Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 23
Текст из файла (страница 23)
вещественные части всех корней ее характеристического уравнения отрицательны. Покажем, что исходная нелинейная система (4.25) также асимптотически устойчива. На основании критерия устойчивости Ляпунова линейных систем (теорема 4.15) существует такая положительно определенная квадратичная форма Ъ'(х), что производная по времени от этой функции в силу уравнения линеаризованной системы,т.е. и и 'г'(х) = ~е — ~ ~имя,, равна отрицательно определенной квадратичной форме га(х) п = — )х)з = — 2 яз: ~=1 п и ('(х) = ~~ — ~ ~анто = — (х~ . Производная от указанной квадратичной формы в силу исходной нелинейной системы (4.25) имеет вид п, и п Г(х) = ~ ~— ( ~~ айг, + Л;) = — ~х~ + ~ — Ль е=е в=1 и она в силу леммы 4.2 в некоторой окрестности начала координат является отрицательно определенной функцией.
Поэтому положение равновесия х = О нелинейной системы (4.25) асимптотически устойчиво. Пусть среди корней характеристического уравнения линеаризованной системы х = Ах имеется хотя бы один корень с положитель- 4.б. Исследование нелинейном систем по линейному приближению 133 ной вещественной частью. Покажем, что нелинейная система (4.25) неустойчива. По теореме 4.18 для ю(х) = ~хз~ существует квадратичнаяформа, принимающая в какой-либо точке в любой окрестности начала координат положительное значение и производная которой по времени в силу уравнения линеаризованной системы (4.21) удовлетворяет соотношению Г(х) = а1с(х) + ~х~~, а > О.
Производная Ъ'(х) по времени в силу уравнения (4.25) принимает вид 'г'(х) = аЪ"(х) + ~х~ + ~ ~Л;(х). По лемме 4.2 сумма н ~х( -~- ~ й,,(х) ди, является положительно определенной функцией в некоторой окрестности начала координат. Следовательно, согласно второй теореме Ляпунова о неустойчивости (теорема 4.12) система (4.25) неустойчива. Теорема доказана. Критпичесмий случай. Итак, если линеаризованная система устойчива, т.е. все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то и исходная нелинейная система асимптотически устойчива.
Если линеаризованная система неустойчива и хотя бы один корень ее характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то и исходная нелинейная система неустойчива. И наконец, если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет корни на мнимой оси и не имеет корней в правой полуплоскости, т.е. она маргинально устойчива, то говорят, что имеет место критический случай. В критическом случае по линеаризованной модели нельзя судить об устойчивости исходной нелинейной системы. В примере, который был рассмотрен в начале параграфа, был критический случай. Пример 4.9. Исследовать устойчивость положения равновесия системы у+ 2у+ 3я1пу = О Решение.
Разложение в ряд Тейлора синуса имеет вид у яшу=у — — +... 3! Поэтому для линеаризованного уравнения имеем у + 2д + Зу = О. Линеаризованная модель (асимптотически) устойчива, так как все коэффициенты уравнения положительны, т. е, выполняется необходи- 134 Гл. 4. Метод функции Ляпуново мое условие устойчивости, а для систем 2-го порядка необходимое условие устойчивости является и достаточным. Поэтому и исходная нелинейная система асимптотически устойчива.
П риме р 4.10. Исследовать устойчивость положения равновесия у + 5у + 4у + Зе" = 3. Решение. Разложение в ряд Тейлора функции е" имеет вид г е" = 1+у+ — +... 2! Поэтому для линеаризованного уравнения имеем у+ 5у'+ 4у+ Зу = О. Характеристическое уравнение имеет вид Л +5Л+4Л+3=0. Определитель Гурвица 2-го порядка положителен: Ьг = 5 4 — 1. 3 = 17. Так как выполняется необходимое условие устойчивости и единственный определитель Гурвица, с четным индексом положителен, то по критерию Льенара — Шипара линеаризованная система устойчива.
Оледовательно, и исходная нелинейная система асимптотически устойчива. П р и м е р 4.11. Исследовать устойчивость положения равновесия системы з з хг = хг — 2хы хг = -4хе — Зхг. Решение. Уравнения первого приближения имеют вид хг — — — 4хп х1 — хг~ Характеристическое уравнение 4 — 1Л =Л +4=0 имеет два чисто мнимых корня.
Поэтому имеет место критический случай, и по линеаризованной модели нельзя исследовать устойчивость исходной нелинейной системы. Исследуем устойчивость нелинейной системы методом функций Ляпунова. В качестве кандидата на функцию Ляпунова примем квадатичн ю о м Р У Ф Р У 1 (к) = хг + ахг. Производная по времени в силу заданных уравнений имеет вид $'(х) = 2хзхг + 2ахгхг = 2хг(хг — 2хг) + 2ахг( — 4хз — Зхг). Если принять а = 1/4,то получим Ъ'(х) = -(4х~~+ — х~~).
135 4.6. Оценка времени регулирования Таким образом, выбранная квадратичная форма является положительно определенной, а се производная по времени в силу заданных уравнений системы отрицательно определенной. Следовательно, по теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости положение равновесия рассматриваемой системы является асимптотически устойчивым. 4.6. Оценка времени регулирования Рассмотрим задачу оценки времени регулирования устойчивой линейной системы х = Ах. (4.29) Пусть х(1) = х(хо,1) решение уравнения (4.29) при начальном услонии х(0) = х и 1р -- минимальное время, по истечении которого ~х(с) ~ не превышает некоторой заданной величины Ь: 1а = п11п (Х: /х(1) ( < гЛ Ч1 > 1).
у Заметим, что 7р и при соответствующем выборе на ~ального условия не совпадает со временем регулирования 1р, принятым в теории управления линейных систем. Тем не менее ср также будем называть временем регулирования систем (4.29) при начальном условии х(0) = х". Теорема 4.20. Пусть матрица В яв,ляется решением уравнения Ляпунова А В+ ВА = — Х (У .
единичная матрица), (4.30) Л,„и Лм —. минимальное и максимальное собственные значения этой мапирицьь Решение х(1) = х(хо,1) уравнения (4.29) нри начальном условии х(0) = х удовлетворяет условию 1'в -Пл„, < ~ ~г < 1'о — Пл, (4.31) где Ро = х Вх, и время регулирования Хр определяется соонгновт о шением Хр = Лм1п (4.32) Показательство. В силу теоремы о существовании решения уравнения Ляпунова (теорема 4.14) и критерия Ляпунова устойчивости линейных систем (теорема 4.15) решение В уравнения Ляпунова (4.30) существует и квадратичная форма И(х) = хтВх является функцией Ляпунова для системы (4.29).
При этом имеет место равенство Ъ'(х) = — х х = — ~х~ . (4.33) Используя свойство квадратичной формы (см. (4.1)) Л,„)х/~ < И(х) < Лм)х)~, 136 Гл. 4. Метод функций Ляпунова получаем Р'1х) < ( или, учитывая равенство (4.33), Ъ'(х) Л~(х) Ъ'(х) Лм ' (4.34) Ъ'(х) Лм Последнее неравенство можно записать Ж Л'(х) Л,„-' Ъ(.) -' в виде Проинтегрировав это неравенство., получим ле — 1(1„, < 1, ( ) < леа — Е)зм (4.35) Неравенство (4.34) можно представить в виде — < (х! < —. М(х) 2 К(х) Используя (4.35), из последнего неравенства получим (4.31). Теперь, подставив в правую часть полученного неравенства (4.31) приравняв ее Ь~ и прологарифмировав, получим формулу (4.32).
Теорема доказана. Очевидно, время 7р само по себе может служить показателем быстродействия. Однако его можно использовать также и для оценки «классического» времени регулирования. Как известно, в теории управления линейных систом временем регулирования называется минимальное время йр, по истечении которого отклонение переходной характеристики от установившегося значения не превышает некоторой заданной величины Ь.
Если время 7р определить при начальных условиях, соответствующих начальным условиям при снятии переходной характеристики, его можно использовать как оценку сверху времени регулирования йр.. йр < Х = Лм 1и Л„,Ь2 Решение. Запишем уравнение в нормальной форме: 21 — т2~ аз — 21 т21 или Следует заметить, что 7„может ежазаться значительно больше 1р, так как 1р определяет как время, по истечении которого модуль вектора состояния (а не модуль выходной переменной) не превышает заданной величины 22. П р и м е р 4.12. Получите верхнюю оценку времени регулирования методом функций Ляпунова для системы д+д+у=б.
137 л.7. Мегооды построение функций Пяиуноеа Уравнение (4.30) принимает вид 1 — 1 Ьгп Ьгг Ьг| Ьгг — 1 — 1 0 1 После перемножения матриц получим ! — 621 — 622 ~ ~ — 612 611 — 612 1 ~ 1 01 Ьы — Ьгп Ь|г — Ьгг ~ ~ — Ьгг Ьг| — Ьгг 11 ~ О 1 11 Учитывая равенство Ь|2 — — Ьг|г из последнего уравнения получаем систему уравнений — 622 + Ь11 — 612 — О, 2612 — 2Ь22 —— — 1. — 2Ь|2 —— — 1, Эта система имеет следующее решение: 6 2 = 1, Ь|1 = 1,5. Ь|2 = Ьг| = Ог5, Характеристическое уравнение / — 1Л! = ' „' = (1,5 — Л)(1 — Л) — 0,25 = = Л вЂ” 2г5Л + 1,25 = 0 имеет корни Л| — — Лы = 0,69 и Лг = Лн = 1,81. Положим х(0) = (1 0)т и й = 0,05.
Тогда получим 1го=(1 0) 05 1 0 — 1,5, 1р — — Лм 1п ' = 1г81 1п 869,565 - 12. Л 21г2 4.7. Методы построения функций Ляпунова Общего метода построения функции Ляпунова нет. Разработаны различные методы, которые позволяют находить функции Ляпунова для определенного типа систем (7). Здесь мы рассмотрим некоторые из них. 1. Энереетггггеский подход. При таком подходе в ка ггстве кандидата на функцию Ляпунова принимают полную энергию, представляющую сумму потенциальной и кинетической энергий. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
