Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 30
Текст из файла (страница 30)
И частотное условие будет выполнено, если на комплексной плоскости Щ у И) амплитудно-фвзовая частотная характеристика линейной части располагается вне [а,;3]-окружности. Так как система сравнения устойчива и р принадлежит интервалу [а, Я, то амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части охватывает точку — 1/р, расположенную на вещественной оси внутри [сс,,у]-окружности, 1/2 раз в положительном направлении [против часовой стрелки). Поэтому нелинейная система будет абсолютно устойчива в угле [а, Д, если амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части охватывает [сс,Д-окружность 112 раз в положительном направлении.
Задачи 1. Передаточная функция линейной части имеет вид Иг„[р) = 0,1 . Определить, будет ли система абсолютно устойчива в [01р 1.Цз' угле [0,1, 10]. 2. Передаточная функция линейной части имеет вид И' [р) = 0,1 . Определить, будет ли система абсолютно устойчива в [0,1Р+1)зр' угле [0,1, 10]. 3. Определить, при каких значениях параметров а и Ь положение равновесия системы у+ ау+ [1+ Ьсов1)у = 0 [а > О, Ь > 0) асимптотически устойчиво в целом.
4. Определить,при каких значениях параметров а и Ь положение равновесия системы у'+ ау+ [1+ Ьвш1)у = 0 [а > О, Ь > 0) асимптотически устойчиво в целом. 5. Определить,при каких значениях параметров а и 6 положение равновесия системы у+ ау+ Ь[2+ сов1+ в1п1)у = 0 [а > О, Ь > 0) асимптотически устойчиво в целом. 6.6. Круговой нрнн1ернй абсолютной устойчивости 173 6. Передаточная функция линейной части системы 1см. рис. 5.5, а) й имеет вид Иг„(р) =, нелинейное звено описывается урав1р -1- 2)1р — 1)' пением и = е з1п й Определить, при каких значениях й система асимп- тотически устойчива в целом.
7. Система описывается уравнениями Т у1 + 4Ту1+ у1 — — — азиз + Игиг, Т У2+4Ту2+У2 й2и1 н1и2 и, = 1'(у1,1), 1= 1,2, где Т, Й1, Й2 — положительные постоянные, и; = Ду1,6) является неубывающей функцией у, при любом 1 > О и удовлетворяет усло- вию О ( Ду,)/у, ( 12 при у, у. -О, ДО,1) = О. Определить, при каких значениях параметров Т, к1 и Йз система асимптотически устойчива в целом.
Глава 6 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ Пусть система описывается уравнением х = 1 (х, и), х Е Л", и Е Л, (б. Ц где 1(х, и) гладкая функция в некоторой окрестности 11(0) начала координат. Начало координат является положением равновесия: 1(0,0) = О. Здесь х вектор состояния, и управление. Напомним, что функция называется гладкой в некоторой области, если она сама и ее производная по всем своим аргументам являются непрерывными в этой области. 6.1. Обычная линеаризация и ее недостатки Самым распространенным методом анализа и синтеза систем в рассматриваемом случае является «обычная» линеаризация — линеаризация, основанная на разложении нелинейной функции в окрестности точки (функции), определяющей заданный режим., в ряд Тейлора и отбрасывании нелинейных членов.
Обычная линеаризация заменяет исходную нелинейную модель приближенной линейной моделью и обладает рядом недостатков. Эти недостатки состоят в следующем: 1) устойчивость и требуемое качество системы управления, синтезированной на основе обычной линейной модели, гарантируется лишь в малой окрестности заданного режима.
При этом размеры этой окрестности не известны. При больших отклонениях требования к качеству системы могут быть не выполнены. Боло того, система может быть неустойчива; 2) если заданный режим является функцией времени, то линеаризованная модель становится нестационарной, а анализ и синтез систем упрощаются ненамного; 3) способы синтеза линейных систем управления, основанные на обычной линеаризации, позволяют получать только линейные законы управления. В то же время известно, что нелинейные законы управления во многих случаях обеспечивают лучшее качество управления.
176 6.2. Лннеарнзоння обратной связью Рассмотрим в качестве примера объект, который описывается уравнением ,з х=ах +и, хциЕЛ, а>0. Заданному режиму соответствует х = О. На основе обычной линейной модели х = и получаем закон управления и = — нх (й > 0), который обеспечивает асимптотическую устойчивость в целом линейной модели. Однако синтезированная на основе обычной линеаризованной модели исходная нелинейная система х = ахз — йх имеет три положения равновесия:х = О, х = х „Й7аш Исследуем устойчивость этих положений равновесия. Функцию Ляпунова будем искать в ниде Г(х) = т . Производная по времени этой функции в силу уравнения системы имеет вид р(х) = 2хх = 2х(ахз — Ьх) = — 2хз(й — охз), она отрицательна (отрицательно определена) при — ~,/Й/а < х < < ьй/а и положительна при ~х~ >;/й7а Следовательно, по теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости положение равновесия х = 0 асимптотически устойчиво на интервале —,/йуа < х < ~%7а.
Вне этого интервала процесс расходится. Два других положения равновесия неустойчивы. Итак, в рассмотренном примере замкнутая система, синтезированная на основе обычной линваризованной модели, асимптотически устойчива лишь на конечном интервале, тогда как синтезированная линейная система асимптотически устойчива в целом.
6.2. Линеаризация обратной связью Функция и = Ф(х,о), где и, о входы (управления), х вектор состояния, называется преобразованием обратной связью, если она разрешима относительно о. Переход от нелинейной системы (6.1) к линейной системе путем преобразования, включающего преобразование обратной связью, называется линеаризаиией обратной связью. Линеаризация обратной связью (ЛОС) является не приближенным, а зквивалентнььм преобразованием: в результате ЛОС получается система, эквивалентная исходной системе. При ЛОС управление и заменяется новым управлением и. Функция преобразования, кроме нового управления, включает вектор состояния (в частном случае только выходную переменную).
Поэтому при этом преобразовании объект охватывается обратной связью. Отсюда и название этого преобразования — преобразование обратной связью. Пример 6.1. Задан объект, который описывается уравнением х = ахз -Ь и, т, и Е 1Г, а > О. Требуется определить закон управления, при котором замкнутая система асимптотически устойчива в целом. 176 Га. б. Лннеариэаиня обратной связью Решение.
Как было показано в предыдущем параграфе, синтез замкнутой системы, основанный на обычной линеаризадии, не обеспечивает асимптотическую устойчивость в целом. Воспользуемся линеаризацией обратной связью При этом преобразовании уравнение объекта примет вид х = и. При таком уравнении единственным разумным линейным законом управления является и = — 'кх (12 > О). Подставив это выражение для управления в уравнение преобразования, получим и = -ах — Йх.
з Уравнение замкнутой системы имеет вид х = — кх. Замкнутая система асимптотически устойчива в целом. Рассмотрим еще один простой пример. Пример 6.2. Задан объект, который описывается уравнениями , з Х1 — о2 + сх1 1 2 — и. Требуется определить закон управления, при котором замкнутая система асимптотически устойчива в целом. Р е ш е н и е. Воспользуемся преобразованием обратной связью 21 — — хг, 22 = хг + схг, и = — Зсхг(хг + сх1) + и. 3 2 . 3 В новых переменных уравнения объекта примут вид 21 = 22., 22 = 'О. Приняв закон управления о = — к121 — Иггг, к1, йг > О, для замкнутой системы получим 21 — 22 22 — й121 н222 ° Замкнутая система асимптотически устойчива в целом.
В исходных переменных уравнения замкнутой системы принимает вид 21 = хг + сх1., з хг = — Зсхгхг — Зс х1 — йгхг — йгхг — йгсх1. 2 ,2 Б... 3 В примере 6.2 преобразование обратной связью включает, помимо преобразования управления, преобразование фазовых координат. При этом, если в примере 6.1 было более или менее понятно, как выбирать преобразование, то в примере 6.2 выбор преобразования не очень понятен.
Кроме того, в общем случае возникает вопрос: существует ли преобразование обратной связью, обеспечивающее линеаризацию той или иной системы? Таким образом, в теоретическом плане при рассмотрении линеаризации обратной связью возникают два основных вопроса; 1) для каких систем линеаризация обратной связью возможна? 2) как найти соответствующее преобразование? б.Х Некоторые. сведения из дифференииаеьной геоиегирии 177 Но прежде чем непосредственно переходить к рассмотрению этих вопросов, познакомимся с необходимыми для этого математическими понятиями. 6.3. Некоторые сведения из дифференциальной геометрии При дальнейшем рассмотрении вопросов линеаризации обратной связью потребуются следующие понятия: производные и скобки Ли, диффеомоРфизмы, инвалютивностгь интегРиРУемость системы линейно независимых векторов. В этом параграфе будут рассмотрены необходимые сведения, связанные с этими и некоторыми другими понятиями. 6.3.1.
Производные и скобки Ли. Пусть а(х) гладкая скалярная функция векторного переменного (а; Л" э Л) и 1(х) — гладкая векторная функция ?: Л" -э Л". /д д д1 Ниже используется оператор Ч = ( ... ). Он равно(,дк, д*г ' ' д...) силен оператору — — оператору дифференцирования по векторному 4х аргументу. При применении этого оператора к скалярной функции а = а(х) получим вектор-строку ба ( да да да ) А при применении этого оператора к векторной функции г = Г(х) получим матрицу д?г д д?г дй дяг дяг ' дя„ д?г д?г д?г дяг дяг '' дя„ д? д?„1 д? дуг дхг дх Определение 6.1. Производной ??и сквлярной угункиии а = = а(х) по векторной функции ? = 1(х) называется скалярная функция (обозначается П?а), опредсляемая соотношением о А?а = — 1 = 17а1 = ~~ ба да йх дя, 1=.1 Старшие производные Ли рскурсивно определяются следующим образом: Пе?а = ??(?~ 1а) = "7(?~~ 'а)Г, г = 1,2,...,п.
Нулевая производная Ли функции а = а(х) по Г = Г(х) есть сама функция а = а(х): ?,?а = а. 12 Д.П. Ким 178 Гл. б. Пивеариэвчия вбрвгвввй связью Зтг 0 ' дх [в в~ Высшие производные по другой векторной функции 6(х) опреде- ляется аналогично: ГдГ уа = Гд(Гуа) = зу(Ауа)и. Пусть система задана уравнениями х = Г(х), у = а(х). Первая и высшие производные по времени выходной перемен- ной у равны соответственно первой и высшим производным Ли функ- ции а(х) по функции Г(х): да . да р = — х = — Г(х) = Ьуа(х), дх дх у = — Г(х) = — [Аеа(х)) Г(х) = Г~еа(х), Точно так же, если задана скалярная функция г'(х), то ее производная в силу уравнения системы х = Г(х) будет равна производной Ли этой функции по Г(х): д'г', д д' Ъ'(х) = — х = — Г(х) = ЬГ1г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
