Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Так как корнями приведенного уравнения являются а1 (а1з зг Лзд = — + — ) + аг — ЙЬ, 2 Г2 то такие значения Й существуют. Фазовый портрет первой структуры представлен на рис. 2.14, а, а фазовый портрет второй структуры на рис. 2.14, б. На этих рисунках. как обычно, приняты обозначения хг = ц и хг = д. Пусть в случае Ь = Ьг корнями являются Лз — — — од и Лг = ог 1оы ог > 0). Этим коРнЯм на фазовом поРтРете Рис. 2.14, б соответствуют две прямые фазовые траектории, которые описываются уравнениями хг+ пзхг = 0 и хг — огхз — — О. Отрицательному корню соответствует фазовая траектория, по которой изображающая точка движется к началу координат, а положительному корню фазовая траектория, по которой изображающая точка удаляется от начала координат.
СПС построим так, чтобы переключение с одной структуры на другую происходило на оси ординат и прямой фазовой траектории хг + сезхз = О, по которой изображающая точка движется к началу координат. Такое переключение будет происходит при алгоритме управления 12.10) где в = хг + огхы Я.б. Метод фаэоеой плоскости анализа и синтеза систем 65 Рис. 2д4. Фазовые портреты неустойчивых структур и СПС с такими структурами При таком алгоритме управления фазовая плоскость делится на две области: область 1, которая расположена в углах, образованных прямой з = яя + а1тз = 0 и осью ординат. и область 11, которая расположена вне указанных углов (рис.
2.14,е). В области 1 изображающая точка СПС движется по филовым траекториям второй структуры (см. рис. 2.14, б), в области 11 по фазовым траекториям первой структуры (см. рис. 2.14, а). На фазовых портретах отдельных структур участки траекторий, которые нс присутствуют на фазовом портрете СПС, изображены штриховыми линиями.
У систем второго порядка, как правило, все фазовые траектории не являются прямыми. Прямые траектории называются вырожденными. В рассмотренном примере одна из структур имеет две вырожденные траектории, а СПС одну. СПС со скользящим режимом. Теоретически в СПС с алгоритмом управления (2.10) переходный процесс является апериодическим. Лействительно, сели изображающая точка в начальный момент не находится на вырожденной траектории, то она будет двигаться по одной из кривых фазовых траекторий, пока не дойдет до вырожденной траектории, а затем будет двигаться по этой прямой траектории (см. рис. 2.14, в).
Однако в действительности из-за наличия ошибок и запаздывания изображающая точка будет перескакивать вырожденную траекторию и все время будет двигаться по кривым фа.зовым траекториям (рис. 2.15), и переходный процесс будет колебательным. Апериодический переходный процесс может быть достигнут, если в системе 5 Д.П. Ким 66 Гл. 2. Нелинейные еиетеиьь Мето0 фазовой илоеноееаи Рнс.
2.15. Реальная фазовая траектория СПС с неустойчивыми структурами Рис. 2.16. Фазовый портрет СПС со скользжцим режимом Задачи 1. По фазовым траекториям качественно построить временную характеристику; а) б) в) создать скользящий процесс.
В только что рассмотренной системе можно получить скользящий процесс, если переключение производить не на прямой в = хз + озхз = О, котораяявляетсявырожденнойтраекторией одной из структур., а на прямой ха+)3х1 = О, где ~3 ( оь Если в законе управления (2.10) вместо в = хз + о1хз подставить ва = ха + 1зхы то получим СПС, у которой фазовый портрет будет иметь вид, представленный на рис. 2.16. Как следует из этого рисунка, фазовые траектории в окрестности прямой вн = хз + )3х1 = О направлены навстречу, и поэтому как только изображающая точка, оказавшись на этой прямой, сойдет с нее, она попадет на одну из фазовых траекторий, которая снова ведет к ней. Поэтому когда изображающая точка попадает на эту прямую, начинается скользящий процесс.
М.б. Метод фазоеой плоскости анализа и синтеза систем 67 2. По временнбй характеристике качественно построить фазовую траекторию: в) а) б) д) е) г) 3. Построить фазовый портрет системы при И' (р) = 2/рз и следующих значениях параметров нелинейной характеристики: а)а =О,Ь= О,б,с= 1; б)а= 6= О,б,с= 1: в)а = й= О,с = 1. 4. Синтезировать асимптотически устойчивую систему с переменной структурой из слецующих двух линейных структур 2-го порядка: а) корни характеристического уравнения первой структуры чисто мнимые, а второи структуры вещественные разных знаков; б) корни характеристического уравнения первой структуры комплексные с отрицательно вещественной частью, а второй структуры вещественные разных знаков. Глава 3 МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ Метод гармонической линеаризации, или метод гармонического баланса, первоначально был разработан для исследования периодического режима.
Однако в дальнейшем он стал использоваться также для анализа устойчивости и синтеза нелинейных систем ~53). Основная идея метода состоит в следующем. Управляемые системы 1объокты), как правило, обладают свойством фильтра низких частот: при возникновении периодических режимов они не пропускают или пропускают с большим ослаблением вторыс и более высокие гармоники.
И суть метода гармонической линеаризации состоит в описании нелинейного звена линейным уравнением, которое получается при пренебрежении (отбрасывании) указанными гармониками в разложении нелинейной функции в ряд Фурье. Метод гармонической линеаризации является приближенным методом. Однако его достоинством является то, что он применим для систом любого порядка, в отличие от метода фазовой плоскости, который может быть эффективно применен только к системам 2-го порядка.
3.1. Гармоническая линеаризация Структурную схему замкнутой нелинейной системы, состоящей из нелинейного звона (ПЗ) и линейной части (ЛЧ) линейного звена, будем называть типовой структурной схемой нелинейной системы (рис. З.Ц. В этой главе будут рассматриваться нелинейРис.
ЗЛ. Типовая структурная схема ные системы, структурные схенелинейной САу мы которых могут быть преоб- разованы к типовой. Пока примем, что задающее воздействие д = 0 1потом это ограничение снимем). Уравнения системы имеют вид у=И'(р)о, п=11е), е= — у. У. б Гармоническая нинеоризоиия Лопустим, что в системе возникает периодический режим. Тогда нелинейная функция о(1) = /[е(1)) будет периодической функцией времеви, и ее можно будет разложить в ряд Фурье: 1 о(1) = — ао+ Ь~ яшиА+ а, сояиЛ+..., 2 (3.2) где ао, .Ьм аз - коэффициенты Фурье; ш = 2я/Т; Т вЂ . период; многоточием обозначены высшие (вторые и более высокие) гармоники. Коэффициенты Фурье определяются следующим образом [14): т пэт аь = — / Г(е(т)) сояйштг1т = — / Г(е(т)) соя йштйт, й = 0,1,2,..., 2 г 2 г о т ~'+т Ьь = — / Я(е(т)) я1пйигтг1т = — / Де(т)) я1пйигтг1т, й = 1,2,..., 2 2 г т/ т/ аь =О, й= 0,1,2, тг ~"этГз Ьь = — / /(е(т)) я1пытйт = — / у(е(т)) я1пйштг1т, й = 0 1 2 т/ т / Здесь 1* --- произвольная константа, или (если Г(е) -- однозначная нечетная функция, т.е.
)( — е) = — Де)). Предположим, что линейная часть обладает свойством фильтра низких частот,т.е.выполияетгя условие (З.З) [И' (уы)[ » [Иг (уйы)[, ы = †, й = 2,3, Проверить это условие, пока ие определена частота периодического процесса, нельзя, и его перед началом исследования принимают как гипотезу. Поэтому это условие называют гипотезой фильтра. При условии (З.З) высшие гармоники не оказывают существенного влияния иа выходную величину у линейной части. Поэтому при определеиии у высшими гармониками можно пренебречь, и уравнение системы (3.1) представить в виде о = ао+ Ь| яшшг+ аз сояыг, е = — у.
(ЗА) у = Иг (р)о, Если постоянное слагаемое в ряде Фурье ао — — О, то, учитывая тождество Ьз апыг+ аз созыв = Аз яш (ыГ+ Эзз), где Аз — — ьГавз + Ьзм ~рз = агссйп(аз/Аз), из уравнений (3.4) при уста- иовившемся режиме можно получить у = Аяш(юг+ р). Здесь А = Аз [Иг,(Уиг) [, оо = Узз + вгб И' (Уш). 70 Рл. д.
Метод гармонической линеариэации Таким образом, если в системе (см. рис. 3.1) возникает периодический режим и линейная часть является фильтром низких частот, т.е. справедлива гипотеза фильтра, то колебания на выходе линейной части и соответственно на входе нелинейного звена являются гармоническими. Выберем начало отсчета так, чтобы на входе нелинейного звена е = А япагй Тогда имеем е рявыг е вйпаг1= —, соваг1= =р— А' ы ыА' Подставив эти выражения в (ЗА), при аэ —— О получим у = Уг (р)5, Н = ~д(А) + рэ'е, е = — у, д'(А) (3.5) где д(А) = — = — ~ Д(Аешь) япгддгд, Ьг 1 'Г А кА,/ э (З.ба) д'(А) = — ' = — ) 7(Ав1п уг) совгд<Ьд, А ггАд э (З.бб) или, если 7(е) однозначная нечетная функция, у(А) = — ' = — ~~(Авйпгд)вшфЖ~~г д'(А) = О.
(З.бв) А ггАд о Формулы (3.6) получены из формул для коэффициентов Фурье путем замены переменной гд = агй Система (3.5) при фиксированных амплитуде А и частоте аг является линейной. Переход от исходной системы (3.1) к линеаризованной системе (3.5) называется гармонической линеариэацией. Коэффициенты у(А) и ц'(А) называют коэффициентами гармонической линеариэации. Передаточную функцию (см. второе уравнение (3.5)) ' А гэг (1 ) ( ц)+ у(А) (3. 7а) называют передаточной функцией НЗ (нелинейного звена) и соот- ветственно выражение И'„(А) = д(А) + го'(А), (3.7б) которое получается при подстановке в передаточную функцию НЗ р = дго, называют частотной передаточной функцией НЗ.
В соотношении (3.7б) коэффициенты у(А) и у'(А) представляют вещественную и мнимую части. Поэтому д(А) будем называть ееигестееннььм, а д'(А) .—. мнимым коэффициентами гармонической линеариэации. Нелинейное звено после гармонической линеаризации представляется в виде линейного звена с передаточной функцией (3.7а), 3.2. Вычисление коэффициентов еормоиичввиой лииеориэоции 71 и структурная схема гармонически линеаризованной системы е И'„И' (р) принимает вид, представленный на рис.
3.2. Гармонически линеаризо- рис. 3.2. Структурном схема гармониванныо уравнения (3.5) были по- чески линеаризованной системы лучены при условии, что постоянное слагаемое в разложении Фурье ао = О и задающее воздействие д = О. При этом, как отмечалось, колебания на входе нелинейного звена имеют вид е = Аз1поэй и они являются симметричными. Указанные колебания будут симметричными и приведенные выкладки справедливыми, если характеристика нелинейного звена будет симметричной относительно начала координат и установившаяся ошибка будет равна нулю.
Как известно из теории линейных систем, при постоянном задакэщем воздействии установившая ошибка будет равна нулю, если система является астатичсской, т. с, линейная часть содержит интегрирующее звено. Иначе говоря, при симметричной относительно начала координат нелинейной характеристике условие симметричности колебаний совпадает с условием равенства нулю установившейся ошибки в системе без нелинейного звена. 3.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации при симметричных колебаниях Колебания назьтаются сим,метпричными, если на входе нелинейного звена сигнал имеет вид с = А з1поэй Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации основывается на построении графика выходного сигнала нелинейного звена. когда на его вход подается гармонический сигнал е = А тйв оэй 3.2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
