Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 15
Текст из файла (страница 15)
свответствуюисая амплитуде А'+ АсА (ЬА > О), находится слева от амплитуднофазовой частотной харатпериспсики при двихсгнии пв ней в сторону возрастания частоты. Рассмотренный графический (частотный) метод был предложен Л. С. Гольдфарбом и называется методом Гвльдфарба (47). Уравнение, определяющее условие возникновения периодического процесса, можно также представить в виде Иь '(уьс) = — И'„(А), и при графическом его решении можно строить обратную амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части и с обратным знаком амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена.
По точке пересечения этих характеристик можно определить частоту и амплитуду периодического процесса. Асимптотическая орбитальная устойчивость определяется точно так же, как и при методе Гольдфарба: если линейная часть устойчива или маргинально утлойчива, то периодический процесс будет осимпслотически врбитально устойчив, когда тлочка на гвдвграфе — Ис(А), сввтветствуюисая амп итуде А*+ ЬА (АсА > О), находится слева от обратной амплитудна-фазввой частотной характеристики при двизкенисс пв ней в сторону возрастания частпвты. 87 ао'.
Нееимметпричьеге ноггебония 3.4. Несимметричные колебания 1 яшогб = — (е — е ), А 1 . 1 сояыб = — р ягпы1 = — рге — е ). ог огА На выходе НЗ после гармонической линеаризации имеем 1 о. = — ао + аг сояы1+ бг яшый 2 Положив ао = аогг2 и подставив сюда выражения для синуса и коси- нуса,получим г — ао+ ~~(А ео) +г1г(А ео) Р1(е — ео) где , гА ео) д' = ц'(А,е ) = — '. Сделав замену переменных гр = ыб в формулах для коэффициентов Фурье и подставив их в последние выражения, найдем гго 11ео + 4я1пгр) гЦг о во 1 г" 2 2х,/ о (3.15а) г1(А) = — ' = — 11'ге + АЯшф) Яшф г1г)г (3.15б) А ггА1 о г1'(А) = — ' = — 11" г',е +Аяшгр) сояг)гг1г)л (3.15в) А ггАу о 3.4.1.
Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации. В этом случае коэффициенты гармонической линеаризации вычисляются так же, как и при симметричных колебаниях. Колебания на входе нелинейного звена (НЗ) будут несимметричными, если установившаяся ошибка отлична от нуля или характеристика НЗ является несимметричной относительно начала координат. Здесь мы ограничимся случаем, когда характеристики НЗ являются симметричными относительно начала координат и несимметричность колебаний обуславливается только наличием ненулевой установившейся ошибки. При этом принимается, что установившаяся ошибка является постоянной.
В этом случае на входе НЗ (см, рис, З.Ц имеем е = е" + Аягпогй Отсюда находим 88 Рз. д. Метод гормоноческой лонеорогоиоо Кусочно линейная харантпериспзииа с насыизениезя. Выходной сигнал НЗ на интервалах [О,.збз[, [йз,з)зз) и [ф4,2зг[ опи- сывается функцией к[ее + А вш зб), а на интервалах [фы фз[ и [фз, ф4[ принимает постоянные значения с и — с соответственно [рис. 3.10). Поэтому зЛ о б Рис. 3.10. Несимметричные колебания на входе и выходе НЗ с кусочно линейной характеристикой с насыщением формулы [3.15) для коэффициентов гармонической линеаризации принимают вид оз Фз оз о оо ~й[ео+Ав14,ф)дф+ /'с,1ф+ /й[ео+Ав1пз)з)414В 2я д о Оз Ыз — /СЮФ+ /й[ео+ Аз1 Ю ИФ, зз1 з о = — д4 к [с + А вш з)з) зш 4)з з11б + / с вш ф Ж)з + яА з' о о~ ез ез + /й[е + Авш з4з) яп4)з414)з — /свшуз4144з+ /Ые + Аяпф) вшзб аз[4, оз из Юз зз оз д' = — ~й[е~+ Авшз4з) совфс1441+ /ссовздсЬ~+ / к[е" + о з'з ез + Аяп уз) совфз14[з — /ссовз)зз1зр+ /к[с" + Аяпуз) совузс14[с оз Из рис.
3.10, и имеем е" + Аяпфз = 5, е + Аяпзрз = — 5, е + Аяп узз — — 6, ео + Аяпфз = — Ь. о.4. Несимметпричиьге колебания терезисом при 5 = а. Поэтому, .сделав подстановку Ь = а в формулы (3.16а) — (3.16в), получим о с . ате . о — е о о гг = — (агсзгп — агсзгп ), г1~ = О, А > ]ее]. Идеальная релейная харангперисгпнна. Этгз характеристика (см.
рис. 2.1, а) является частным случае релейной характеристики с зоной нечувствительности при а = О. Поэтому, сделав подстановку а = О в предыдупгие формулы, получим 2с ее 4с Ге 'г оо = — ' агсзггг —, гг = — 1 — И, г1г = О, А > ]ее]. гг А' кА (А) Люфгп. Характеристика и кривые входных и выходных сигналов НЗ представлены на рис.
3.12. Из рис. 3.12г б следует, что выходной сигнал НЗ на интервалах [О,х/2] и [г)гз, 2х] описывается функцией й(е + А згпгр — а), на интервале [гры Зх/2] функцией к(ее+ Аз1пуг+ а), на интервалах [х/2, г)гг] и [Зх/2, угз] принимает постоянные значения й(е"-ьА— й(ео — А+ Рис. 3.12. Несимметричные колебания на входе и выходе НЗ с люфтом й(ео + А — а) и к(ео — А + а) соответственно.
Поэтому формулы (3.15) для коэффициентов гармонической линеаризации принимают вид 1г ег гго /' (ее + Азгпф а) агф+ ~' (со + А а) ггяг+ 2я е ," с 92 Гл. 3. Метод гармоиииееиой лииеаризации + ) (е + А яш чр + а) 414)з + !' 1е — А + а) 414)з + фч З 22 2 ч)4'+А ф — )зф~, ч ! 4'2 З 4 / (со+ Аз)ззф а) в1ззфе)4)з+ /'(со + А ц) я)пч)2414)з+ о 22 зчф'2 фг (е +Авшзд+а)яшчрезяз+ ) (е — А+а)вшчрезчр+ Ч 4 3 42 г ф /4 фл ' ф — 44 ффч~, фг ~, 4'2 44 42' = — ~ 1 1е + А вш рз — а) соя 4)з й)з+ / (е~ + А — а) сов чр Ач)з + 44А 2 о дг з 42 Ч'2 + / (е +Авшч)2+а)сояч)зйф+ / (е — А+а)сояч)зе)ф+ фз З.фг 2 4 44ф4лф ф — ) Азу~.
ч' г Справедливы следующие равенства (см. рис. 3.12, а): е" + А — 2а = е +АО1пч)зз, е" — А+ 2а = е + Аяшчрг. Отсюда получаем 2а 20'ч гйп рзз = 1 — —, фз = я — ягсвш~1 — — ), А' ч А!' 2ааг соя 4)зз — — 1 — (1 — — ) А) 201 4' 20'ч ванч)42 = — (1 — — ), узг = 2я — агсвш~1 — — ), 20 ч сов чрг = 1 — (1 — — ) А) Проинтегрировав полученные выше выражения для коэффипиентов гармонической линеаризации, с учетом этих выражений получим 440 — ~< 0 444)= "~24...4.'44 ")444-") 4 'Чз- )'), чч ~ 2 А А А 41 (А) = — — )1 — — ), А > а+)е ). 41еа 4' а 'ч о яА ), А)' 94 Га. з, ЛХензод гармонической линеаризации Таблица 3.4.
Коэффициенты гармонической линеаризации для НЗ с неоднозначной характеристикой при несимметричных колебаниях Полученные выше коэффициенты гармонической линеаризации при несимметричных колебаниях для нелинейных звеньев с однозначной характеристикой сведены в табл. 3.3, а с неоднозначной характеристикой в табл. 3.4. д.а'. Несимметричные колебания 3.4.2. Исследование несимметричных колебаний. Рассмотрим систему с двумя внешними воздействиями (рис. 3.13).
Уравнения этой системы имеют вид У = Иг(Р)Игз(Р)О+ Ъ7~(Р)Ь, О = 1(Е), Е = д — У. Введем обозначения И'1(Р) Н1(Р)Я1(Р) И 2(Р) 2с2(Р)Я2(Р) КР1 — П1 (Р) П2 (Р): 1ч,' (Р) Ю1 (Р) че 2 (Р): 2 (Р) Н2 (Р) че1 (Р). Тогда, исключив переменные у и а, уравнения системы можно записать следующим образом: Я(р)е+ 11(р)1(е) = С~(р)д — Я(р)12.
Пусть внешние воздействия являются константами. Тогда рд = О, рй = О, и правая часть принимает вид Ц(0)д — Я(0) 6. Поэтому в этом случае уравнение можно записать в виде Я(р)е+ Й(р)1(е) = Я(0)д — Я(0)Ь. Правая часть этого уравнения является константой. И если она отлична от нуля, то в системе с нелинейным звеном с симметричной Рис. 3.13. Структурная схема нелинейной системы с двумя входами относительно начала координат характеристикой могут возникнут несимметричные колебания е = е + е*, е' = Азгпигй Произведя гармоническую линеаризадию, на выходе нелинейного зве- на получим (( о+Азпы1) о+ [ (1 ео)+ ~(1 о) Я~ С учетом этого и предыдущего соотношений уравнение системы можно представить в видо [б)~ )+ в( )( ((егг)+ ~(1 о)Р)~ *+О~ ) о+Н( ) о = б)(О)д — Н(О)Ь.
Выделив отсюда уравнения для постоянных и переменных составляющих, получим 11(0)е~ + Л(0)оо = 1,)(0)д — Я(0)Ь, (3.17а) [1.1(„) +,~~~ ) ( ( (,о) + г(А,о) Р)~, 0 Га. у. Метод гариоиииссиоа аиисариоаиии Подставим в последнее уравнение с* = Азгпигд = — (слог — с лог). А 21 Тогда, так как рели = дгсед и Ре ло = — умед, получим 25 )+770 )( (( о)+ г(1 о))) — (1)( — 1ю) + й,— угс)(д — эд'))е 'и') = О.
Это тождсство будет выполнено, если множители при экспонентах будут равны нулю: осОи') + гг(~го)(д(А,е ) + уд'(А,е )) = О, (3 175) 'с( угс) + го( — дгс)(д(А,е ) — уд (А,е )) = О, У этих уравнений различаются только мнимые части, причем только знаком. Поэтому они эквивалентны, и можно ограничится рассмотре- нием одного уравнения (3.176). В случае несимметричных колебаний неизвестными являются три параметра: постоянная составляиощая (смещение) с", частота ы и амплитуда А. Смещение со находится из уравнения (3.17а). Поста- вив найденное значение смещения, из уравнения (3.17б) определим частоту и амплитуду. После подстановки выражения для смещения уравнение (3.17б) решается так жег как и в случае определения сим- метричных колебаний.
Пример 3.2. В нелинейной системе (см. рис. 3.13) нелинейное зве- но имеет идеальную релейную характеристику с параметром с = гг, передаточные функции линейных звеньев равны И'г — — 1Г(0,5р+ 1) и И'з = 1гг(0,5Р+ ЦР, внешние воздействиЯ Равны д = 1(1) и Ь = = 0,5 .
1(1). Требуется исследовать автоколебания. Решение. В данном случае ггг(Р) = ггз(Р) = 1, Ф(Р) = 0,5Р+ 1, Яг(Р) = (0,5Р+ 1)Р; г2(Р) = гогг(РЯ2(Р) (О 5Р+ 1) Р Я(Р) — гг2(Р)г21(Р) = 0,5Р+ 1. Коэффициенты гармонической линеаризации для идеальной релей- ной характеристики при несимметричных колебаниях имеют вид (см. табл. 3.3, % 3) о 2с со 4с г озг по= — агсгйп —, д= — 1 — ( — ), д'=О, А>(е (. гг А' ггА (,А) Так как ®(0) = О, В(0) = 1 и Я(0) = 1, уравнсние (3.17а) прини- мает вид с о с о агсзш — = — 0,25, или — = — зш 0,25 = — 0,25.
А ' ' А Уравнение (3.17б), после подстановки в него выражений для коэффициентов гармонической линеаризации и выражений с,гОиг) = З.б, Вынужденные колебания и вибраиивнная винеариэаиия 97 = — 0,25уоээ — иэз + таэ, 71(уиэ) = 1 и ео = — 0,25А, принимает вид -Эа26у '- '+~ + — ' Т:ГВЭО = °, или — 0,2е + = э, — — 'Т вЂ” гв,э5) = О. А Отсюда находим оэ = 2 и А = 0,97. Смещение равно ео = — 0,25 А = = — 0,24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
