Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 27
Текст из файла (страница 27)
о в(1) = ги„(Ц+ г1ю (г) + ( + г1ггг„(0))Б(1), (5.22) можно представить в виде ~~ ( — т)1©т)) Н(В)) г1тг1В > О о о или, учитывая, что ю ( — т) = 0 и иг ( — т) = 0 при т > В, в виде ~~в( — т)у(С(т)) Я(В)) г6 Ю > О. а о Интеграл слева не изменится, если в( — т) заменить на з(т — В). Поэтому, положив в( — т) = †, (в( — г) + з(т — В)) 1 2 (5.
23) и используя обозначения г" (1) = г" (Дз)), последнее неравенство запишем в виде г ~~ в( — т) у'(т) Щ г4т йУ > О. (5.24) о о Заметим, что в(1) в отличие от в(е) является четной функцией. Рассмотрим двухстороннее прямое преобразование Фурье з'(ю) = / в(1)е гм агз (5.25) и обратное преобразование Фурье в(1) = — / В(ю)ег~ Й). (5.26) Поэтому 1'(с(г)) -о 0 при 1 — г со, и так как 1'(0) = О, то и с(е) — г 0 при 1 — з оо. Итак, мы показали, что если выполняется условие (5.9), то положение равновесия абсолютно устойчиво в угле [О, 1е). При этом мы предположили, что параметр а является неотрицательным: гг > О. Это ограничение дальше будет снято. 2.
Теперь докажем условие (5.5а). Неравенство (5.9), используя функцию 156 У лс б. Абооояввпноя уонвоввчиоооть с Ь/К4 !)СявВв с" ' ° ) в о а Интегралы 0(уг бвУ) = 3У(0)е™ д0, Г(-Эы,У) = 1У(0)еб'сК0 о о являются комплексно-сопряженными функциями. Поэтому имеем ~~Ят) У(0)е У~~~ 'У сУтсу0 — ~Яе У о сУО~Яе ' ' сут = а о о о = Ф(у'ву)~', и последнее неравенство можно представить в виде — / о (ав) (Г(уво, с)(зас ) О. (5.27) Положив в (5.23) т = О, получим з(0) = — (о(0) + о( — О)). Подставив это выражение в (5.25) и учитывая о(с) = О при с ( О, находим ь о вв в=-'(Савв;'ввв уя-вь-"в,~.
2 (/ о Произведя замену переменных т = — 0 во втором интеграле, получим ву > =-', (уава "вввузЬВс"в,~ = о а = — (о(уав) + Б( — уав)в = Йе я(уав), где Я(уав) = / з(0)е '"о св0. о Условие абсолютной устойчивости (5.27) будет выполнено, если Я(ав) ) О, или Я(ав) = Ее Я(~ав) ) О. (5.28) В силу (5.22) имеем Я(у ) =Д (У)+суив (1)+(д +су'.(О))5(с)1е 'сс11. о (5.29) Подставим выражение (5.26) в (5.24) и поменяем порядок интегриро- вания: 157 о.4.
Показательство критерия Попова Как известно, передаточная функция равна изображению Лапласа от весовой функции: И~„(з) = Х(и~„(е)). Кроме того, по правилу дифференцирования оригинала имеем Цф (1)) = вИ' (в) — и (0). Записав эти соотношения в явном виде и сделав постановку в = уо, получим И' (Уоо) = (еоо(1)е ~"~е11, ~во(1)е лоееМ =Уоо% (Пго) — то(0). о а Используя эти соотношения, из (5.29) находим При подстановке этого выражения в условие (ое.28) последнее принимает вид Пе((1+ 9ую)Иг (ую)) + — > 0 1 й+е Устремив е к нулю и заменив знак нестрого неравенства на строгий, получим условие абсолютной устойчивости в виде следующего неравенства: Пе((1+ д1ео)ИгоЦы)) + — > О.
1 Теперь осталось показать, что при выполнении последнего неравенства система будет абсолютно устойчива и при любых отрицательных значениях параметра а, т.с. снять ограничение, которое было введено при получении неравенства (5.21). Пля этого преобразуем уравнения рассматриваемой системы (5.3), положив и = й~ — й. Исключив из системы (5.3) переменную и, получим (5.30) где Как нетрудно проверить, если 0 < Дс)Д < к', то и 0 < Дс)Д < lс. Поэтому если исходная система абсолютно устойчива в угле (О, 1е), то и преобразованная система (5.30) абсолютно устойчива в том же угле (О, й).
И соответственно, как было показано, должно выполняться неравенство Ке И1+ Оы)Й(ую)) + — > 0 (5.31) при д > О. Преобразуем левую часть последнего неравенства, подставив в него выражение для И'(р): 158 Го. б, Абоо ихлпяоя уогпойчиоооть Ве (1+ г1)ы))Аг()оо) + — = — Ве (1+ п)го) + — = )о 1+ ЙИ~ (уы) й = В.е (1 — ИууооИ(,(у)о))[1+ )о%„( — уы)) — в[1+ )оИ'„(ую))[1+ йй~ ( — уоо)) ,, Ве ( — — сДюИ',Цоо) + И;( — уоо) — Идут [И;(уы)[ ). [1 т йИ~ (ум)И Учитывая Ве Иг (у ~) = Не И~„( — уы) и отбрасывая последнее, мнимое слагаемое, получаем Ве(1+ дуоо) Й(уоо) + — =, Не ( — + (1 — ~ц)ооИ' Оо~)). Следовательно, условие абсолютной устойчивости (5.31) можно записать в виде Ве ~ — + (1 — дуы) И о(оо)) > О.
Это условие должно выполнятся при д > О. Если это неравенство записать в виде (5.5а): 5.5. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости При рассмотрении абсолютной устойчивости класс нелинейных звеньев можно задавать с помощью квадратичной формы. Например, класс нелинейных звеньев, определяемых соотношением 1(О) =О, а < <)) (а <)3), У(6 (5.32) с помощью квадратичной формы можно определить следующим об- разом: Р(и,с) = ()Зс — и)(и — ас) > О, и = 3(с) (5.33) Пействительно, разделив обе части последнего неравенства на сз, получим ()3 — — ) [ — — а) > О.
Это условие выполняется тогда и только тогда, когда выполняются неравенства [)3 — — ) >О, ( — — а) >О (Д вЂ” — ) <О, ( — — а) <О. или Ве [(1+ г)1ЦИ' ()оо)[+ — > О, то оно должно выполнятся при д < О. Критерий Попова полностью доказан. б,б. Квадггатичнвгй кггитерий абсолютной устойчивости 159 Первая система неравенств равносильна условикг (5.32). Вторая система неравенств невозможна, так как о ( гг. Задавая класс нелинейных и нестационарных звеньев с помощью квадратичных форм, В.А.
Якубович разработал так называемый квадратичный критерий абсолютной устойчивости [63]. 5.5.1. Эрмитова матрица и эрмитова форма. Дальше при рассмотрении квадратичного критерия используются эрмитовы формы. Поэтому здесь вкратце излагаются основные понятия, связанные с этой формой. Пусть хг (г, '= 1, 2,..., .и) - - комплексные числа и хг (г. = 1, 2,... ..., и) комплексно-сопряженные с ними числа. Вектор х = = (хг хз ...
х„) является комплексно-сопряженным вектором с вектором х = (хг хз х„)т. Если элементы Н = [6,ь] являются комплексными числами, то матрица Н* = [6ь,], которая получится из матрицы Н = [6гя] путем транспонироввлия и замены элементов на комплексно-сопряженные с ними числа, называется эрмитово сопряженной с Н = [6м] матрицей.
Операция эрмитова сопряжения обладает теми же свойствами, что и операция транспонирования [32]: (А+ В)' = А*+ В*, (сгА)* = сгА", (АВ)* = В*А', (А )' = А, (А ')* = (А*) Если к вектору-столбцу х = (хг хх ... ха)т применить операцию эрмитова сопряжения, то получим вектор-строку х* = ях ... яа). В частности, если х -- скалярное комплексное число, то в результате применения операции эрмитова сопряжения получим комплексно-сопряженное число: х* = ж Матрица Н = [6,а] называется эрмитооой магприцег1, если Н = = Н', т.е.
если 6,~. = 6м. Так как 6п = 6н, тодиагональные элементы эрмитовой матрицы являются вещественными числами. В частном случае, когда все элементы матрицы являются вещественными, .эрмитова матрица является симметрической матрицей. Квадратичная форма п Н(х) = х'Нх = ~ ~Иааегхгн еж=1 (5.34) где Н - эрмитова матрица (6,ь = 6ь,), называется эржитовой йгормой.
Переменные х, (г = 1,2,...,п) и элементы матрицы Н могут быть вещественными числами. В частном случае, когда и переменные, и элементы матрицы являются вещественными., эрмитова форма становится вещественной квадратичной формой. Эрмитова форма всегда принимает вещественное значение. Если квадратичная форма (5.34) не является эрмитовой (Ьгь ~ ф 6ы), то она может принять комплексные значения. В этом случае на ЫО Гль 5.
Абеоля1тлвая уетпоьчьеоеть ее основе можно определить эрмитову форму следующим образом [63): Век*Ни = Пе ~~1 Ь,ьг,хы 61=1 Эрмитову форму, заданную в таком виде, всегда можно преобразовать и представить с помощью эрмитовой матрицы: Н1(к) = Вех'Нк = х*Н х (Н1 — — — (Н+ Н')). 2 Действительно, имеем Н1 (к) = Ве к* Ни = — Ее (к' (Н + Н + Н* — Н') к) = к*Н1 к, 2 так как Н, — — (Н+Н ) — — (Н +Н) — Н1, Ве ([х" (Н вЂ” Н*)х[') = — тсе ([х*(Н вЂ” Н")к)) = О. Для эрмитовой матрицы и эрмитовой формы знакоопределенность и знакопостоянство определяются точно так же, как и для симметрической матрицы и вещественной квадратичной формы.
В частности, эрмитова матрица Н и эрмитова форма х'Нк называются положительно определенными, если к*Ни > О при всех к ~ О. Критперий положительной определенностпи эрмитповой матрицы. Для того чтобы эрмитова матрица Н была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия; д1=Ь11>О, дг= Ьы Ь12 >О, Ь21 Ь22 Ьы Ьтг ... Ь1„ 1121 Ь22 ... 112ь Ьь = 11Е1Н = > О.
Ьь1 Ьчг ° ° Ььм Расширение вещестпвенной нвадратпичной формы до эрмитповой. Всякая вещественная квадратичная форма и С(х) = ~ д1ьх,хь 1,А=1 может быть расширена до эрмитовой следующим образом; С(к) = Ве ~ Ргье,яе =11е ~ Уая,'яь. СЬ=.1 По определению эрмитова форма С(х) должна принимать те же значения, что и вещественная квадратичная форма С(х), если 21 (1 = = 1,. 2,..., и) принимают вещественные значения: 2, = то Например, б.б.
Квадратичный критерий абсолюгвиой устойчивости 161 вещественным квадратичным формам Сг(х) = гнхг, Сг(х) = хг~ — хгхг + хг, Сз(х) = хь(хг — 2хг) соответствуют следующие расширенные до эрмитовых формы: Сг(х) = Псгьяг, Сг(я) = ~гь~ — Пе(гггг) + ~гг~, Сз(х) = Пе(гг(гг — 2гг)). Если заданы два вещественных вектора х~ц и х~г~, то вещественные квадратичные формы от этих двух векторов С(х~ц, хбц) определяются как вещественные квадратичные формы от векторного переменного х =, ~ . Если заданы два комплексных вектора я ' ~х~г 1' и х~~~, то эрмитовы формы от этих векторных переменных С(х~Ц, хОО ) опрсделяется как эрмитовы формы от векторного переменного я = О) Аналогично определяются вещественные квадратичные (х~~ ~ формы и эрмитовы формы от трех и более векторных переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
