Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Определение 6.6. Система [6.7а) называется линеаризуезеой обратной связью но состоянию, если существуют диффеоморфизм к = Т[х) и преобразование обратной связью и = о(х) + 12(х)о такие, что уравнение [6.7а) принимает вид к = Ак+Ьп, бмб Пинеиризаиия обратной связью по состоянию 186 где А и Ъ вЂ” постоянные (и х и)- имеем и =Ь, айви= — Г— йЩ йх и (и х Ц-матрицы, для скобок Ли — и = — Ь = — АЬ, йс йАх йх йх Показательство. Необходимость.
Лопустим, что существуют преобразования состояния х = Т(х) и управления и = о(х) + + д(х)и такие, что переменные х и о удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений в форме Бруновского 2,=2~1, йп=о, 1=1,2,...,п — 1. Подставляя сюда 21 = Т,(х), получим 21 = — ' [1'(х) + н(х)и) = Т,пс, 1' = 1, 2,..., п — 1, дТ, х гп = —" [К(Х) + И(Х)и] = О. Так как функции Т1, Тэ,.,,, Т„не зависят от управления и, из этой системы уравнений следует дТ1 дТ1 дТ„~ дТ„ дх дх ''' дх ' дх и соответственно из первых и — 1 уравнения получаем дТ1 дТ1 дТ„ — Т=тэ, — Т=тз, ..., " 8=то.
дх ' дх ' ' ' дх Используя производные Ли, полученные соотношения можно запи- сать в виде 7 дТ1 — — НвТ2 —— ... —— Нв7п — 1 — — О, НвТп у- О, айуи = айу(айуи) = — — и = — — айу8 = А Ь, 2 йр йАх йх йх йп — 1 й ( йп — 2 ) ( 1)п — 2 йп — 2 ( 1)п — 1Ап — 1Ь йх Матрица (6.8) принимает вид У= [Ь вЂ” АЬ А Ь ... ( — Цп 'А" 'Ь]. Если отбросить перед четными столбцами матрицы У знаки минус, которые не влияют на ее ранг, то получим матрицу управляемости для пары (А, Ь).
Поэтому матрицу (6.8) также называют матрицей управляемоспт для системы (6.7а). Теорема 6.3 (о линеаризации обратной связью по состояни1о). Нелинейная система (6.7а) линеаризуеиа обратной связью по состоянию в некоторой окрестности Й начала координат в том и только том случае, когда в этой окрестности ее ма1прииа управляемоспси иметп ранг и, т. е. с1еС,У~ О всюду на й (в начале координат с1ес У может обратиться в нуль) и множество (и айви ... ай" составленное из и — 1 столбцов матрицы управляемости У, инвалюгпивно. 186 Гж б, Линеаризаиия обратной еоязею Используя это равенство, вычислим скобки Ли ай'+~д; ю — 1 ь=о Продолжая эту процедуру вычисления скобок Ли до (и — 1)-го поряд- ка,получим ай" д = ~ оьай е д,.
а=о где 1 = п — г — 1 (1 — 1+1 = и — 2). Умножив обе части этого равенства слева на 7тг и учитывая (6.9), получим равенство гУт,ай~~ д = ~ ~оьгУт,ай~~ Ь)'9 = О, я=о которое противоречит (6.10). Нос таточность. Так как система векторов (д, айуд, ..., айн од) инвалютивна, существует скалярная функция Т1 —— = Тг(х), удовлетворяющая системе уравнений (6.11) Ьт =Ьа ят =...=Ь„.— т =О. Ь ''' а д Отсюда в силу леммы 6.3 имеем ь,т, = ь,ь,т, =... =ь„ь",-'т, =О. В качестве искомого преобразования состояния примем тг = Тз(х), Тз — 11ты ..., Т, = Ье Ты (6.12) (6.13) Ьут1: Тз Ьутз: тз ... Ьгта — 1 тн ' Отсюда в силу следствия леммы 6.2 имеем гУТ,айяд = О, й = О, 1, .., .п — 2, (6.9) ЧТ1ай' 'д ф О.
(6.10) Из этих соотношений можно сделать вывод о том, что система векторов (д, айуд, ..., ай" д) линейно независима и инвалютивна. Инвалютивность следует из того, что существует скалярная функция Т1(х), удовлетворяющая и — 1 уравнениям в частных производных (6.9). Независимость этих векторов можно показать, допустив противное. Лействнтельно, предположим, что эти векторы линейно зависимы. В этом случае скобки Ли более высокого порядка выражаются через скобки Ли более низкого порядка, и для некоторого числа г (1 < и — 1) существуют скалярные функции оо(х), ог(х),..., и, г(х) такие,что справедливо равенство е — 1 асад = ~ ~ояайуд.
ь=о бмб Пинеарнэаиия обратной связью ло состоднию 187 где Тз -- решение системы (6.11). Тогда, учитывая (6.12), получим дТ, Тз —— (Г+ ни) = ЬуТз + ЕдТ, и = Тз, дх Тд — — (ес+ ни) = 1уТз + 1 Тди = Тз + Ы уТзи = Тз, дТд дх Тв з =ТеТн +ЬдТ зи=Т +1 Дн ~Тзи=Т Т„= Т,уТ„+ ТдТаи = А"Тз + ЬдТ," 'Т,и. Таким образом, при преобразовании (6.13) система (6.7а) принимает вид д'. — — 1,2,...,и — 1, й„= ЙуТз+ Йдг д 'Т, и..
Пок жем, что К Т" ~Т, ф О. Допустим противное: ЬдГ' ~Т1 — — О. Тогда в силу (6.11) и леммы 6.3 имеем Объединяя это равенство с (6.11), получим ЗУТз(6 ае1ен ... ас1" 6) = О, или ~7ТзУ= О. Так как бее У ф О, то данная система имеет только нулевое решение 7Тд — — О. Но в силу теоремы Фробениуса инвалютивное множество векторов (6 авда ... ас1" ~8) интегрируемо.
Поэтому система уравнений (6.11) имеет решение Т„причем тУТз линейно независимо, т.с. дУТ, у: О. Полученное противоречие доказывает, что ЬдЬ" Т, у: у'= О. Воспользовавшись преобразованием управления получим й„= и. Таким образом., искомое преобразование найдено: исходное нелинейное уравнение преобразовано в спетому линейных уравнений в форме Бруновского. Достаточность доказана. Доказательство достаточности является конструктивным, и на его основе можно сформулировать правило линеаризации обратной связью (ЛОС) по состоянию: 1) для заданной системы определить матрицу управляемости У = = (~ ас~ен ...
ае1" 2) вычислить сеее У и проверить инвалютивность множества векторов, составленного из первых л — 1 столбцов матрицы управляемости, т. е. множества (6 аездК ... ас1~ К); 188 Го. б. Линеариэоиия абраговой ееээею 3) если е1е1У~ 0 и множество (и ае1еп ... а4" ~6) инвалютивно то определить функцию Тз(х) из соотношений тУТ,ае4'6 = О, 1 = 0,1,...,и — 2; '~ТзаеГ' '6 ~ 0: (6.14) 4) определить преобразование состояния х = Т(х) = (Тз(х) Тз(х) ... Ти(х))з, где (см. (6.13)) Тз — — ЬуТы Тз — — 1зТ,, ..., Ти = Б." ~Тз и преобразование управления имеет вид и = „, ( — ЦТз+ и).
1 г, г. -эТ (6Л 5) Пример 6.6. Задана система хе = хз, хз = хз + и, хз = хз + схз. з 3 Требуется произвести линеаризацию обратной связью по состоянию. Решение. В данном случае и = 3 и функции Г(х) и 6(х) имеют Г(х) = (хз хз хз + схз) , й(х) = (О 1 0) 1) Найдем матрицу управляемости У= (и ае1уи ад~~8) 46 бр адуве = — К вЂ” — и =— 4х бх 0 0 Зхз 0 = 0 Π— 1 О Матрица управляемости имеет вид У = 1 0 0 0 0 1 2) Детерминант матрицы управляемости отличен от нуля: е1е1 У = = 1. Первые два столбца матрицы управляемости являются постоянными и поэтому образуют инвалютивное множество. 3) Соотношения (6.14) принимают вид 0 Ь, а*, а*. ах, 0 1 0 О О Зх' 1 0 3 ахун = ае11(ае116) = à — — ае1у6 = 2 4(и 416) аг бх Ых (а) = — (е), б.б, Пинеаризаиия обраизной связью ио выходу 189 1 уот от от 1 от 47Т1а41уб = — ( дх1 дхз дхз дх1 , УО'( УдТ1 дТ1 дТ1 1 дТ1 ~Т1ае1уее = — ( — — — ) О = — — и'= О.
(,дх1 дхз дхз) ~ 1( дхз Отсюда следует, что Т1 зависит только от хз, и в качестве решения этих соотношений примем Т, = хз. 4) Найдем остальнь1е два компонента преобразования состояния Т2 и Тз Х2 ТЗ = Ьутх = Гутзу = (О О 1) хз = Х1+схз, Х1 + СХЗ , з Х2 Тз = Ьутз = Ьутз = (1 О Зсхз) хз —— хз+Зсхз(х, +схз). 21 + Гхз з Итак, преобразование состояния имеет вид 21 = Т1(х) = хз, 22 = 72 = х1 + схз, хз = Тэ = х2 + Зсхз(х1 + схз). Пля определения преобразования управления нужно опреде- лить 7 ду уТ1 и 7 ут1 О 7ЗЬ~ут1 = удтз = 177зн = (Зсхз з1 бсхзх, +15с~х4~) 1 = 1, О Ьзут, = 7,у(7,'Т,) = уутз — с7тз У = Х2 = (Зсхз 1 6схзх1+ 15сзхз) хзз Х1 + 11ХЗ . з = Зсхзхз + хз + (бахзх1 + 15с хз)(х1 + схз) ° Подставив эти выражения в (6.15), получим и = — !Зсхзхз + хз + (бсхзх1 + 15с хз)(х1 + гхзН + и.
В новых переменных уравнения системы примут вид 21 22~ 22 — 23 23 — и. 6.5. Линеаризация обратной связью но выходу Пусть система описывается уравнениями х = 1(х,и), р = й(х), х Е Л", и Е 77, у Е 77. (6.16) Рассмотрим задачу слежения за траекторией р (1), которая состоит в определении такого закона управления, при котором ошибка Гль б. Линеаризаиия обрап1ной связью слежения е(1) = У(1) — У (1) со временем стремится к нулю: е(1) — Э О при 1 — 1 со, а остальные переменныс ограничены. Трудность решения данной задачи заключается в том,.
переменная у не связана с управлением и. Однако может оказаться, что она будет легко разрешимой, если путем преобразования исходной системы удастся получить прямую и простую зависимость между выходом у и входом (управлением) и. Определение 6.7.
Ланеаризаиией обратной связью по выходу называется такое преобразование нелинейной системы (6.16), включающее преобразование обратной связью, при котором в преобразованной системе связь между выходом у и входом и получается линейной. Пример 6.7. Система описывается уравнениями т1 = ь2, й2 = ьз(ь1 + 1), йз = я1ь2 + и У ь1 Требуется определить алгоритм управления, обеспечивающий слежение за траекторией у (1) (остальные переменные ограничены). Решение. Продифференцируем у столько раз, сколько потребуется для получения прямой зависимости между выходом и входом: У = л1 = лз, У = тз = тз(л1 + 1), У = йз (л1 + 1) ч- язй1 = л1тз (т1 + 1) + (т1 + 1) и ч- из из.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
