Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Отсюда после интегрирования 1юлучаем Р1 = — 21. Рг = Хг, 1 (Х) = Р1(Х1) + Рг(хг) = — Х1 + Хг. ,2 2 2 2 2 2 Производная по времени от функции кандидата на функцию Ляпунова имеет вид 122 Гги 4. Метод функции Ляпунова Целой тринкгиорией (или полутраеьторией) системы называется фазовая траектория в пространстве Йп, соответствующая решению уравнения этой системы х(х", у) (х" = х(1о)) на всем интервале времени 1е < 1 < оо. Так как при х = О решение х(0,1) = О при всех 1 > 1о, то начало координат х = О соответствует целой траектории.
Если множество М задается уравнением уг(х) = О: М = (х: уг(х) = О), уг(х) -- гладкая (т.е. с непрерывными частными производными по всем своим аргументам) функция, то условие отсутствия в М целых траекторий можно записать следуюгцим образом; ~ — 1 хг = — 'Х(х) = йга11 уг(х)Х(х) ф О.
ар . др ах, * дх (4.13) з х1 г'2 х2 х1 х2. Решение. Воспользуемся методом разделения переменных. Согласно этому методу имеем И(х) = рг(хг) + Гг(хг). Производная по времени от этой функции в силу уравнений заданной системы имеет вид дРг де1 дуг дрг, з 1 (х) = — и1 + — хг = — хг — — хг — — х . 2' дх~ дхг дх~ дх2 дх2 И чтобы она представляла сумму функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, необходимо, чтобы выполнялось равенство дг*1 дг'2 дР1 У дР2 У хг — х1 — — О или 1 хг = 1 хг. дх1 дх1 дх де 2 Так как левая часть зависит от х1, а правая часть от хг, то последнее равенство возможно, если обе части являются константами и равны, например, единице. Тогда имеем дР'г — = Х1~ дхг Это неравенство должно выполнятся на множестве М, т. е. при условии уг(х) = О.
Множество М = (х: уг(х) = О) представляет собой поверхность, и последнее условие означает, что вектор скорости изображающей точки не лежит на ее касательной плоскости. И, следовательно, если изображающая точка попадает на поверхность (множество М), где производная функции Ляпунова й(х) = О, то она сразу же ее покидает и оказывается в области, где 1г(х) < О.
Показательство теоремы 4.8 основывается теореме об инвариантных множествах из теории множеств и здесь не рассматривается. Пример 4.7. Исследовать устойчивость положения равновесия х = О системы 4.У. Устойчивостпь автпономных систем 123 Отсюда после интегрирования получаем ~1 х1 ~2 х2 1 (х) ~1(х1) + ~2(хг) с1 + 12. 2 1 2 1,2 1,,2 2 ' 2 2 2 Производная по времени от функции кандидата на функцию Ляпунова имеет ви д дог з 1 1 (х) = — — хг = — хг.
дхг Она отрицательно полуопределена и обращается в нуль вне начала координат на множестве, определяемом уравнением уг(х) = хг — — О. Условие (4.13) принимает вид ~ Х(х) = (О Ц Х(х)/ = ( — хг — х~~)! = — хг. дф яг=а В этом соотношении правая часть обращается в нуль на прямой хг = О только в начале координат. Следовательно, по обобщенной теореме об асимптотической устойчивости положение равновесия рассматриваемой системы асимптотически устойчиво. Теорема 4.9 (теорема об асимптотической устойчивости в целом). Положение равновесия х = О автономной системы (4.12) асимппготически устойчиво в целом (глобально асимптлотически устойчиво), если сущестлвует такая положительно определенная функция )т(х), допускающая бесконечно большой нижний предел, что ее производная по времени в силу уравнения этой системы является отрицательно определенной функцией.
Так как функция непрерывна и обращается в нуль в начале координат, то она допускает бесконечно малый верхний придел. Поэтому теорема 4.9 вытекает из теоремы 4.3. Теорема 4.10 (теорема Барабашина-.Красовского об асимптотической устойчивости в целом). Положение равновесия х = О автономной системы (4.12) асимппштически устойчиво в целом (глобально асимптотлически устойчиво), если существует такая положитлельно определенная функция Ъ'(х), т)опускиющия бесконечно большой нижний т1редел., что ее производная по времени в силу уравнения этой систлемы является отрицательно полуопределенной функцией, и она обращается в нуль вне начала координат на множестос М, нс содержащем целых траекторий.
В качестве примера рассмотрим систему нз примера 4.7. Было показано, что функцией Ляпунова для этой системы является 12(х) = х1,12 + хгг,/2, которая стремится к бесконечности при ~х~ — т сю. То есть эта функция и, как было показано, ее производная удовлетворяют условию теоремы Барбашина — Красовского. Следовательно, положение равновесия рассмотренной в примере 4.7 системы является асимптотически устойчивым в целом.
4.3.2. Теоремы о неустойчивости. Теоремы о неустойчивости положения равновесия автономных систем вытекают из аналогичных теорем о неустойчивости положения равновесия неавтономных систем. 124 Гл. 4. Метод функций Ляпунова Теорема 4.11 (первая теорема Ляпунова о неустойчивости). Положение равновесия х = 0 автономной системы (4,12) неустойчиво, если существует функция Ъ'(х) такая, что ее производная Г(х) в силу уравнения этой системы является положительно определенной функцией и в любой малой окресгпности начила координат найдется точка х = х, в которой функция 1е(х) принимиет положительное.
значение. Пример 4.8. Исследовать устойчивость положения равновесия х = 0 системы хз = 2( — хз + хз). =8х,+, з Р е ш е н и е. В качестве кандидата на функцию Ляпунова рассмотрим квадратичную форму 1 (х) = х1 + охз (о > 0). Производная от этой функции по времени в силу заданных уравнений имеет вид 1'(х) = 2х1хз + 2 охи тз — — бх, + 2хзхи — 4 охз хи + 4 охз. Если положить о = 1/2, то получим Ъ'(х) = бхл+ 2хл. Выбранная функция )г(х) в любой малой окрестности принимает положительное значение, ее производная Ъ (х) является положительно определенной функцией.
Следовательно, по теореме 4.11 положение равновесия рассматриваемой системы неустойчиво. Теорема 4.12 (вторая теорема Ляпунова о неустойчивости). Положение равновесия х = 0 автономной системы (4.12) неусгпойчиво, если суиветпвует функция Г(х) такам, что ее производная Ъ'(х) в силу уравнений отпой сисгпеиы имеепв вид 4'(х) = о1е(х) + ю(х), где о > О, ю(х) - положительно полуопределеннпя функция, и в любой малой окрестности начала координат найдется точка х = = х, в которой функция )е(х) принимает положительное значение.
4.4. Устойчивость при постоянно действующих возмутцениях Выше мы рассматривали устойчивость невозмущенного движения, когда возмущенные движения были обусловлены ненулевыми начальными условиями. В этом параграфе рассмотрим случай, когда на систему постоянно действуют возмущения. Наряду с неавтономной системой (4.14) х = Х(х,1), Х(0,1) = 0 Ч1 > 1е 44. Устойчивость при постоянно действующих еоэмущенивх 125 рассмотрим неавтономную систему (4.15) х = Х(х,1) + П(х,1), где Л(х, Г) неизвестная функция, характеризующая постоянно действующие возмущения. В общем случае й(0,1) ф. О и невозмущенное движение х = О не является решением уравнения (4.15).
Определение 4.1. Положение равновесия х = О системы (4.14) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если для любого малого положительного числа е найдутся такие положительные числа бо и бы что при выполнении неравенства ~Л(х,1) ~ < бс при всех (х~ < е и 1 > 1о возмущенное движение системы (4.15) подчиняется неравенству ~х(х,1)~ < е при любых ~х ~ < бв и 1>10. Нестрого говоря, устойчивость при постоянно действующих возмущениях означает, что при малых возмущениях отклонения возмущенного движения от невозмущенного движения малы. Теорема 4.13 (теорема Малкина об устойчивости при постоянно действующих возмущениях).
Положение равновесия х = О неавтономной системы (4.14) устойчиво при постоянно действующих возмущениях,, если существует такая положительно определенная функция е'(х,1), допускающая бесконечно, малый верхний предел, что ее производная по времени е силу уравнения этой системы являегася отрицательно определенной функцией, и ее ерадиент удовлетворяет неравенству (4.16) где 1э' --.
положительная константа. Доказательство. Так как У(х,г) является положительно определенной функцией, то существует положительно определенная функция юэ(х), удовлетворяющая неравенству Г(х,1) > юэ(х). Обозначим через т минимальное значение этой функции на сфере Ян радиуса е: т = ппп ю1 (х) хеэ, На сфере Я, при всех 1 > 1о (4.17) )г(х,1) > юэ(х) > т. Так как г'(х,1) допускает бесконечно малый верхний предел, то существует такое положительное число бо, что при ~х~ < бо (4.18) Ъ'(х,1) < т Ч1 > 1о. Пусть Ъ'ОО производная по времени функции )'(х,с) в силу уравнения (4.14).
В связи с тем, что производная УО4> является отрицательно определенной функцией, существует положительно опре- 4.б. Исследование нелинейных систем по линейному приближению 127 4.5. Исследование нелинейных систем по линейному приближению Проблему исследования нелинейных систем по их линейному приближению впервые поставил и разрешил А. М. Ляпунов (42, 34]. Судить об устойчивости исходной нелинейной системы по линейному приближению можно не всегда. В качестве примера рассмотрим систему з з ~1 ~2 + О~1~ ~2 ~1 + О~2 Функцию Ляпунова будем искать в виде положительно определенной квадратичной формы Г(х) = хз + хх.
Производная по времени от этой функции в силу заданных уравнений имеет вид 1'(х) = 2я121 + 2х хз = 2о (ял + хл), она является положительно определенной функцией при а > О и отрицательно определенной функцией при а < О. Следовательно, положение равновесия х = О рассматриваемой системы неустойчиво при а > О и асимптотически устойчиво при а < О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
