Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Системы боиьшой раэмерносиии. Доказательство. Подставив в уравнение (7.12) его решение х(х~, с), получим тождество х, (хи, 1) = Хе1х1хи. 1), 4), 1 = 1, 2,..., и. Продифференцировав это тождество по хи, получим дх, ч дХ, дхе дте ~-~ дхи дто и=1 или д дх, х-~ дХ, дхь й~ д о = ~ д ' д е, 1, у = 1,2,....,ьь. и=1 Из последнего равенства получаем Если в какой-либо точке 1 функция 7"1с) = — ' недифференци! дх, дхе руема,то в этой точке под производной понимается МЯ й 1Ф + 111) — УП') бс ас-~+о Просуммировав последнее неравенство от 1 = 1 до 1 = п, получим и п и ~,=з э с=1 я=1 е и д, Введя обозначение сэу1с) = 2 "~ и используя условие (7.14), последнее неравенство можем представить в виде Ф~П) < ~ П) Проинтегрировав последнее неравенство от 1е до 1, получим ээ Я < г7е ьр М (йс = Ф 110)) Используя это неравенство, находим Лемма доказана.
Доказательство теоремы 7.3. Введем обозначение Т = 1 = — 1п (Мчи), где а, М -- постоянные, которые входят в (7.15). 7,Н Эксаваеаааавьная уствачаввсть. Теорема Красввсквев 209 Рассмотрим функцикг И(х,1), которая определяется следующим образом: ~вы И(х,1о) = ~ ~х(х,т)~ Йт. (7.19) ~ь Функция И(х,1) получается из функции Г(х,1о) подстановкой хо = х и 1о = й Покажем, что эта функция удовлетворяет условиям теоремы. Используя (7.15) и (7.19), получаем ~ьет ее те' )'(хо,4о) = / )х(хо,т)~ с1т < / Мг~ко~ е г ~' сь~ с1т = Ц ~ь еье-т = — М~)хо)г —,— га(~ еь) = Мг)хо)г — (1 е — гат) = с )х (~ 2о е, 2о Используя неравенство (7.17), находим сыт 1т(хо 2 ) > /' ~ о~ге-гь( — ее>7( ~ о~г (1 — гьт) с ~ о~г 1 25 Из полученных неравенств следует, что функция Г (хо, 1о) удовлетПодставив сюда хо = х, получим (7.16а).
Пля получения соотношения (7.16б) вычислим производную по времени функции И(х,1о) в силу (7.12), подставив вместо х решение х = х(хо, 8) и 1о = й вы = — ( (х(х(хо е), т) ~~с1т = е1с Ж,/ ест с <~ = /х(х(х",1), 1+ Т)! — ~х(х(х, Х), 1)/ + / — ~х(х(х,4), т)~ с1т. Функция х(х(х",1), т) представляет траекторию изображающей точки, которая в момент т = 2 стартует из точки х(х,. ь), а функция х(х(х, 1+ Ы), т) траекторию изображающей точки, которая в момент т = 1+ сьс стартует из точки х(х, 1+ Ьс).
И так как эти траектории при т > 2+ гас должны совпадать, то х(х(х,1), т) = = х(х(х", 1 + е)с), т) и соответственно — ~х(х(хо,1), т)~г = О. д Ж Поэтому производная функции Ляпунова принимает вид = !х(х(хо,1), 1+Т)!г — !х(х(хо,1), 4)/~. (7.20) В силу (7.15) имеем )х(х(х", 2),1+ Т)! ( М/х(хо,1)! е 14 Д.П. Ким 7зй Экспоненциальная устойчивость. Теорема Красовскоео 211 Л е м м а 7.3. Лроизводная квадраптчной формы Г(х) = х~Вх ао х удовлетворяет условию 2Л (х! ( ( ( 2Л~~~)х(, еде Лн, ЛД вЂ” — минимальное и максимальное собственные. значения матрицы В. Локазательство. Найдем производную квадратичной формы Л/(х) 4хтвх) т дх дх Отсюда получаем ду1х) дх = 2х~В(2х~В) = 4х Рх, где Р = ВВт.
Если минимальное и максимальное собственные значения матрицы Р обозначить Л и Лм соответственно, то согласно гз о лемме 4.1 (см. 14.1)) имеем Л~)х/~ < х Рх < Лм)х! . Следовательно, справедливо неравенство 4,'р~ ~г < (" (~) < 4Лп~ ~г х или 2 з/Л~~ (х! < < 2 17'ЛЯ )х). Теперь достаточно показать, что собственные значения Л~ матрицы Р равны квадрату собственных значений Лн матрицьз = (Лп)г (ь = 1,2, и) Так как В является симметрической матрицей, сугцествует неособая матрица Т такая, что произведение Т ' ВТ прелставляет собой диагональную матрицу с11ад(Л~, Лв, ..., Лн) = Т 'ВТ, где Лн 1г = 1,2,...,и) — собственные значения матрицы В.
Возведя в квадрат это равенство, получим с1ьаб(Лг, Л, ..., Л )) = длаЕ~(Л ), 1Лг) ...., 1Л ~ )) = = Т 'ВВТ = Т 'РВ. Отсюда следует, что собственные значения матрицы Р равны квадратам собственных значений матрицы В, что и требовалось доказать. Теорема 7.3а. Если линейная стационарная система х = Ах устойчива, а положительно определенная квадратичная форма 1г(х) = хгВх является ее функцией Ляпунова и производная от нее по времени в силу уравнение системы принимает, вид $'(х) = ю(х) = — х Сх, 14* 212 Гл, 7. Системы большой размерности.
то в ка ьетпве нонсптнаь с, (1 = 1,.2,3,4) в соотношениях (7.16) можно принять в в, с , в аз=Л,„, сз=Лре, сз=Л„;, сл=Лм, т, е, функция Ляпунова удовлетворяет следующим соотношениям: Лв)х(з < 1 (х) < Льв(х)з, (7.21а) Ъ'(х) = ш(х) < — Л~/х!~, (7.216) ) ( < 2Л~)х! (7.21в) дх где Льо Лм минимальное и максимальное собственные значения в в матрицы В., Л~и — минимальное собственное значение матрицы С. Доказательство. Неравенство (7.21а) непосредственно следует из леммы 4.1 (см. (4.1)). С помощью этой леммы также получаем неравенство (7.21б): Л~,(хз( ( хтСх, или ш(х) = — хгСх ( — Ло)хз). Неравенство (7.21в) следует из леммы 7.3. 7.3.
Декомпозиция и децентрализация Обычно системы большой размерности состоят из нескольких подсистем или их условно можно разбить на несколько искусственных подсистем. Поэтому основным методом исследования систем большой размерности является метод декомпозиции метод, при котором исходная система разбивается на несколько более простых естественных или искусственных подсистем. Эти подсистемы |юлучаются зависимыми. Далее, пренебрегая взаимосвязями, получают независимые подсистемы. После этого каждая из подсистем анализируется отдельно и для каждой из них строится регулятор.
Затем производится агрегирование .-- объединение подсистем в одну систему с учетом отброшенных связей и последующее исследование. 7.3.1. Декомпозиция. Рассмотрим декомпозицию, состоящую в разбиении системы большой размерности на подсистемы меньшей размерности. Такую декомпозицию называют объектной или структурной декомпозицией [45).
Пусть исходная система Я описываотся уравнением х = Х(х, п,1), х Е Н", п Е Н'. (7.22) И пусть она разбивается на г подсистем Яь (к = 1, 2,..., г): уравнение (7.22) представляется в виде х~~~ = Х" (х~ь~, п~~~,1) + Ь~(хп~,..., х~ь ' ~, х1~ь' ~,..., хбй), х~ ~ Е Л"'., п~ й Е К'". (7.23) Здесь х~~~ вектор состояния и пбб вектор управления подсистемы Яя. В правой части уравнения (7.23) первое слагаемое описывает 213 7.У.
Деиолеиозииия и децентрализовал динамику Й-й подсистемы, а второе слагаемое — — взаимосвязь между системами. Коли пренебречь взаимосвязью, то получим г независимых подсистем: 5 0,3 0,2 8 0,2 5 4 0,5 0,2 5 7 0,1 6 0,4 0,5 9 х=Ах, А= Решение. Чтобы уменьшить в уравнениях подсистем слагаемые, определяющие взаимосвязь, произведем преобразование вектора состояния: х = Ту. В новых переменных уравнение системы примет вид А' = Т вЂ” 1АТ у = А'у, Пусть преобразование Т состоит в последовательной перемене мест первой и третьей строк, а затем первого и третьего столбцов: 5 0,3 0,2 8 0,2 5 4 0,5 0,2 5 7 0,1 6 0,4 0,5 9 0,2 5 7 0,1 0,2 5 4 0,5 5 0,3 0.,2 8 6 0,4 0,5 9 7 5 ! 0,2 0,1 4 5 ! 0,2 0,5 0,2 0,3 ! 5 8 0,5 0,4 ! 6 9 =='е А Представим матрицу А' в виде блочной матрицы, разбив ее на четыре блока так, как это показано пунктирными линиями: Аз1 Аз х~ ~ = Х (х~"~,ц~"~,1), й = 1,2,...,г. (7.24) Лля того чтобы можно было пренебречь слагаемым Ь", оно должно оказывать слабое влияние на решение уравнения (7.23), т.е.
оно должно быть мало по сравнению первым слагаемым Хе. Возможны два способа декомпозиции: физический и математический. Физический способ используется, когда система Я получена из подсистем Яя путем их объединения. В этом случае уравнения (7.23) представляют собой уравнения подсистем, составленные с учетом их взаимосвязи. Математический способ используется, когда система Я не содержит в явном виде подсистемы Яы В этом случае чтобы умсныпить слагаемое Ь", которым на первом этапе пренебрегают, перед декомпозицией целесообразно произвести преобразование фазовых координат.
Пример 7.1. Выделить две подсистемы в системе, которая описывается уравнением 214 Гм 7. Системы боаьшоп размерноссии. Используя элементы этой блочной матрицы, уравнение в новых переменных можно представить в виде уЧО = Аыуц~ + Азгу~~~, уц ) = Аггу~ + Аязу~ ), где А„= А'г 0,2 05 8/ Чтобы закончить решение, нужно найти преобразование х = Ту. Перестановка местами любых двух строк (и х и)-матрицы С (например, г-й и утй строк) равносильна умножению этой матрицы слева на матрицу (1) О) 1 0 ... 1 а перестановка любых двух столбцов (и х и)-матрицы С (например, г-го и у-го столбцов) равносильна умножению этой матрицы справа на матрицу ЕР ~21).
Если дважды умножить матрицу С слева на матрицу Еи, то получим матрицу С. Следовательно, имеем Е,",Еи = 1, или Е" = (Е1п) ьб Из изложенного следует, что матрица А' получается из матрицы А умножением ее слева. и справа на матрицу 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 4 Епз = Поэтому можем записать А' = Ез зАЕзз —— (Е» ) 'АЕз з. И так как А' = Т 1-АТ, то получаем 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 4 Т=Е,з= х = Ту = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 А,„ 0,5 0,4 Уз Уг Уз У4 Уз Уг Уз Уз 21о 7.У.
Деколгпозииия и деиеятрализаиия Заданы 1 (1 -- размерность вектора управления) целых чисел п; (г = 1,2,...,1), сумма которых равна в: 2 п, = в. Преобразование ~=! х = Тв называется преобразованием Луенбергера, если матрица преобразования Т имеет вид '(В(Ц АВ[Ц А, — гВРЦ ВОО АВОО 4,— гВ(г) В~О АВО~ ... А"' 'ВО~~, (7.25) где В~О (г = 1,2,..., 1) — г-й столбец матрицы В. При таком преобразовании в преобразованном уравнении й = Аг + Ви, А = Т ~АТ, матрица В имеет вид 500 Ог О 5<г) Од Ог 1 О О О ... 5® где О, (г = 1, 2,..., Ц столбец из нулей размерности и, Пример 7.2. Дана система уравнений йг =тг+ип+2иг., тг = из + 2иг + иг, тз = из + .'ег + 3иг + иг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
