Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Коэффициенты гармонической лннеарнзацнн нелинейных звеньев с однозначной характеристикой. Если характеристика нелинейного звена является однозначной и симметричной относительно начала координат, то функция 1(е) будет нечетной. И в этом случае согласно формулам (З.бв) мнимый коэффициент гармонической линеаризации д'(А) = О. Хусочно линейная харамтперистпика с зоной нечувстпвитпельностпи и насьпцением. График выходного сигнала нелинейного звена с такой характеристикой, когда на его вход подается гармонический сигнал е = А зшоэ1, представлен на рис. 3.3.
Как следует из рис 3.3., б, пока входной сигнал НЗ не достигает величины а или переменная ф величины фз (е = Аз1пф1 = а), выходной сигнал НЗ будет равен нулю. Когда, входной сигнал изменяется на интервале ~а, 6) или переменная ф на интервале ~фы уэз), где 4г определяется из соотношения Атйп фз = Ь, на вы- 72 Ги. 3. ЛХегаод гармоноческой иинеаризоаии ходе НЗ имеем о = к(Аяп 2/г — а). Здесь к = с/(о — а) тангенс угла наклона характеристики НЗ на интервала [а,б).
И наконец, на интервале [у2з,гг/2) вы- Рис. З.З. Графики сигналов на входе и на выходе НЗ с кусочно линейной характеристикой с зоной нечувствительности и насыщением ходной сигнал НЗ принимает постоянное значение с. График выходного сигнала на интервале [О, х) симметричен относительно прямой у2 = х/2. Поэтому выходной сигнал на интервале [л/2, х — у22) равен постоянной величине с, на интервале [я — у2з, х — г(гг) описывается функцией а = к(А яп ф — а) и на интервале [гг — фг, гг) Равен нУлю.
Таким образом, вещественный коэффициент гармонической линеаризации определяется следующим образом (см. (З.б в)): гг(А) = — ' = — //(Аяпу2) э1пу2г1у2 = — ~ / к(Азшу2 — а) япу2212/г+ А 2гА,/ ггА [ / о И2 ° 1 + / ск;.222+ / Ж(2,;в 2-.)Ю.2 Г2). Е2 Ч2 Используя тригонометрическое тождество эш у2 = (1 — сов 2уг)/2, находим э1п у2 г1у2 = / — (! — сое 22(2) Й(2 = — у2 — — э|п 2ах 2 г1 1 1 ,/ 2 2 4 Поэтому, проинтегрировав выражение для вещественного коэффициента гармонической линеаризации, получим ( 1 1 га гг(А) = — ~к [А(- у2 — — яп 2у2/ + асов г(2~ Л вЂ” И2 л — тг ) — ссекал[ +й[А( — у2 — — вш2ф/ + асоз2р) ).
И2 2 4 Л вЂ” Е2 З.Я. Вычисление коэ(рфиииенгпое гармонической лииеориваиии 73 Подставив пределы интегрирования, найдем 4Гг Г1 1 (Г(А) = — ~ — ((Г(з — грг) — — (вгп 21(гз — ягп 2(рг) + я 12 4с + а(сонтаг — сояя(1)1 + — соягрз. яА Учитывая, что справедливы соотношения Авгпфг = а, А81пфг = 6, а . Ь фг = аГСгйл —, гуз = агсвш А' ' А' для вещественного коэффициента гармонической линеаризации нелинейного звена с зоной нечувствительности и насыщением, получаем 2с . Ь, о (7(Л) = агс8!п — — 81с81п — + гг(Ь вЂ” а) г — ((( — ( — ) — — ((( — ( — ) ~ . (3.8( Эта формула справедлива при А > 6.
Кусочно линейная харакгперистпика с насыщением. Эта характеристика (см. рис. 2.2, а) является частным случаем только что рассмотренной характеристики, когда параметр а = О. Поэтому формулу для коэффициента гармонической линеаризации НЗ с такой характеристикой получим, если в соотношение (3.8) подставим а=О: ГГ(А) = — ' агсяш — + — 1 — (1 — ), Л > Ь. ггЬ ~ ' А А 1А) Кусочно линейная характерисгпика с зоной нечувспгвительностпи. Эта характеристика (см.
рис. 2.2, в) является частным случаем кусочно линейной характеристики с зоной нечувствительности и насыщением, когда параметр 6 = А (см. рис. 3.3). Поэтому формулу для коэффициента гармонической линеаризации НЗ с такой характеристикой получим, если в соотношение (3.8) подставим Ь= А: 26 я . а а г'а 1 (7(А) = — — — агсяш — — — 1 — ( — ), А > а. гг ~2 А А (,А) Ре.лейная характеристика с зоной нечувстпвитпельностпи.
В этом случае пока входной сигнал не достигнет значения а (рис. 3.4, а) или переменная (Г( значения фг (е = А вгп грг = а), на выходе НЗ сигнал равен нулю. Выходной сигнал на интерва- 74 Га. 3. Малгод гарланичесяов аснеараэавии ле [гаг, я — гаг] равен постоянному значению, на интервале [т — фг, я]-- нулю. На основании графика выходного сигнала (рис. 3.4, 6) веществен- Рис. 3.4.
Графики входного и выходного сигналов НЗ с релейной характе- ристикой с зоной нечувствительности ный коэффициент гармонической линеаризации определяется следующим образом: г7(А) = — ' = — / ~(А з1пф) вгп г7гдф = '1 2с 2с л — тг — / згп ф Пга = — ( — соз ф) яА / тА аг Учитывая, что А звп фг — — а, или з|п гл = а/А и соз чгг —— = Ф:Т'иГ, д(А) = — ' г/~ — Я, А э Хараитперистпииа идеального реле.
Эта характеристика является частным случаем предыдущей характеристики при и = О. Поэтому для получения вещественного коэффициента гармонической линеаризации в этом случае достаточно в предыдущее соотношение подставить о = О. Тогда получим к[А) =— тА' Все полученные выше формулы для коэффициентов гармонической линеаризации представлены в табл. ЗА. 3.2.2. Коэффициенты гармонической линеаризации нелинейных звеньев с неоднозначной характеристикой.
В случае, когда характеристики НЗ являются симметричными, но не однозначными, мнимый коэффициент гармонической линеаризации не равен нулю. Поэтому нужно вычислить оба коэффициента. Гж у. Метиод гармонической иииеириэаиии Рис. 3.5. Ррифики входного и выходного сигналов НЗ с кусочно линейной характеристикой с гистеризисом и насьицеяием жением относительно оси абсцисс и сдвигом вправо на я. Точно таким же свойством обладают кривые функций синуса и косинуса, на которые умножается выходной сигнал НЗ при вычислении коэффициентов гармонической линеаризации.
Поэтому в данном случае в формулах (З.ба) и (3.66) значения интегралов на указанных интервалах будут совпадать и в них интегралы можно удвоить, заменив верхний предел интегрирования 2я на тц т.е. записать эти формулы следуюпшм образом: д(А) = — ~~(Азшф) ьйпфдф, 2 е (3.9а) д'(А) = — )у'(Авшие) созфй~~, иА у е (3.9б) Выходной сигнал НЗ (рис.
3.5, б) на интервале [О, фт] описывается функцией о = к(Аз1пф — а), на интервале [фыр) принимает постоянное значение с и на интервале [трз, я[ описывается функцией о = к(Аешь+ а). Поэтому формулы (3.9а) и (3.96) принимают вид е1 та 9(А) = — ~ Й(Азшу — а)зшфсЬ~+ /сз|пфйф+ лА ~ у о е1 . (иг...Н ..)...Фгг[, и 10.) ег Кусочно линейная харатетперистпана с еистперезисоги и насытцениеи (см. рис. 2.2, е).
Сама характеристика и графики входного и выходного сигналов представлены на рис 3.5. Кривую выходного сигнала НЗ на интервале [я,2я) можно получить из той жо кривой на интервале [О, я) зеркальным отобра- А.Я. Вычисление ноояггриииентое еарлбоничесной линеариоаиии 77 Ог О2 21'(А) = — ~ /й(Аяша — а) сояф 21ф+ )' ссовфг 21ф+ о Ег -';/222 1 2 ) 222~.
22.12б) 22 Проинтегрировав (3.10а)1 получим 2 1йА1' 1 27(А) = — ~ — (262 — — ягп 22рг) + йа(сов грг — 1) — с(соя 2)22 — соя фг) + иА~2 (, 2 йА г' 1 б — ( — 2 2-2 22 )21 (12 2 2~. 2 2 Учитывая соотношения (см. рис. 3.5, а) с = й(Ьг — а), Ьв = Ьг — 2а, Ая1пуббг = Ьг, Аяшгйв = Ьз, 61 . Ь.
грг = агсяш —, грг = л — агся1п —; А' А' последнее выражение можно преобразовать к виду й 1 . Ьг . 62 Ь1 г'6112 ЬА г'62'12 21(А) = — ~агсв1п — + агся1п — + — 1 — ~ — ) + — 1 — ~ — ) гг~ А А А 2А) А 2А) А > 62. (3.11а) Проинтегрировав (3,10б)1 получим 2 1 11 г 27 (А) = — ~й(- А ягп грг — ав1пгрг) + с(ят грг — вгпгрг)— АгА ~ (22 — 2(-12 22+ А 22)~. 71 . г (,2 Подставив сюда с = й(62 — а), я1п грг = Ьг/А и яш грз = 62/А, получим д'(А) = ( ' , ') 1 А > Ьг.
(3.116) Люубгп. Эта характеристика (см. рис. 2.2, г) является частным случаем предыдущей характеристики при выполнении неравенства А < Ьг. Поэтому, положив Ьг = А и Ьз = А — 2и, из (3.11а) и (3.116) получим 2(А) = — ~ — б 1 (1 — — ) 22(1 — — ) 11 — (1 — — ) ~, 4йа 1' аз д'(А) = — — (1 — — ), А > а. ггА (, А)' Релейнгхя харамгперггсгпима с еистперезисолг. Характеристика, а также входные и выходные сигналы НЗ представлены на рис. 3.6. Квк и при вычислении гармонических коэффициентов линеаризации НЗ с неоднозначными кусочно линейными характеристи- 78 Гл. о, Менгод зорлоничесиой оииеоризоиии ками, в данном случае можно пользоваться формулами (3.9а) и [3.9б).
Как следует из рис. 3.6, б, выходной сигнал Н3 на интервале [О, уог] равен Рис. З.б. Графики входного и выходного сигналов НЗ с релейной характе- ристикой с гистеризисом постоянной величине — с, а на интервале [тзых) постоянной величине с. Поэтому из (3.9а) и (3.9б) получаем 1 2 г .. 2 Г г(А) = — ~Г(А ' Ею ого = — [ — )т ' Ггт г) ' Г го) = кА,/ з.А [ о о ег = — (ссозф[ — егози[ ) = — 'созфы 2 н, л 4с нА кА г ег 2 г . 2 гг г'Ог) = — гГ(А ' г) .
Фгг = — [ — Ггг Фгг г ) Фзт) = ггА/ ' ггА[ о о ег = — "(- г Ю[в'+ ЫЮ[; ) = - — сЫ ф,. Из рис. 3.6, а, имеем Азшфг = 6, или гйпчгг = д,1А и соеугг = =от:~372~'. о ° * -р . ° ° .р ° р «- функций в полученные выше соотношения для коэффициентов гармонической линеаризации, найдем г(з) = — 'Г)1 — [ — ), г'ГА) = — ', А ~г. Релейная харантпернстпина с зоной нечувстпвнтпельностпи и гистперезисо.н. И в этом случае для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации можно пользоваться формулами [3.9а) и (3.9б).
З.Я. Вычисление коэффициентов еарночическои линеариоации 79 Сигнал на выходе НЗ на интервалах [О, г)эг) и [уэз, и) равен нулю, а на интервале [г)ггг Оэз1 принимает Рис. 3.7. Графики входного и выходного сигналов НЗ с зоной нечувст- вительности и гистерезисом постоянное значение с (рис. 3.7, Ь). Поэтому из формул (3.9а) и (3.9б) имеем 9(А) = — / Д(Азшуэ) згпуэсгг)э = — / свшуэгЬэ)э = 2 г .. 2 г кА,/ эгА / Ог 2с — (соз 'оэз соз 'оэг)1 эгА к оэ 2 г' 2 д'(А) = — / Д(А зш оэ) соз э)э й р = — / с соз цэ сгг)э = †.А / кА / о 2с = — (згп гЬз — ьйп цгг).
эгА Из рис. 3.7,а следует Азшг)гг = Ь и Азгпуэз = а, или зшфэ = = гГА, ' Ф = Гл Е = эо — |Ылсг Ф = — эс — (ЬГлз. Подставив эти выражения для тригонометрических функций в полученные выше соотношения для коэффициентов гармонической линеаризации, найдем д(А) = — ~ 7г — ( — ) .,'. 1/г — ( — ) г( ~) 2с(Ь вЂ” а) эгАо Полученные формулы для коэффициентов гармонической линеаризации НЗ с неоднозначной характеристикой сведены в табл. 3.2. 3.3. Исследование снммепсрнчных автоколсбаннв 81 З.З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
