Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 18
Текст из файла (страница 18)
108 Гл. 4. Метод функций Ляпунова Знакоположительные и знакоотрицательные функции в области Р называются знакопооогоянными функциями области Р. Функция Ъ (х) называется положипгельно определенной в области Р, если 1'(0) = О и 1г(х) > 0 всюду на Р, кроме точки х = О, и называется отрицательно определенной в обласгги Р, если 1'(0) = 0 и )г(х) < 0 всюду на Р, кроме точки х = О. Функция 1г(х, «) называется положительно определенной в области Р, если при всех «) «о («с ) О) 1«(0, «) = 0 и найдется такая положительно определенная в области Р функция Ъ' ' (х), что при всех «> > «е )г(х,«) > Ьг+(х) всюду на Р, кроме точки х = О, и называется отрицогпельно определенной в области Р, если †'(х,«) является положительно определенной в области Р. Положительно определенные и отрицательно определенные функции в области Р называются знокоопределенными ф«гнкциямгг в области Р.
Очевидно, знакоопределенные функции являются частным случаем знакопостоянных функций. Функции, которые не являются знакопостоянными функциями в области .Р, называются знакопеременными дгункциями в области Р. В качестве примера рассмотрим следующие функции: Ъг(х) = яг + жг 12(х) = «хг + (хг + уг) г г 1з(х) = лг + хг + зг; г'4(х) = — [яг + г + г 1Ь г 1+ г Среди этих функций в пространстве Лг функция )гг(х) является положительно полуопределенной, функция «гг(х) -- отрицательно полуопределенной, функция «гг(х) — положительно определенной и функция 1гг(х) отрицательно определенной. Функции Ъ'г(х) и 1гг(х) являются знакопостоянными, а функции )гз(х) и «гл(х) знакоопределенными.
В пространстве Лг функция 1гг(х) является положительно определенной, а функция )гг(х) отрицательно определенной. Коли )г(х) является знакоопределенной функцией, то существует такое положительное число ц,что все поверхности $'(х) = с, где ~с~ < < ц, являются замкнутыми относительно точки х = 0 поверхностями; если является знакоопределенной функцией и ($'(х) ~ — г со при ~х~ — г — г со, то все поверхности )г(х) = с при любом с являются замкнутыми относительно точки х = 0 поверхностями [7]. Покажем на примере, что не при всех знакоопределенных функциях Ъ'(х) все поверхности )г (х) = с при лкгбом с являются замкнутыми относительно точки х = 0 поверхностями.
В качестве примера рассмотрим в пространстве Лг положительно определенную функцию г Хг Хг (х) 1 Ь г 1 Ь г В этом случае при с = гг уравнение поверхности 1'(х) = с принимает вид г г + г =г, или (1 — г )тг+хг =г 4.1. Знанопостолянме и знаноопределеннме фунниии 100 Это уравнение при т < 1 представляет уравнение эллипса г г х, хг /2 т' — + —,=1 (а =, 6 =т), 2 гг 2 Ьг при т = 1 -- уравнение прямой хг =1, или хг =х1, и при т > 1 уравнение гиперболы 2 — — — =1 о =7', д Ьг дг !, ' гг 1) ' Рис. 4.1.
Кривые уравнения (1 — г )хг+х2 =т Таким образом, в данном случае поверхности (кривые) уровня 1т(х) = с являются замкнутыми только при т < 1 (рис. 4.1). 4.1.2. Положительно определенные квадратичные формы. При построении функции Ляпунова широко используются квадратичные формы 1т(х) = ~~ д;ях,хгп ом = ды, пь=! или, в матричной форме, 12(х) = х Ях. Любую квадратичную форму в матричной записи можно представить так, чтобы в ней матрица была симметрической. Поэтому всегда предполагается, что матрица, используемая при записи квадратичной формы, по определению является симметрической матрицей.
Так как симметрические матрицы в методе функций Ляпунова играют важную роль,то кратко остановимся на их свойствах. Симметрическая матрица Я называется поломан!лелино (отриаательно) определенной матриией, если квадратичная форма Ъ" (х) = = х Ях является положительно (отрицательно) определенной функцией, и полохситтгельно (отприиательно) полуопределенной матприией, если квадратичная форма 12(х) = х !ах является положительно (отрицательно) полуопределенной функцией. Симметрическая матрица ь) обладает следующими свойствами (2Ц! 1) все ее собственные значения (характернстические числа), т.
е. корни Л, (2 = 1, 2,..., п) ее характеристического уравнения с1е!Я вЂ” 1Л) = 0 являются вещественными числами: 2) если она положительно (отрицательно) определена, то все ее собственные значения являются положительными (отрицательными); Л, > 0 (Лг < 0), если она положительно (отрицательно) полуопределена, то все ее собственные значения являются неотрицательными (неположительными): Л, > 0 (Л, < 0):, 11О Гл. 4. Метод функции Ляпунова 3) определитель от симметрической матрицы равен произведению ее собственных значений: с1ес Ц = ЛуЛз... Лп. Пальше часто будет использоваться одно свойство квадратичной формы.
Сформулируем его в виде леммы. Лемма 4.1 ~7). Квадратичная форма 1г(х) = х~Ях удовлетворяет неравенству Л,„,)х/ ( х Ях ( Лкг~х~~, 14.1) где Л, -- минимальное, а Лм -,максимальное собственное значение матрицы Я. Показательство. Пля доказательства рассмотрим задачу о минимальном и максимальном значениях квадратичной формы Г(х) = х~Ях на сфере ~х~~ = г~. Согласно известным правилам определения условного экстремума составим функцию Лагранжа: А = х (1х — Л ()х/ — г ). Здесь Л --- неопределенный множитель Лагранжа. Представим ~х~~ в виде скалярного произведения векторов: )х! = х х. Необходимое условие экстремума принимает вид т — = 2х (;? — 2Лх = О, или ьех — Лх = О.
т дх Последнее уравнение представляет систему однородных скалярных уравнений, и оно имеет ненулевое решение, если определитель этой системы равен нулю; (Я вЂ” Л1~ = О. Таким образом, квадратичная форма 1г(х) = хт1.',)х принимает экстремальные значения на сфере ~х~~ = гз, если х удовлетворяет уравнению Ох = Лх, когда Л принимает собственные значения матрицы 0. Так как матрица является симметричной, то ее собственные значения являются веществонными.
умножив последнее равенство слева на хт, получим х~цх = Л)х)~, или Ъ'1х) = Лг~. ОтСЮда, ЕСЛИ Лп, МИНИМаЛЬНОЕ СОбСтВЕННОЕ ЗНаЧЕНИЕ И ЛМ максимальное собственное значение матрицы ф, то Л,гз ( )Г(х) ( Лмгз, или Л )х(~ ( 1 (х) ( Лм(х)~, что и требовалось доказать. Если квадратичная форма 1г(х) = хтбдх положительно определена, то, как следует из неравенства (4.1) и свойства положительно определенной матрицы, она неограниченно возрастает при стремле- 4.2. Усп1ойчивость неавпюномных систем нии точки х к бесконечности: И(х) = х Ях — + со при (х! — 1 сю.
А = Чп, 2.'Зз =, ...., с1еФЯ Чп Ч12 Чп Чяв были нолозкительны. Пример 4.1. Пана квадратичная форма У (х) = х1 + 5хз + Зхз + 4хзхз — 2хгхз, х с и . Исследовать, является ли эта форма положительно определенной функцией. Решение. Если записать данную квадратичную форму в матричной форме, то элементами соответствующей матрицы 1„1 будут Чп=1 Чьз=Чм=2, Чзз=Чз1=0, Ч22 = 5~ Ч23 = Ч32 = — 1, Чзз = 3. Определители Чп Чгз 1 2 Чю Чяз 2 5 =Ч =1, 1 2 О 5 Π— 1 3 Ч11 Ч12 Ч13 Ч21 Ч22 Ч23 Ч31 Ч32 Чзз 213 = все положительны.
Следовательно, по критерию Сильвестра данная квадратичная форма является положительно определенной функцией. 4.2. Устойчивость неавтономных систем Пусть система описывается уравнениями х, = Х1(хз,хз,...,хп,1), 1 = 1,2,...,пп (4. 2а) или, в векторной форме, х = Х(х,е). (4.2б) Начало координат, т.е. точка х = О, является положением равновесия; Х(О, 1) = 0 при всех 1 > йо.
Правая часть приведенных уравнений зависит явно от времени. Система, которая описывается такими уравнениями, и сами эти уравнения называются неавтономными систпемами. Выясним, когда квадратичная форма является положительно определенной функцией, или симметрическая матрица является положительно определенной. Критерий Сильвестра (21]. клятого чтобы квадратичная формп У(х) = х~Ях бь1лп полозкигпельно определенной функцией, необходимо и достаточно, чтобы все определители 112 Гл.
4. Метод функций Ляпунова Решение уравнения (4.2) при начальном условии х(«в) = хе будем обозначать х(х", «). Следовательно, справедливо равенство х(хе, «е) = = хо Рассмотрим функцию ь'(х, «). Производная этой функции по времени, вычисленная на траекториях системы (4.2), имеет вид (,«) ~- д~'(,«) Х (,)+ др(х,«) д~'(х,«) Х( «)+ др(;«) ь=1 Про эту производную говорят, что она является (полной) производной по времени функции Р(х,«) в силу уравнения (4.2) или производной по времени функции Ъ'(х), вычисленной в силу уравнения (4.2).
4.2.1. Теоремы об устойчивости. Рассмотрим устойчивость положения равновесия, или невозмущонного движения х = 0 системы (4.2). Т сор ем а 4.1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Положение равновесия х = 0 неавтономной системы (4.2) устойчиво по Ляпунову, если существует положигпельно определенная функция Р(х,«) ~лакая, что ее производная по времени в силу уравнения этой системы (4.2) является отрицательно полуопределенной функцией. Доказательство. В соответствии с определением 2.3 устойчивости по Ляпунову положения равновесия х = 0 нужно показать, что,. каково бы ни было положительное число е, найдется такое положительное число б, что возмущенное движение х(х", «) удовлетворяет условию: ~х(х,«)~ < е при всех «> «о, если только ~х ~ < б. Обозначим Я.
и Яв сферы радиусов е и б соответственно: Я,. = (х: )х( = е), Яв(х: (х! = б). Пусть функция $'(х, «) удовлетворяет условию теоремы и принимает на сфере Яя в начальный момент «о минимальное значение пп пь = пйп Р(х,«е). яеэ, Выберем число б так, чтобы внутри сферы эв выполнялось неравенство Ъ'(х, «е) < т. Такая сфера существует, твк как функция Ъ (х, «е) непрерывна и Г(0, «е) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
