Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Поэтому если система (5.3) абсолютно устойчива в угле [кн„км], то ее система сравнения, т. е. линейная система (5.4), устойчива (асимптотически устойчива в целом) при любом й Е [й„о йм]. И если система сравнения при каком-либо й Е [к, йм] неустойчива, то система (5.3) не может быть абсолютно устойчивой в угле [и, йм]. Будем говорить, что система сравнения робастно устойчива в угле или на интервале [и,йм] если она устойчива при любом й е [й,н, йм]. Из изложенного выше вытекает следующее необходимое условие абсолютной устойчивости: для тпого чтобы положение равновесия системы (5.3) было абсолютно устойчиво в угле [Йнойм], необходимо, чтобы ее сисгпема сривнения были робастно устойчива в угле.
[Й„н, йм]. 144 Гт 5. Абсоэютная устовчиьвсть Возникает вопрос, не является ли необходимое условие абсолютной устойчивости и достаточным. Эту проблему впервые в 1949г. рассмотрел М. А. Айзерман. Поэтому ее называют проблемой Айзермава. Проблема Айзермана вскоре была решена. Н.Н. Красовский в 1952 г. и В. А. Плисс в 1958 г. показали, что приведенное выше необходимое условие не является достаточным: они построили системы (модели), которые не были абсолютно устойчивы, в то время как их системы сравнения были робастно устойчивы в заданном угле. П р и мер 5.1. Пусть передаточная функция линейной части имеет вид И' = 1/(р+ 1)з.
Исследовать, является ли система (см. рис. 5.1, б) абсолютно устойчивой в угле [О, 10). Р е ш е н и е. Проверим, выполняется ли необходимое условие абсолютной устойчивости. Лля этого достаточно проверить устойчивость системы сравнения (5.4) при и = 10. Характеристическое уравнение системы сравнения при таком коэффициенте имеет вид Аз + 3Аз + 3Л+ 11 = 0 Определитель Гурвица 2-го порядка отрицателен: Ьз = 3 3 — 11 = = — 2.
Необходимое условие абсолютной устойчивости не выполняется. Следовательно, нелинейная система не является абсолютно устойчивой. 5.2. Прямой метод Ляпунова исследования абсолютной устойчивости А. И. Лурье предложил метод решения задачи абсолютной устойчивости, основанный на прямом методе Ляпунова.
Идея его метода заключается в том, что для системы (5.1), (5.2) функция Ляпунова ищется в виде квадратичной формы плюс интеграл от нелинойной функции ~23, 40); 1'(х) = хтвх+ 911® ь16 о где В -. положительно определенная матрица, д -- произвольное положительное число. Нелинейности из класса, определяемого соотношением (5.2), удовлетворяют условию 1®5 > О. Поэтому интеграл в рассматриваемой функции является неотрицательной функцией, а сама функция положительно определенной. И задача сводится к определению такой положительно определенной матрицы В и такой положительной константы у, при которых производная по времени р'(х) в силу уравнений системы была бы отрицательно определенной и функция 1г(х) неограниченно возрастала бы при неограниченном увеличении ~х~: $'(х) — э оо при ~х( — э со.
В соответствии с теоремой Барбашина- Красовского в случае стационарной системы достаточно, баб Необходимое условие абсолютной устлобчивосеви 14ое чтобы производная $'(х) была отрицательно полуопределена и обращалась в нуль вне начала координат на множестве, нс содержащем целых траекторий. Здесь мы не будем рассматривать способ решения задачи абсолютной устойчивости прямым методом Ляпунова в общем случае. Лля иллюстрации метода ограничимся решением частной задачи. Пусть система описывается уравнениями у=, и, и=ДД), С= — у, Ь где Й, аы аз .
положительные постоянные, а нелинейная функция удовлетворяет условию 0 < а < ~3 < со. Запишем уравнение системы в нормальной форме, исключив переменные у и и; Х1 = хз, хз = — азхз — азхз — Й~(х1). Функцию Ляпунова будем искать в виде 1с(х) = х~ ~+ 26хзхз + сх~з + д / ~(хз) е)хы о где Ь, с --.
произвольные постоянные, д -- произвольная положительная постоянная. Лпя того чтобы квадратичная форма в функции Ляпунова была положительно определена, постоянные Ь, с по критерию Сильвестра должны удовлетворять условию с — Ь > О. Найдем производную по времени 1с(х) в силу уравнения системы: 1г(х) = 2(х1 + Ьхз)х1 + 2(Ьх1 + схз)хз + д~(х1)х1 —— = 2(х1+ Ьхз)хз — 2(Ьх1+ сх Яазх1 + а1хз + ЙДхз)) + уДх1)хз = 2 = 2(1 — Ьа, — саз)х,х — 2(са, — Ь)тз — 26азхз— 2 — 26х~йДхз) — 2г1схзу(х1) + ду(х,)хз. Если положить 1 — Ьа, — саз = О, или г = (1 — Ьа1)/аз и д = 2ск, то производная примет вид 1г (х) = — 2(са1 — 6) х' — 26азх~ ~— 26йх, 1' (т1 ), и она будет отрицательно определенной, если Ь > О, са1 — 6 > О, или 0 < Ь < сам Подставив сюда выражение для с, получим 0 < 6 < < а1 /(а1 + аз) . Функция $'(х) будет положительно определенной, если с — Ь > О.
Это условие всегда можно выполнить, выбрав Ь достаточно малым. Так как функция Ляпунова включает положительно определеннуко квадратичную форму, то она будет неограниченно возрастать при стремлении ~х~ к бесконечности. Следовательно, положение равновесия системы абсолютно устойчиво. 10 д.П. Кям 146 Гл.
б. Абсолюопнал устойчивость 5.3. х4астотные методы исследования абсолютной устойчивости Проблема абсолютной устойчивости сначала исследовалась прямым методом Ляпунова. Однако с начала 60-х годов прошлого века стал широко использоваться частотный метод. 5.3.1. Линейная часть устойчива. Рассмотрим сначала случай, когда линейная часть нелинейной системы (см. рис. 5.1, б) устойчива. Представим ее частотную передаточную функцию в виде И' (ую) = Г(оо) + 1)г(оо). Критерий Попова.
Для того чтобы положение равновесия системы (5.3) с успшйчивой линейной частью было абсолютно устойчиво в угле [О, й), достаточно, чтобы существовало такое вещественное число д, что при всех оо > 0 вьтолняется неравенство Пе (1 + ~доо)Иг Цоо) + — > О, (5.5а) Г(оо) — дооь'(оо) > — —. 1 Ь (5.5б) Доказательство будет приведено дальше. Здесь пока рассмотрим пример. Пример 5.'2. Передаточная функция линейной части имеет вид ЬУ (р) = Ьо (Ьо ао; аы аз > О) аоро М аор + ао Определить, при каких значениях й система (см.
рис. 5.1, б) будет абсолютно устойчива в угле [О, й). Р е ш е н и е. Частотная передаточная функция линейной части имеет вид И (уы) = -аоооо + дано + ао Отскода для вещественной и мнимой частей получаем Ьо(ао — аоы ) 1,( ) — Ьоаьоо (а — аоыо)о -~- (аио)о (ао — аоыо)о -~- (аоы)о Условие (5.5б) принимает вид Ьо(ао — аоооо) + обои~воз 1 -'с — > О. (ао — аоыо)о+(а,оо)о й Если положить д = ао/ам то получим (1( )= ' ' -е — >О.
(ао — аоооо)о -~- (аьоо)о Х Последнее неравенство выполняется при любом оо > 0 и любом й > О. Поэтому рассматриваемая система абсолютно устойчива в угле [О, Ц при любом конечном Ь > О. 147 зе.З. Часто~нные методы В приведенной выше формулировке теоремы Попова не просматривается частотная сущность. Рассмотрим другую, частотную формулировку теоремы Попова. Пля этого введем в рассмотрение следующие частотные функции: У„(ьз) = У(ы), 1'„(ы) = ьЛе(ы), Я (уьз) = У„(ы) + 21;,(ю). (5.6) Последняя функция называется мвдиуэицирвваннвй частотой передагавчнвй функпивй (линейной части). Используя первые две функции, неравенство (5.56) можно представить виде У (ю) — йГ,(ы) > — —.
1 (5.7) Если построить на плоскости (Уь, Ъ;„) так называемую прямую Попона, которая описывается уравнением 1 Ум — уГ А' где а .—. произвольное вещественное число, то правее прямой Попова выполняется неравенство (5.7). Поэтому если построить частотнукэ характеристику -- кривую, которая описывается уравнением в параметрической форме Г, = сг (ы), г' = Ъь(ы) при О < ю < со, то она полностью располагается правее прямой Попова в том и только том случае, когда выполняется условие (5.7). Точно так же, если построить на комплексной плоскости (11,„,2Ъ;,) прямую Попова (прямую, пересекаьошую вещественную ось в точ- 1Р ке -1/Й) под наклоном 1/в и годограф модифицированной частотной передаточной функции Ие„оы) Прямая Попова при О < ю < сю, который называ- — 1Я ется модифицированной чатпотнвй б;, характеристикой (линейной части) (рис.
5.2), то условие (5.7) будет выполнено в том и только том случае, когда модифицированная частотная характеристика располагается правее црямой Попова Следовател~ но Рис. 5.2. МодифициРованнлЯ частеорему Попова еще можно сформу- тотнаЯ хаРактеРистика и пРЯмаЯ лировать следующим образом. Попова Частотная формулировка критерия Попова.
Для того чтобы положение равновесия системы (5.3) с устойчивой линейной частью бь ло абсолютно устойчиво в угле (О, к), достаточно, чтобы можно бьыв провести прямую, прохвдяи1ую через твч- 10* 148 Гл. б, Абсоляипная устоичивость ку ( — 1/к, уО), т. е. прямукз Попова такую, что моди15ииироваиная частотная характеристика полностью располагается правее этой прямой.
Модифицированная частотная характеристика отличается от обычной (не модифицированной) частотной характеристики только ординатами (см. (5.6)). П р и м е р 5.3. Пусть передаточная функция линейной части имеет вид И' = 1/(р+ 1)з. Исследовать, является ли система (см. рис. 5.1, б) абсолютно устойчивой в угле [О, 3). Решение. Легко проверить, что необходимое условие абсолютной устойчивости выполняется (см, пример 5.1). На рис.
5.3 представлена амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части. — 0,2 — 0,4 — 0,6 — 0,8 — 0,4 — 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Рис. 5.3. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (к примеру 5.3) Она расположена правее прямой Попова — — прямой, пересекающей ось абсдисс в точке — 0,33 и параллельной оси ординат. Так как молифицированная частотная характеристика отличается от приведенной только по оси ординат, то и она будет располагаться правее этой прямой. Следовательно, система абсолютно устойчива в угле (0,3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
