Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Устойчивому предельному циклу соответствует асимптоти- йод йб. Фазовые портреты и типы особых точек 2.8. Предельные циклы чески орбитально устойчивое периодическое движение [автоколебания). В системе, у которой фазовый портрет имеет вид, представленный на рис. 2.8, а, автоколебания возникают самопроизвольно при любых начальных условиях.
В этом случае говорят, что имеет место мягкое самовозбуждение [1]. Если фазовые траектории изнутри и снаружи предельного цикла удаляются от него [рис. 2.8, б), такой предельный цикл называется неустойчивым предельньин циклом. Периодический процесс, соответствующий неустойчивому предельному циклу, .нельзя наблюдать. Если движение начинается внутри такого предельного цикла, то процесс сходится к положению равновесия. Если движение начинается вне такого предельного цикла, то процесс расходится.
Неустойчивый предельный цикл служит границей области притяжения, или границей устойчивости положения равновесия [начала координат). Возможны два предельных цикла [рис. 2.8, в, г). Внутренний предельный цикл на рис. 2.8,в устойчив,и ему соответствуя>т автоколебания, а наружный предельный цикл неустойчив и является границей области автоколсбаний: автоколобания возникают при любых начальных отклонениях, ие выходящих за наружный предельный цикл. Наружный предельный цикл на рис.
2.8, г является устойчивым и соответствует автоколебаниям, а внутренний предельный цикл является неустойчивым и является границей области притяжения положения равновесия. В системе с таким фазовым портретом автоколебания возникают при достаточно большом отклонении системы от положения равновесия -- отклонении, выходящем за пределы внутреннего предельного цикла. Если движение системы начинается внутри неустойчивого предельного цикла, то она приближается к положению равновесия. В этом случае говорят, что имеет место жестпкое само- возбуждение [Ц. 60 Гл. 2.
Нелинейные систленвс Метод фазовой плосностли 2.6. Метод фазовой плоскости анализа и синтеза систем Как мы видели, .по фазовому портрету системы можно судить о ее устойчивости и характере переходных процессов. Метод исследования систем, основанный на построении их фазового портрета, называется методом у)аловой плоскостна. Постоинством метода фазовой плоскости является то, что он позволяет наглядно представить всевозможные процессы, происходящие в системе, и является точным, а не приближенным (как, например, метод гармонической линеаризации, который мы рассмотрим далее).
Его недостатком является то, что он применим только к системам второго порядка. 2.6.1. Анализ нелинейных систем. Процесс анализа нелинейных систем методом фазовой плоскости рассмотрим на конкретных примерах. Нелинейная систпеляа с реле с зоной иечуестпвитпельностпи.
Система (рис. 2.9, в) описывается следующими уравнениями; у=и, с=до — у, и= О, — 1, с >а, (с( ( а, е < — а. Введем новые переменные: хз = е, хз = хм В новых переменных урав- нения системы примет вид 1, хт = хз хз = -и, и = О, — 1, х1 >от, ~х1~ < си < — а. Разобьем фазовую плоскость на три области 1 П, П1 прямыми х1 = а и х1 = — а (рис. 2.9, й). В пределах каждой области и = солей Поэтому, разделив в последней системе второе уравнение на первое и проинтегрировав его, получим х~ ~= — 2их1+ С. В области 1 (хз < — о) и = — 1, и уравнение фазовых траекторий имеет вид хз = 2хт + Сы оно определяет семейство парабол, направленных вправо. В области П Цхт~ < а) и = О, и уравнение фазовых траекторий имеет вид х = Сз, оно определяет семейство прямых, т параллельных оси абсцисс.
В области П1 (х1 > а) и = 1, и уравнение фазовых траекторий имеет вид хз з= — 2хт + Сз, оно определяет семейство парабол, направленных влево. Как видим, уравнения фазовых траекторий во всех трех областях различаются между собой, и при переходе из одной области в другую через границу происходит переключение с одного вида траекторий на другой. Линии, на которых происходят такие переключения, называются линиями переключения. Я.б, Метод фазовай нвовности анализа и синтеза систем 61 11 б Рис. 2.9. Нелинейная система с реле с зоной нечувствительности (а) и его фазовый портрет (б) и = с з1кпе е = — (Югу+ у).
у = )сго, Вводя новые переменные хз = у, хг = хы эти уравнения можно пре- образовать к следующему виду: хг =хе, хг = — йгс з1яп (йгх + хг). Разделив второе уравнение на первое, получим такое уравнение: бхг И1с' яр! (Йгхг + хг) бх~ хг Рис. 2.10. Нелинейная система со скользящим процессом Прямая АВ на рис. 2.11, которая описывается уравнением йгхг + +хг —— О, или хг = — (11вг)хы делит фазовую плоскость на две области: область 1 (агхг + хг > О) и область 11 (йгхг+ хг < О).
Последнее уравнение в области 1 принимает вид Ихг -/с~с — — или хг ихг = — Й1сгвхы дх~ хг в области П вид дхг 1~с — — или хг ихг = Й1сввхы Ихг хг ' Рвс. 2.11. Фазовый портрет нелинейной системы со скользягццм процес- сом Решив эти уравнения, получаем следующие уравнения для фазовых траекторий: На основе полученных уравнений построен фазовый портрет системы (рис. 2.9, б). Как следует из этого рисунка, при ненулевых начальных условиях в системе возникают незатухающие колебания.
Амплитуда колебаний зависит от начальных условий, и, следовательно, эти колебания нс являются автоколебаниями. Положение равновесия (начало координат) неустойчиво, так как, если принять г < о, то какое бы малое положительное число д мы ни выбрали, возмущенное движение, начинающееся внутри сферы радиуса б, всегда достигает сферы с радиусом ж Нелинейная сцспгегнп со смользягцивв процессом. Система (рис. 2.10) описывается уравнениями 62 Гл. 2. Нелинейные сисглемы. Метов фазовой плоскоспаи в области 1 лз = -2)аз слз + Сз, 2 2.6.2.
Синтез систем с переменной структурой. Структура системы определяется составом элементов (звеньев) и связью между ними. Изменить структуру системы это значить изменить состав ее элементов или связи между элементами. Системой с переменной структурой (СПС) называют систему,. в которой структура в процессе ее функционирования изменяется на основе текущей информации для достижения определенной цели обеспечения устойчивости, улучшения качества и т.п. Использование принципов построения СПС при синтезе систем управления позволяет достичь устойчивости и приемлемого качества в тех случаях, когда параметры объекта изменяются в широких пределах или отсутствует информация,необходимая для реализации обычных алгоритмов управления с фиксированной структурой, обеспечивающих заданные требования к системе. Принципы постцроения СПС.
Построение СПС ~26) основано на формировании различных структур, обеспечивающих желаее и мое протекание заданных ре- УУ И' (р) жимов. Пусть в системе управления (рис. 2.12) передаточная функция объекта равна Игв(р) = 1((Тзрз), и при фор- Рис. 2.12. Структурная схема системы управления в области 11 л, '= 2йзслз + Сз. Эти уравнения являются уравнениями парабол, направленных навстречу друг другу. На основе этих уравнений построен фазовый портрет (см.
рис. 2.1Ц. Из этого рисунка следует; если изображающая точка не находится на линии переключения (прямая АВ), то она до достижения этой прямой будет двигаться по одной из фазовых траекторий. Как только изображающая точка пересечет линию переключения, она попадет на одну из фа.зовых траекторий, направленных в сторону линии переклкзчения. Поэтому изображающая точка опять будет двигаться в сторону линии переключения, пока не пересечет ее. Как только изображающая точка снова пересечет линию переключения, она опять окажется на фазовой траекторий, направленной в сторону линии переключения.
Поэтому изображающая точка по достижении линии переключения будет двигаться по ней, теоретически совершая колебания с бесконечно малой амплитудой и бесконечно большой частотой. В действительности, так как реле обладает конечной скоростью переключения, частота не будет бесконечно болыпой, а амплитуда бесконечно малой. Таким образом, когда изображающая точка достигнет линии переключения, она теоретически будет скользить по этой линии и двигаться к положению равновесия.
Такой процесс называют скользящим релсимом. Я.б. Метод вУазоввй плоскости анализа и синтеза еиепгем 63 мировании закона управления можно воспользоваться информацией о выходной переменной у и знаке ее производной у. Следовательно, при синтезе линейной системы мы можем воспользоваться только пропорциональным законом управления и = — Йу, Й = сопзВ. (2.8) Тогда характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид ТЛ +В=О, где хг = у.
Разделив второе уравнение на первое, получим дхг Й хг й дхг т х,' — — — — или х2 егхг = — —,хг егхг. Тг Проинтегрировав последнее уравнение, получим уравнение эллипса хг хг — '+ — г=С. Большая ось эллипса при х = кг < Тг располагается на оси абсцисс (рис. 2.13, а), а при х = йг > Тг на оси ординат (рис.
2.13, 6). Если принять закон управления хгхг < О, хгхг > О, (2.9) то во второй и четвертой четвертях изображакгшая точка будет двигаться по фазовым траекториям, представленным на рис. 2.13, и, Рис. 2.13. Фазовыв траектории маргинально устойчивых структур и СПС с такими структурами и его корни при й > О будут чисто мнимыми, а при х < О действительными и разных знаков. Следовательно, в первом случае система маргинально устойчива или устойчива по Ляпунову, а во втором случае неустойчива. Таким образом, в рамках фиксированной структуры не удается синтезировать асимптотически устойчивую систему.
СПС с двумя мареинально устпойчивыми стпрунтпурами. Уравнения рассматриваемой системы в нормальной форме имеют вид х Х1 — Х2 Х2 — Х1 Тг 64 Гл. 2. Нелинейные систпеллвс Метлод фаэовой плоскостна в первой и третьей четвертях по фазовым траекториям, представленным на рис 2.13, б. Следовательно, фазовые траектории СПС с алгоритмом управления 12.9) будут иметь вид, представленный на рис. 2.13, в 1сплошная линия). Изображающая точка по такой траектории будет двигаться к положению равновесия (началу координат), и поэтому рассматриваемая система с переменной структурой асимптотически устойчива. СПС с двумя неустпойчивыми стпруитпурами.
Пусть передаточная функция системы управления 1см. рис. 2.12) равна Ит„1р)=, 1Ь>0, аг>0, аг>0) Ь рг — а1р — аг и при формировании закона управления можно использовать информацию о выходной переменой и знаке линейной формы в = у + оу. В данном случае опять при синтезе линейной системы можно воспользоваться только пропорциональным законом управления 12.8). При этом законе управления характеристическое уравнение имеет вид Л вЂ” азЛ вЂ” аг + ЙЬ = О. Рассмотрим две структуры, соответствующие значениям Ь = Ьз и й = йг, при которых корни характеристического уравнения в пеРвом слУчае 1Й = Йг) ЯвлЯютсЯ комплексными с положительной вещественной частью, а во втоРом слУчае 1Й = йг) — вещественными и разных знаков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
