Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Проверим асимптотическую орбитальную устойчивость. е „, Еэ) ° + э = ~ Т:Тв,ее ~в. э„ как д' = О, то можно воспользоваться условием устойчивости (3.14). Это условие в данном случае выполняется: дд(А) 4 ТУТ вЂ” 0,25э < О. дА я=о,от А' я=о,от Следовательно, в рассматриваемой системе возникнут несимметричные автоколебания с частотой аэ = 2 и амплитудой А = 0,97. Автоколебания смещены на ео = — 0,24.
3.5. Вынужденные колебания и вибрационная линеаризация Рассмотрим опять нелинейнукэ систему, структурная схема которой может быть представлена в виде соединения нелинейного звена и двух линейных звеньев с двумя внешними воздействиями (см. рис. 3.13). Как было показано, уравнение такой системы можно привести к виду (3.18) се1р)е+ Ир)~(е) = Ц(р)д — Я(р)Ь. Здесь д = д(е) .
- задающее воздействие, 6 = 611) - . возмущение. Пусть возмущение имеет вид 6 = В зщоэ*1 и задающее воздействие по сратзнению с возмущением изменяется медленно: д = дТ1) за период Т = 2я/оэ* почти не меняется. И пусть в системе возникает вынужденные колебания с частотой, равной частоте внешнего колебания. Тогда сигнал на входе нелинейного звена будет иметь вид = .о+ .' * = Аа 1 *1+ где А и уэ амплитуда и сдвиг фазы, которые необходимо найти. Нелинейная функция после гармонической линеаризации примет вид Г(ео + А зтпоэ*1) = по + ~д(А ео) + д'(А ео) Р ~ е' Здесь по, д(А,ео) и д'(А,ео) -- коэффициенты гармонической линеаризации, которые определяются так же, как и при рассмотрении несимметричных автоколебаний, т.е.
по формулам (3.15). Лля типовых нелинейных характеристик они были получены в предыдущем параграфе. т д.п. к 98 Га. у. Метод гармонической лииеаригаиии Подставив выражения для е и 1(е) из последних двух соотношений в (3.18), получим ~Ц(р) + П~ )(„.(А о) + ~( 1 о) Р )~ + + е,)(р)е + Я(р)ег~ = Сд(р)р1 — Я(р)Ь Выделив отсюда уравнения для медленно меняющих и быстро меняющих составляющих, получим О(р)е'+ П(р)оо = Я(р)9, (3.19а) '[Я(р) + П(р) [е1(А, е~) + д'(А, е~) Р )) е' = — Я(р)1ь (3.19б) Учитывая, что е' = А я1п(ы'1+ ео) = — [еД' 'РР~ — е Д ' ~™) А 23 д ~ч-~-, ) оье'е-~-р) -оогчрр) д чрр) последнее уравнение можно преобразовать к виду 21 ([Я(да~*) + П(уы )(о(А ро) + 14'(А ро)Ц рД ч~~) [1)( гы*) + Д( 2',„")(9( 4 ео) 29'( 4 ео))~ р — Л "е~-И)— = — — [оОы*)е' ' — Я( — уо~*)е ' ' ').
23 Это тождество будет выполнено, если множители при экспонентах ед е и е о ' в левой и правой частях будут равны между собой: А[ер(уы') + К(1ие*)(у(А, е ) + 1д'(А, ео))) сои = — ВЯ(1ео*), (3.19в) А[1~( уи,') + П( у,*)(д(А ео) у(А ео))) е — ор Вч( уые) Эти два уравнения эквивалентны. Поэтому при исследовании процесса управления, сопровождающего колебаниями, достаточно рассмотреть уравнения (339в) совместно с уравнением (3.19а), описывающим медленные процессы (процессы управления). 3.5.1. Вынужденные колебания. Пусть задающее воздействие равно нулю. Тогда медленно изменяющая составляющая будет равна нулю, а колебания будут симметричными. И в этом случае для определения амплитуды и сдвига фазы вынужденных колебаний достаточно рассмотреть только уравнение (3.19в), которое при графическом методе решения удобно представить в виде [53) (3.20а) Я(А) = Вр' оР, где А[(~(до ) -Р Я(йы*)(я-Ь Уя')) Я(до*) Здесь коэффициенты гармонической линеаризации определяются по формулам, которые были получены при рассмотрении симметричных У.б.
Вынужденные колебания и аибраиионная линеариэаиия 99 автоколебаний. Заметим, что Я(А) является функцией только неизвестной амплитуды, так как частота известна. При графическом методе определения амплитуды и сдвига фазы на комплексной плоскости строится окружность радиуса В и годограф Рис. 3.14.
К определению одно гастотных вынужденных колебаний вектора (комплексной функции) Я(А) (рис. 3.14, а). В точке пресечения с окружностькэ по годографу находится амплитуда. Сдвиг фазы уэ равен углу, который образует с осью абсцисс вектор, проведенный из начала координат в точку пересечения. Годограф Я(А) пересекает окружность, если радиус окружности В превышает некоторое пороговое значение В„(рис.
3.14, б). Если радиус окружности меньше порогового значения, то в системе будут происходить не одночастотные колебания, а сложные движения, включающие в себя и собственные колебания системы (53). Построив годографы Я(А) при различных значениях частоты внешнего воздействия (рис. 3.14,а) и определив пороговые значения, можно на координатной плоскости (аэ, В) построить область, в которой существуют одночастотные вынужденные колебания. Эта область называешься областпью эахааиьа [53). Пример 3.3. В нелинейной системе (см. рис.
3.13) нелинейное звено имеет идеальную релейную характеристику с параметром с = я,У2, передаточные функции линейных звеньев равны И'7 = (0,01 р+ +1),у(0,8р+ 1)р и (47з = 1д0,2р+ 1), внешние воздействия равны о = 0 и 6 = — Вяш107. Требуетгя найти пороговое значение амплитуды внешнего воздействия. Р е ш е н и е.
В данном случае Я(~аэ) = — 0,1буаэ*~ — оэ'~ + уаэ*, Л(уаэ) = 0,01 уоэ* + 1, Я(уоэ) = — ( — 0,8 иэ'~ + уоэ"), коэффициенты гармонической линеаризации (см. табл. 3.1) 9(А) = = 4с,У(яА) = 2УА, д'(А) = 0 и формула (3.19в) принимает вид А~ — О 16 алоэ"~ — иэ"~+ уоэ'+ (О 01уоэ*+ 1) — ~ = В( — О 8оэ"~ + уаэ*)е эн.
7" Гм у. Мегнод гармонической нинеориэации Подставив сюда ы' = 10 и е '" = совВэ — у в1п Вэ, затем выделив ве- щественную и мнимую части, получим — 100 А+ 2+ 80Всовво — 10Ввшвз = О, — 150А+ 0,2 — 10ВсовВз — 80ВвшВэ = О. Разрешив эту систему уравнений относительно синуса и косинуса, найдем А — 0,024 . -2 А+ 0,0055 сов~р = ', вшу = В ' В Отсюда, возвысив в квадрат и сложив, получим квадратное уравнение А — 0,014 А + 0.,00012 — 0,2 В = О.
Это уравнение имеет положительный коронь, если В > 0,0188. Следо- вательно, пороговое значение амплитуды В„= 0,0188. 3.5.2. Внбрацнонная линеаризацня. Пусть теперь задающее воздействие отлично от нуля и изменяется медленно по сравнению с колебательным процессом. Н этом случае управляемый процесс и вынужденные колебания будут описываться уравнениями (3.19а)— (3.19в) я(р)е + й(р)оо = ®р)д, А[()О *)+В(у )( (А э)+эд(А о))1 ы Воо Здесь, как известно, оо является функцией амплитуды А и ошибки управляемого процесса е: оо = оо(А, е ).
Зля исследования управляемого процесса можно поступить следующим образом: из второго уравнения найти амплитуду А как функцию от е" и подставить в первое уравнение. При этом получим 1в(р)е + Л(р)Ф(е ) = Я(р)д, (3.21) где Ф(е ) = о"(А(е"), е"). (3.22) Затем исследовать полученное уравнение, зависящее только от неизвестной ошибки ео. Независимо от характеристики нелинейного звена функция Ф(е ) оказывается гладкой, и ее можно линсаризовать в окрестности начала координат: Ф(е ) =Йе, (3.23) дФ( где й„= — ( называют коэффициентом вибрационной нииеао~ риэации.
После подстановки выражения (3.23) в (3.2Ц получим линейное уравнение (й(р) + ИВ(р)) е = Я(р)д. (3. 24) Как видим, при создании колебательного процесса в системе разрывные нелинейные характеристики для медленных процессов становятся гладкими. Процесс, при котором за счет колебания разрывные о.б. Вынужденные колебания и вибрационнав линввриэация 101 характеристики нелинейных звеньев становятся гладкими, называют вибрационныи сглаживаниеле, а процесс линсаризации, который производится в результате вибрационного сглаживания, вибраццонной линеариэацией. Вычисление ноэуэуэициентаов вибрационной линеариэации.
В соответствии с формулами (3.22) и (3.23) для коэффициента вибрационной линеаризации имеем Используя формулу (3.15а), находим до~ 1 Гдэ'(е~ -'еАО1вФ) де ~ 1 е" 4((АО1пФ) зш ф 4ф. дА ео=.а 2н 1 де дА ~ее=а 2н „I де Если нелинейная функция 1" (е) является нечетной, то производная а11(е)1'Яе будет четной, а произведение е(1(е),1йев1пф нечетным.
Поэтому для однозначных и симметричных относительно начала координат характеристик последний интеграл равен нулю: 1 ~ ф(Ав1ве)о) . 1 ~оф(Аз1вй) и формула для коэффициента вибрационной линеаризации принимает вид дФ(еа) да (3.25) де ео — О де ео — О а а Эта формула справедлива для всех нелинейных, однозначных и неоднозначных характеристик, симметричных относительно начала координат [10). Из нее следует, что для вычисления коэффициента вибрационной линеаризации нет необходимости вычислять функцию Ф(ео). Лля большинства рассматриваемых нелинейных характеристик функция 1" (е) не имеет производных в обычном смысле. Поэтому приведенные выше выкладки нельзя рассматривать как математически строгое обоснование формулы (3.25).
Вибрационную линеаризацию можно осуществить как вынужденными колебаниями, так и автоколебаниями. В обоих случаях коэффициент вибрационной линеаризации, который определяется по формуле (3.25), зависит от амплитуды колебаний на входе нелинейного звена. Поэтому чтобы вычислить коэффициент й„, нужно знать эту амплитуду. Как увидим ниже, она равна при вибрационной линеаризации вынужденными колебаниями амплитуде внешнего колебания, а при вибрационной линеаризации автоколебаниями амплитуде автоколебаний. 102 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
