Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Так как по условию г'(х, «) < < О, то Ъ'(х, «) < Ъ'(х~, «е) < т, если (х(«в)! < б. Следовательно, траектория х(х,«) никогда на достигнет сфеРы Яя, на котоРой Р(х,«) > т, если только ~х~о~ < б. ТеоРема доказана. Функции, которые удовлетворяют теоремам устойчивости или неустойчивости, т.е.

по которым можно судить об устойчивости или неустойчивости системы, называются функциями Ляпунова. 4.з. Устойчивость неавтономных систем Рассмотрим два новых понятия, которые потребукзтся при формулировке следующих двух теорем. Функция И(х,«) называется функцией, допускаюи«ей бесконечно малый верхний предел, если как бы мало ни было положительное число е', найдется такое положительное число б', .что (Ъ'(х, «) ~ < е' при всех «> «о, если ~х~ < б'.

Функция Г(х, «) называется функцией, допускаюи«ей бесконечно большой нижний предел, если как бы велико ни было положительное число Е, найдется такое положительное число Ь, что ~И(х, «) ~ > Е при всех «> «о, если (х~ > Ь. Иначе говоря, функция У(х,«) называется функцией, допускающей бесконечно большой нижний предел, если при любых «> «о )Г(х, со)! -ь оо при )х( — ь оо. Например, функции 1 (х~«) = (х1 +хе+хе)81п «, 1 (х,«) = (х1+хз+хе)е.

являются функциями, допускающими бесконечно малый верхний предел, а функции И(х,«) = 108ш ((х~~+х~~)«), И(х,«) = 10(хз 4-хзз)ее таковыми нс являются. В пространстве п~ функция Г(х «) = (х~ + хз + хз)(81п «+ 1) является функцией, допускающей бесконечно большой нижний предел, а функции Г(х, «) = (х~ + х )(зш «+ 1), х1 3 хз е(х,«)= [ + . + .1(81п «+1) таковыми не являются. Теорема 4.2 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости).

Положение равновесия неавтономной системы (4.2) асими; тотически устиойчиво, если существует такая положительно определенная функция И(х, «), допускаюьцая бесконечно мальве верхний предел, что ее производная по времени в силу уравнения этой системы (4.2) является отрицательно определенной функцией. Показательство. Так как выполняется условие теоремы 4.1, положение равновесия х = О устойчиво по Ляпунову. Поэтому в соответствии с определением 2.4 достаточно показать, что при выполнении условия теоремы существует такое положительное число ц, что х(х", «) ь 0 при « -з оо, если ~хо~ < ц. По условию теоремы существует функция И(х, «), которая обладает следующими свойствами: 7(х,«) > О, 'г'(х,«) < 0 при х ф О, при всех «> «о.

8 Л.П. Ким 114 Гл. 4. Метод функции Ляпунова Так как функция 1'(х.,1) в силу указанного выше свойства монотонно убывает и ограничена снизу нулем, то существует придел Ъ'(х(х~,1),1) — е Ъ~ > О при 1-э оо. Если Ря = О, то и х(хв,1) — е О при 1 — э оо, так как функция 1е(х,1) обращается в нуль только при х = О., т. е. в этом случае теорема верна. ЛопУстим пРотивное; 1п ф О, т.е. 1еь > О.

Так как положение Равновесия х = О устойчиво по Ляпунову, то для любого положительного числа в найдется такое положительное число д, что при всех 1 > $о ~х(х . 1)~ < е, если (х ( < д. (4.3) Так как функция И(х,1) допускает бесконечно малый верхний предел, то для любого положительного числа е', в частности, е' = Ъ'ь, найдется такое положительное число 4', что при всех 1 > 1в ~Ъ'(х,1)~ < в' = 15,, если (х~ < 4'.

Но так как 1'(х(х", 1), 1) > Ры то в силу последнего условия ~х(хв, «) ~ > > У. С учетом (4.3) получаем 4 < (х(х,1) ~ < е. (4.4) Так как производная 1'(х,е) является отрицательно определенной функцией, то существует положительно определенная функция ю(х), удовлетворяющая неравенству Ъ'(х,1) < — ю(х). (4.5) минимальное значение функции ю(х) на интерва- Пусть Д ле (4.4): шш ю(х). б'<)х)це Тогда на этом интервале справедливо неравенство ю(х) > (з, или — ю(х) < — Д. Из последнего неравенства и неравенства (4.5) следует $'(х(х,1), е) < — )з. Проинтегрировав это неравенство от 1е до 1, получим И(х(х,1),1) < )е(х,1о) — (д(1 — 1о).

При больших 1 правая часть последнего неравенства будет отрицательной, что противоречит тому, что Ъ'(х, 1) положительно определенная функция. Это противоречие получилось из-за предположения, что 1'е У. -О. Следовательно, спРаведливо Равенство 7д = О. ТеоРема доказана. Пример 4.2. Исследовать устойчивость положения равновесия системы йе = -е из +е - яз, йз = — 2е зет, — тз. Решение. Функцию Ляпунова будем искать в виде Ъ'(х) = т' + еет~ ~(о > О).

44ог 4.г. Устойчивость неавоюномных сиссаем Производная по времени от этой функции в силу заданных уравнений имеет вид Ъ'(х) = 2хсхс + 2охгхг = — 2х,е + 2хсхге — 4охгх,е — 2охг. —,— гс — гс л Если положить о = 1,с2, то производная принимает вид $'(х) = -2хгсе ' — х42 и становится отрицательно определенной функцией. Следовательно, положение равновесия заданной системы асимптотически устойчиво. Теорема 4.3 (теорема об асимптотической устойчивости в целом). Положенссе равновес:ия х = О неавспономной системы (4.2) осимптотически устойчиво в целом (глобально осимптотпчески устойчиво), если существует слакав положительно определенная функссия $'(х,й), допускаюизая бесконечно малый верхний предел и бесконечно большой нижний предел, что ее производная по времени в силу уравнения этой системы является отрицательно определенной усункциеи.

Здесь, естественно, предполагается,что функция 4с(х,с) является положительно определенной функцией, а ее производная . отрицательно определенной функцией на всем фазовом пространстве Асс. Показательство. Так как выполняется условие теоремы 4.2, положение равновесия асимптотически устойчиво. Поэтому достаточно показать, что при любом начальном условии х(4о) = х возмущенное движение х(х, 4) — С О при 4 — 4 со. Функция 42(х, 4) на траекториях возмущенного движения является монотонно убывающей функцией времени и ограничена снизу нулем. Поэтому существует предел )с(х(х,4)) 4 )сь пРи 4 -4 сю. Если гь = О, то х(хо,4) 4 О при 4 — с оо, так как Г(х,4) обращается в нуль только при х = О. Поэтому достаточно показать, что предел Ъсь = О на любых возмущенных траекториях.

Лопустим противное: 4'ь ~ О, т.е. $ь > О. В связи с тем, что функция Ъ'(х,4) допускает бесконечно малый верхний предел, для е' = 'гь найдется такое положительное число б', что Г(х,~) < е' = гь при всех 4 > 4о, если ~х~ < б'. И так как ~'(х(х,4) > $5„.,то справедливо неравенство (х(х, ь)( > б' при любых 4 > 4о. (4.6) В силу того, что функция ь'(х,4) допускает бесконечно большой нижний предел, для любого положительного числа Е найдется такое положительное число сз,. (4.7) Ъ'(х,4) > Е при любых 4 > 4о. сели ~х~ > Ь. Так как Ъс(х, й) < О пРи всех х ф О и 4 > 4о, то Ъ'(х(х", 4), й) < Ъ'(х, ~о) = Ъ~ при всех 4 > 4о.

116 Гл. 4. Метод функций Ляпунова Поэтому если принять Е = Ъха, то в силу условия (4Л) последнее возможно если ~х(х,1)( < Б. Из этого неравенства и неравенства (4.6), получаем 4' < (х(х", Х) ! < 55. В связи с тем, что Ъ'(х,б) является отрицательно определенной функцией., существует положительно определенная функция т(х) такая, что 1'(х,г) < — и1(х). Пусть 13 минимальное значение функции и1(х) на указанном выше интервале: ;3 = пйп я(х). б'<(х)йбх Тогда так как на этом интервале справедливо неравенство я(я) > 13 или — я(т) < — 13, то $" (х(х,1) 1) < — 13. Проинтегрировав последнее неравенство от йв до 1, получим 1б(х(хв, Г), й) < 1'(ха, Го) — )3(1 — йа).

Правая часть этого неравенства при больших 1 принимает отрицательное значение, что противоречит тому, что И(х,й) положительно определенная функция. Противоречие получилось из-за предположения, что предел И1 ~ О. Следовательно, укаэанный предел должен быть равен нулю, что доказывает теорему. П р и мер 4.3. Исследовать устойчивость положения равновесия системы ф1 = — (1 + яп 1) т1 + яз — яэгы 22 — х1 Я2 Е хз. — 5 Решение. Функцию Ляпунова будем искать в виде И(х) = л~+ от~ ~(ее > 0). Производная по времени от этой функции в силу заданных уравнений имеет вид Р (х) = 2 тгй1 + 2 еглгйз = 2 Я1( — (1 + Яп е)Я1 + хз — 21) + + 2ееяз(-я1 — яг — е 'тг). Если положить о = 1, то кандидат на функцию Ляпунова становится положительно определенной функцией, а производная принимает вид 1б(х) = — 2[(1 + япз 1)я1~ + тг~ + яз + е 'х~~) и становится отрицательно определенной функцией.

Кроме того, эта функция допускает бесконечно большой нижний предел. Следовательно, положение равновесия рассматриваемой системы асимптотически устойчиво в целом. 4.2. Устойчивость неавтономных систем 117 4.2.2. Теоремы о неустойчивости. Из того, что не удается найти функцию Ляпунова, позволяющую говорить об устойчивости положения равновесия системы, не следует, что оно неустойчиво. Поэтому важную роль прн исследовании нелинейных систем могут сыграть теоремы о неустойчивости. Теорема 4.4 (первая теорема Ляпунова о неустойчивости).

Положение равновесия х = О неавтономной систпемы (4.2) нсуглпойчиво, если существует, функция Ъ'(х,1), допускающая бесконечно малый верхний предел, такая, что сс производная (г(х,о) в силу уравнения этой системы является положительно определенной функцией и при всех 1 > 1о в любой малой окрссгпности начала координат найдется точка х = хо, в которой функция И(х,с) пранимаеп1 положительное значение..

Характеристики

Список файлов книги