Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Метод разделения переменных. Этот метод предложен Е. А. Барбашиным и состоит в следующем. Кандидата на функцию Ляпунова ищут среди функций, которые сами, как и их производные по времени, в силу заданных уравнений системы представляют сумму функций, каждая из которых зависит только от одной фазовой переменной: Ъ'(х) = ~~ Р)(х,), 1г(х) = ~~ г61(х,). с=1 г — — 1 138 Гл. 4.
Метод функций Ляпунова 3. Метод Лурье- Постникова. А. И. Лурье и В. Н. Постников, рассматривая задачу об устойчивости нелинейной системы, содержащей одну нелинейность о = ф(е), использовали в качестве кандидата на функцию Ляпунова сумму из квадратичной формы и интеграла от нелинейной функции, т. е. функцию вида [41] И(х) = х Вх + / ф(е) де, о где в общем случае е = стх. Более детально этот метод был разработал А. И. Лурье [40].
Он широко используется при рассмотрении задачи об абсолютной устойчивости, о которой речь пойдет в следующей главе. 4. Метод Красовского. Этот метод состоит в том, что при рассмотрении устойчивости автономной системы х = Х(х), Х(0) = О, х Е В", в качестве кандидата на функцию Ляпунова рассматривают квадратичную форму И(х) = Х'ВХ. Симметричную матрицу В нужно выбрать так, чтобы сама квадратичная форма была положительно определенной, а ее производная по времени в силу заданного уравнения системы отрицательно определенной.
В качестве примера рассмотрим систему хг — — хг, хг — — — Ьх, — уг(хг), 6 ) О, уг(0) = О. Матрицу В выберем диагональной: Ьы О Тогда кандидат на функцию Ляпунова примет вид И(х) = Ьытг+ Ьгг[ — Ьх, — Уг(хг)]~. Производная по времени в силу заданных уравнений имеет вид Г(х) = 26ыхгхг + 2Ьгг[ — Ьхг — уг(хг)] ( — Ьхг — хг) = дуг дхг = 2[Ьхг + зг(хг)](ЬггЬ вЂ” Ьы)хг — 26гг ~ [Ьхг + зг(хг)] Положив Ьм — — 6 и Ьгг — — 1, получим 4е(х) = Ьхг г+ [Ьх~ + Уг(х~)], Ъ'(~) = — 2 ~Ь~~ + Уг(х~)] . В.7.
Методы построения фупичвй Пяпупова 139 Как нетрудно убедится, И(х) является положительно определенной функцией и И(х) — 1сю при ~х~ -+ оо. Если доо/дх2 ) О при хз ф О, то производная г'(х) является отрицательно полуопределенной и обращается в нуль на многообразии п(х) = Ьхз + 1р(хз) = О, т.
е. на множестве, определяемом указанным уравнением. Это множество не содержит целых траекторий, так как ягаг1о.(х) Х(х)~ < — — Ьхз у- 'О вне начала координат на указанном многообразии. Поэтому по теор1. ме Барбашина- Красовского положение равновесия рассматриваемой системы будет асимптотически устойчиво в целом. 5. Метод Воквра-Кларка (Ъокег- К!агк). Пусть система описывается уравнением д"у 1 ду д"-'у~ д2- " ( 0' дг ' " ' дгп / или, в нормальной форме, Х1 = Х2, Х2 = ХЗ, = — У(Х1 Хз Х ). В качестве кандидата на функцию Ляпунова при этом методе рас- сматривается функция Ъ (Х) = / .1 (Х1 Х2 ° 1Хп) ЙХп — 1 + + и (Х1 22 ° Хп) о ГдЕ НЕИЗВЕСтяая фуНКцИя Р(Х1, Хз,..., Хп) ВЫбИраЕтСя таК, ЧтОбЫ ПрО- изводная г'(х) в силу заданных уравнений системы была отрицательно полуопределенной. Исследуем этим методом систему у + ((у, у) = О,,((О, О) = О, или Х1 = Х2, 22 = —,((Х1, Х2).
В соответствии с методом Вокера-Кларка в качестве кандидата на функцию Ляпунова принимаем *1 1'(х) = / .(( 1, хз) 11 1 + †' + Р'(х ,хз). о Производная от этой функции по времени в силу заданных уравнений имеет вид 140 Гт 4. Метод фуикчаа Ляпунова г''Гчду ') .. дГ. ду . (Х) .~(х! Х2)Х! + ) / Еех! /Х2 + Х2Хг + — Х1 + Х2 [, / дхг / дх1 дхг о Г дг дГ дГ = — г (Х1, Х2) / ох1 + Х2 — 1 (Х1, Х2). / дх, Х1 дхг о Если положить Р(Х1, хг) = О, то получим Задачи 1. Исследуйте, являются ли положительно определенными в пространстве Л~ следующие квадратичные формы: а) И(х) = х21 + 2хг г+ Зхз г+ 2х1хг — 4хгхз,. б) И(х) = хг — 2хг г+ Зхг з+ 2хгхг — 4хгхз,.
в) И(х) = хг — 2хг г— Зхг + 2х1хг — 4хгхз, Г) у (Х) = Х1 — 2Х2 Хз + Х122 + Х1хз! д) Ъ'(х) = хг + Зхг + 2хгхг — 4хгхз, е) е' (х) = — х21 + 2хг г+ 2хз г+ 2х1 хг + 4хгхз + 2хгхз. 2. Исследуйте методом функций Ляпунова устойчивость положения равновесия следующих систем: а) Х1 = 0,5х1 — хг -!- 2хг — х1, хг = — 22! — хг, з б) Х1 = -х1+ 2хг, хг = -2х1 — хг — хг, з ,з. в) х1 = 2хг — хгз, хг = -2х1 — хг + хз, хз = -хг — хз,' г) Х1 = 2хз — х1, хг = з д) Х1 = -хг + 0,5хгхгг, е) х1 = — хг+ 0,521хгз, — тг + хз, хз = 2х1 — хг — хз' з з.
хг = — Х1 — хгхг,' 2 Х2 Х1 2122 221 2 ..3. ж) у+у — у'=0,: з) у — уз+у — у =О. е (Х) = / 1 (Х1,Х2) Еех! + —, ) (Х) = — 1 (Х1,Х2) / — аХ1. 2 ' дх2 о о Отсюда следует, что положение равновесия х = 0 асимптотически устойчиво в целом, если выполняется условие х1)(х„ хг) > О, )(хг,хг) дх1 > 0 при х у.
-О. г ду / дхг о 141 Задачи 3. Исследуйте по линейной модели устойчивость положения равновесия следующих систем: а) У + Зу+ 2У+ з1п у = 0; б) 'У + Зу+ 5У+ 3(е" — 1) = 0; в) У + Зу + у + Зу + сову — 1 = 0; г) У + Зу+ 2У + 4у + е" — сову = 0; д) У + 2У+ 2у+ 4У+ вшу — 2 сову+ 2 = 0; е) Х1 = — 281ПХ1+ Хг, хг = — 2Х1 — Хг; Ь.
ж) Х1 = — 2 гйп хз — е*' + соз хг, хг = — 2х1 — Зхг,' 3) Х1 — Х1 + х1 + хг~ хг — з1п Х1 + 1 соз хг~ з и) х1 = 2Х1 — 2 зшх1 + е*г — соз тг, хг = — 2х1 + хг + хгг. — х1 + хг,. Хг = — 2Х1 — хг,' -Х1 — х1+ хг, хг = -2Х1 — хг; з (2 + зш 1) Х1 т хг, хг = — 2х1 — хг — хг,.
(0,5+сйп 1)х1+хг, хг = — 2х1 — хгз,' 0,5Х1+ (0,5+ вгпг 1)хг, хг = — (1+ 0,2сйп 1)х1+ (соз1 — 2)хг, х1 + (О, 5 + зш 1)хг — хз1, хг = — (2+ 4зш 1)Х1 — 2тг — хгз. а) т1= б) х1 —— В) Х1= Г) Х1 —— Д) Х1= Е) Х1= 5. Определите,при каких значениях параметров устойчиво положение равновесия следующих систем: а) х1 —— — УХ~1+ ахг, хг = — 2х1 — 2хг, б) х1 = — х1 + ахг, хг = — 2сх1 — 2хг; в) Х1 = — Х1+ ахг, хг = — сх1 — 2хг; 3... з. г) Х1 — — — Ухз + ахг, хг — — — сх1 — 2Йхг. 4. Исследуйте устойчивость положения равновесия следующих систем; Глава 5 АБСОЛК)ТНАЯ УСТОЙх1ИВОСТЬ Впервые задача об абсолютной устойчивости была рассмотрена А.И.
Лурье, и ее иногда называют задачей Лурьо [37). Им был разработан метод решения этой задачи, основанный на построении функции Ляпунова. В 1961г. румынский ученый В.М. Попов опубликовал работу, в которой изложил частотный метод решения этой проблемы. Это повлекло за собой появление большого потока работ в этом направлении. Рассмотрим систему с одной нелинейностью (рис. 5.1,а). Такую систему всегда можно преобразовать к «стандартному» виду Рис. 5.1.
Структурная схема нелинейной системы (к исследованию абсолютной устойчивости: а исходная структурная схема; б преобразованная струхтурная схема [рис. 5.1,б). В нормальной форме такие системы описываются уравнениями вида х=Ах+Ъи, и=1[с), .с= — с х, [5.1) где х п-вектор; и, ~ скалярные переменные: нелинейная функция 1 [с) удовлетворяет следующим условиям: 1(0)=0, й « — йм при ~ф0. И) (5.2) Уравнения [5.1) представляют собой уравнения в отклонениях, и на структурной схеме [рис.
5.1) задающее воздействие равно нулю: Р = 0 [д = О). Определение 5.1. Система [5.1), или положение равновесия х = 0 системы [5.1) называется абсолютно устойчивым в угле [секторе) [ко„йзг), если нулевое решение х = 0 системы [5.1) асимптотически устойчиво в целом при любой нелинейной функции 1[О, удовлетворяющей условию [5.2). блб Необходимое условие абсолютной устойчивости 143 Абсолютная устойчивость., как и робастная устойчивость, означает устойчивость нс одной конкретной системы, а некоторого множества систем, определяемых заданным множеством Н нелинейных звеньев.
В определении 5.1 в качестве множества В принято множество (5.2), которое обычно рассматривается при рассмотрении абсолютной устойчивости. Естественно, множество Н может быть задано иначе. Поэтому в обшем случае будем говорить об абсолютной устойчивости на множестве (классе) Б, которое в общем случае отличается от множества, задаваемого соотногпением (5.2). 5.1. Система сравнения. Необходимое условие абсолютной устойчивости Палыче будем рассматривать структурнук> схему нелинейной системы, представленную в стандартном виде (см. рис.
5.1, б). Передаточную функцию И' в операторной форме, если система задана уравнениями (5.1), можно найти следуюгцим образом. Запишем уравнения линейной части в операторной форме: (1р — А)х=Ьи, 5= — с х, х=(1р — А) ~Ьи, ~= — с х.
Отсюда, исключая х и учитывая у = — С, получим Иг (р) = ст(1р — А) ~Ь Используя эту передаточную функцию, уравнения (5.1) можно записать (см. рис. 5.1, б) в виде у = Иг„(р)и, и = 1(с), с = — у. (5.3) Наряду с нелинейной системой (5.1) или (5.3) рассмотрим линей- у = Иг (р)и, и = Йс, с = — у. (5 4) Эту сигтелву при любом й. Е [й,, йм] называют системой сравнения системы (5.3), (5.2). «Нелинейность» 1(С) = ие принадлежит множеству (5.2) при любом й Е [йы,йм].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
