматриваемой системе.
Автоколебания в системе возможны, если это уравнение имеет действительные положительные корни. 3.3.1. Аналитический способ исследования автоколебаний. Подставив выражения для передаточных функций и освободившись от дроби, основное условие (3.12) можно представить в виде Х(А,а~) +уУ(А,оз) = О, или (3.13) Х(А,ы) = О, К(А,ю) = О. Если последняя система уравнений имеет решенио А*, ы* (А' > > О, ю' > 0), то это значит, что гармонически линеаризованное уравнение имеет решение е = А'з1псо*1, которое описывает периодический процесс. Этот процесс реально можно наблюдать, если указанное решение орбитально устойчиво или асимптотически орбитально устойчиво. Решение е = А' з1п ы*1 описывает автоколебания, сели оно асимптотически орбитально устойчиво. Таким образом, исследование автоколебаний сводится к решению уравнений (3.13) и определению асимптотической орбитальной устойчивости.
В случае НЗ с однозначной характеристикой его передаточная функция имеет вид Ис„(А) = д(А), а передаточная функция разомкнутой системы вид И'(А,р) = И'. (р)ч(А). Пусть передаточная функция линейной части имеет вид Игл(р) = = ч)(р)/Л(р). Тогда основное условие возникновения периодического е д.п. к 82 Гл. 3. Лаееаод гармоническая лииеариэаиии процесса примет вид д(А)()(ди) + Я(уи) = О,. е1(А)Хе1(ы) + Хл(оо) = О, д(А)Уц(о~) + Ул(о~) = О, или — Хд(ео)Уел(м) + Хе1(ш)Ул(ог) = О. Частота определяется из второго уравнения и не зависит от характеристики Н 3. Таким образом, в случае нелинейного звена с однозначной характеристикой частота периодических процессов зависит только от свойства линейной части.
Рассмотрим вопрос асимптотически орбитальной устойчивости периодического процесса. Пусть в результате возмущения амплитуда колебаний е = А' з|пю*1 изменится и примет значение А = А* + ЬА. Колебания будут асимптотически орбитально устойчивы, если со временем амплитуда примет первоначальное значение, т.е. ЬА о 0 при 1 — > со. Начнем исследование этого вопроса со случая, когда характеристика НЗ является однозначной, и воспользуемся эвристическим приемом.
Лля того чтобы после возмущения амплитуда стремилась к первоначальному значению, колебания должны затухать при увеличении амплитуды (АеА > 0) и расходиться при ее уменьшении (ЬА ( ( 0). А это возможно., если при изменении амплитуды коэффициент гармонической линеаризации а(А) изменяется таким образом, что линеаризованная система устойчива при увеличении амплитуды и неустойчива при ее уменьшении. Пусть разомкнутая система (линейная часть) устойчива или маргинально устойчива, т.е.
ее характеристическое уравнение кроме левых корней имеет корни на мнимой оси. Тогда замкнутая система будет устойчива при увеличении амплитуды, если в соответствии с критерием Найквиста годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы И'Оео) = а(А)еУ (~оо) не охватывает точку ( — 1, дО); замкнутая система будет неустойчивой при уменьшении амплитудь|, если указанный годограф охватывает точку ( — 1, 10).
где Хе1(о~), Хл(оо) -- вещественные части, У~(ео), Ул(ео) — мнимые части Я(до~) и ЛОоо) соответственно. Разрешив первое уравнение последней системы уравнений относительно а(А) и подставив его во второе уравнение, получим Ха(м) Хо( )' 3.8. Исследование симмесаричных автонолеоаниа 83 А эти условия будут выполнены, если коэффициент гармонической линеаризации ц(А) будет убывающей функцией в окрестности точ- ки А = А', т.е. если выполняется неравенство 4ч(А)~ АА ~се=-а. (3 А 4) В случае, когда НЗ имеет неоднозначную характеристику, для получения условия асимптотической орбитальной устойчивости воспользуемся критерием устойчивости Михайлова. Основное условие возникновения периодического процесса соответствует прохождению кривой Михайлова через начало координат.
В условии (ЗАЗ) левые части Х(А,ю) и 1'(А,ы) представляют собой вещественные и мнимые части характеристического вектора. Поэтому уравнение кривой Михайлова гармонически линеаризованной системы можно записать в виде Х = Х(А,ы), У = 1'(А,ы). (дм) (да ) где дХ')' дХ(А*,а~) (дУ~' ду(А",м) ( — )'= ' . ( — )'= дм) до~ = ° ' (да~) ' до~ = * и з, 3 орты координатных осей, т.е. единичные векторы, направления которых совпадают с положительными направлениями осей абсцисс и ординат соответственно.
Направление деформации кривой Михайлова при возрастании амплитуды определяется вектором =(Е) "(я) ' Пусть ю*, А' соответственно частота и амплитуда периодического процесса. Если по приведенным уравнениям при А = = А* построить кривую Михайлова, то она при ы = ы* пройдет через начало коор Рис. 3.8. Кривая Михайлодинат (рис. 3.8). И чтобы периодический ва гармонически линеарипроцесс был асимптотически орбитально зованной нелинейной сис- темы устойчив, нужно, чтобы при увеличении амплитуды кривая Михайлова деформировалась так, чтобы выполнялся критерий Михайлова, т.е. чтобы она охватывала и квадрантов.
А это произойдет., если при увеличении амплитуды кривая Михайлова в окрестности начала координат сместится вправо относительно направления касательной. Вектор касательной в начале координат имеет вид 84 Га. у. Мегаод гармонической аинеаригаиии Звездочка при частных производных, .как и выше., означает, что производные вычисляются в начале координат. Чтобы при возрастании амплитуды линеаризованная система стала устойчивой, вектор М должен быть направлен по отношению к вектору К вправо (см. рис. 3.8). А это будет иметь место, если векторы 1ч, К и их векторное произведение Х = 1ч х К образуют правую тройку (т.е. если смотреть с конца вектора Х, то кратчайший поворот вектора 1Ч до совмещения с вектором К происходит против часовой стрелки).
Вектор Х как векторное произведение векторов М и К можно определить следующим образом: Здесь к орт вертикальной оси координат, причем орты 1, 1 и 1г образуют правую тройку. Тройка векторов 1ч, К и Х будет образовывать правую тройку, если вектор Х будет направлен параллельно вектору й. Поэтому чтобы линеаризованная система при увеличении амплитуды была устойчива, множитель при орте 1с должен быть больше нуля. Таким образом, условие асимптотической орбитальной устойчивости при неоднозначной характеристике нелинейного звена принимает вид П р и м е р 3.1.
В типовой структурной схеме нелинейной системы нелинейное звено имеет релейную характеристику с зоной нечувствительности с параметрами а = 0,45 и с = я, передаточная функция линейной части имеет вид Иг = 4,1/(О,оер+ 1)зр и задающее воздействие д = сопвн Требуотся исследовать автоколебания.
Решение. Передаточная функция нелинейного звена имеет вид (см. табл. 3.1, йй 4) и =Ее= — е~/1 — (-) = — 31 — ( — ') Условие возникновения периодического процесса 13.13) можно запи- сать в виде 3 2 . 16,4 /0,4оз2 — 025ы у — о2 +уы+ ' 1 — ~ ' ') =О, А~А) 3.3. Исследование симмегнриинмх автонолебанив 85 или — оэ + ' 1 — ~ ' ) =0 — 025о~ +ы=О, 16,4 /0,45 З з А А ) Второе уравнение имеет положительное решение ы = 2. Подставив это значение частоты, первое уравнение можно преобразовать в биквадратное уравнение А' — 4.1'А'+ 4.1' 0,.45' = О. Это уравнение имеет следующие два положительных решения: А1 = = 4,08 и А = 0,454. Проверим условие устойчивости (3.14).
Произад(А) 4 (0,405 — А') е 'Х -Ом при Аз = 4,08 принимает отрицательное значение, а при А = ОА54 положительное значение. Следовательно, колебания с первой амплитудой являются асимптотически орбитально устойчивыми, а со второй амплитудой таковыми не являются. Таким образом, в рассматриваемой системе будут совершаться автоколебания с частотой аз = 2 и амплитудой Аз = 4,08. 3.3.2.
1 рафический (частотный) метод исследования авто- колебаний. Уравнение (3.12), определяющее условие возникновения периодического процесса, можно решить графически. Для этого представим его следующим образом: 1 л (ям)— Строим амплитудно-фазовую характеристику линейной части, т. е. годограф функции И' (до~), и обратную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена с обратным знаком, т.е. годограф функции — 1/Исн(А). При построении годографа И'нОоз) изменяется частота, при построении годографа — 1/И'„(А) изменяется амплитуда.
Если рассматриваемое уравнение имеет решение, то указанные характеристики пересекаются (рис. 3.9). В точке пересечения по годографу И'„(доз) находим частоту, а по годографу — 1!Ис„(А) -- амплитуду периодического процесса. Устойчивость периодического процесса устанавливается следующим образом. Как уже отмечалось, если линейная часть устойчива или маргинально устойчива, периодический процесс будет асимптотически орбитально устойчив, если при увеличении амплитуды амплитудно-фазовая характеристика гармонически линеаризованной системы не охватывает точку ( — 1,10). В случае нелинейного звена с однозначной характеристикой это условие будет выполнено, если передаточная функция нелинейного звена И'„(А) или обратная с отрицательным знаком функция — 1/И'„(А) является убывающей функцией. 86 Гл. У.
Метод гармонической линеаризации Рис. 3.9. К графическому методу исслелования ввтоколебаний Это значит, что в окрестности точки пересечения двух характеристик амплитуда должна возрастать в направлении, указанном стрелкой, или точка на годографе — 1ссИ „(А), соответствующая амплитуде А* + ЬА (АсА > О), должна находиться слева от годографа И'„Оьс) при движении по нему в сторону возрастания частоты (рис. 3.9, а). Ланное утверждение остается справедливым и в том случае, когда нелинейное звено имеет неоднозначную характеристику (рис.3.9, б). Итак, если линейная часть успсойчива или маргинальна усслойчива, то периодический процесс будет асимптотически врбитально устойчив, когда точка на гвдографе — 1СИ'„(А),.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
