Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Собственное значение матрицы Вз равно единице, поэтому Лнив = 1, Л„' = 1. И так как производная $'з удовлетворяет неравенству Г < — 6(х~ ~), то имеем Вв сзг — Лм = 1 Вв сзз = 6, сза — — 2Лмв — — 2. 1 не зг— Согласно формуле (7.36), чтобы определить элементы матрицы Р системы сравнения, необходимо найти нормы матриц взаимосвязи Нб, В соответствии с утверждением 7.1 (см. (7.32)) евклидова норма матрицы Нб равна корню квадратному из максимального собственногозначенияпроизведенияЙз = (Нб)тНьо Определим мак- 15* 228 Гм 7. Системы боаьшой размерносгии. симальные собственные значения матриц Нгг (1, у = 1,2,3, 1 ~ у)1 Н12 = (Н12)~Н12 = ' =, Л1412 = 0,04; 0 0,2 0 0,2 О 0.04 Н21=(Нм) Н21= ' = ' ., Л„1" =0,04; ЕХгз = (Нгз) ЕЕгз = ' =, Л,14" — — 0,04; Нзз = (Нзз) Нзг = ~ ~'(О 0,2) = ~ ), Лзз" = 0,04; '(0,2~ ' '(О 0,04)' Нзг = (Нзг) Нзг = ~ О 0) =, Л-„,,"- = О.
Отсюда имеем !!Нгг!!2 = Л~дг = 0,04, !/Нзз/!2 = Лзг' = 0,.04, !!Н21!/2 = Л„1" = 0,04, !!Нзз!!' = Л,"," = 0,04, !!Н21!!- = Лизе' = 0,04, !!ЕЕзг!!' = Л14" = о. По формуле (7.36) для элементов матрицы ЕЕ находим: сгз 2.,9 сгз 2 С(!1 =— 1 4А с(22 = = — — = — 1, 2сгг 2 ' ' 2сгг 2 6 — -= — 3, 2 сзз с(зз = 2сзг с(12 = ("') (!!Нп!!'+ !!Нзз!!2) = 4 0,08 = 0,11, 4112 — 2 (!!Н12!! + !!Н12!! ) — — 0,08 = — 0,0551, 4421 142 2в 4221 = (!!Нзз!!2 + !!Нзг!!2) = — 0,04 = 0,013, (с )г с(зг = '' (!!Нзз!/2+ !/Нзг/!2) = — 0,04 = 0,027. (сгг) 2 сгзс11 (сг4) 2 сгзсзг (!!Н21!! + !/Н2з/! ) = — 0,08 = 0,.08, (!!Н21!/~ + !/Нзз/!2) = — 0,08 — = 0,08, 229 7МО ВЕКГаарНМЕ я)уНКиии Лаиуиаеа Матрица Р принимает следующий вид: — 1)45 0)11 0,055 Р = 0,08 — 1 0,08 0)013 0)027 — 3 Матрица Р является М-матрицей.
Проверим выполнение критерия устойчивости, т.е. условия (7.39) для этой матрицы: Ьз= ' ' =144>0, — 1)45 0,11 ) Ь| — — ( — 1)( — 1,45) = 1,45 > О, — 1,45 0,11 0,055 0,08 — 1 0,08 0,013 0,027 — 3 ,Лз = (-1)' =432>0. Критерий устойчивости выполняется. Следовательно, матрица Р, или, что то же, система сравнения, устойчива. По теореме 7.4 агрегированная система устойчива. 7.4.4. устойчивость агрегированной системы с нелинейными взаимосвязями. Рассмотрим агрегированную систему, которая описывается уравнениями х00 =.4ьхрц ~-Ыь)(хрц ... х(а 0 х~~+О, х("~) 7.40 х бВа„, Й=12,...,г.
00 ) Здесь Ь)ь) (0,0,..., 0) = О, т.е. начало координат х = ((х)~))~(х)~))~... ... (х)")) ) = 0 является положением равновесия. В данном случае взаимосвязи между подсистемами описываются нелинейными функциями. Эти функции удовлетворяют соотношениям г ~Ь®) < ~6ь;~х~О~, Ьы > О, и = 1,2),.,,г, (741) )=1 )иь Если пренебречь взаимосвязями, то получим г независимых подсистем Яь, которые описываются уравнениями х)") = Аьх)~)) хрц е Л"), й — 1,2,...,г. (7.42) Пусть положение равновесия хрц = 0 подсистем Яь устойчиво.
Тогда при любой положительно определенной (пь х пь)-матрице Сь существует матрица Вю удовлетворяющая уравнению Ляпунова АтВь + ВьАг = — С) (7.43) Квадратичная форма Ъь(х)")) = (хрц) Вьх)~) является функцией Ляпунова для подсистемы Яь. Она в соответствии с теоремой 7.3а уцовлстворяет соотношениям Л~")хая~/~ < 1ь(х) < Л~~~')х~"1)~, (7.44а) 230 Гл. 7. Системы большой раэмерности. (7.44в) устойчиво, то и положение равновесия х = 0 агрегированной системы (7.40) асимнтотнчесни устойчиво. Доказательство. Производная по времени функции Ляпунова 1 ь(х~"~) в силу уравнения (7.42) подсистемы Яя имеет вид (~'л.)~лз~ =,' Аьх ' . оьь (ь1 Производная по времени той же функции в силу уравнений (7.40) агрегированной системы имеет вид (~ Й) (40) — (~ ь ) ыг) + 0 дрь 00 Учитывая неравенство (7.446), из последнего равенства получаем %)(4о) < — Л !х 1! + — ь !1з1 !.
дхь Используя (7.44в) и (7 41), полученное неравенство можно представить в виде (Гь)~ло~ < — Лс')х~ 1/ +2Л „')х1 ~! ~~ йь,(хб~!. 4=1 э;ьь Далее, используя неравенство (7.38), полагая в нем а = Л~', Ь = 2Лв" ~ ~Ьи,)хб~/, г = )х®), э=1 уфь 4:ь(х) < — Л~'~х®~~, (7.446) ) <2лв ! (ь)~ где Лв', Л, ' -- минимальное и максимальное собственные значения матрицы Вы Л~ь —. минимальное собственное значение матрицы Сь. Теперь рассмотрим теорему, которая позволит определить, как строить систему сравнения для агрегированной системы (7.40) с нелинейными взаимосвязами, удовлетворяющими условию (7.41).
Теорема 7 5. Пусть квадратичная форма 1гь(хбб) = (хрб)~йьх1"' являегпся функцией Пяпунова для подсистемы (7.42) и элементы матрицы Р = (ды) имеют вид Л" Ь=ь, 2 Л," дь = в, (7.45) 2(Лв")г ~ ~й ~г /(Лс Лв*) б=з эг'ь Тогда, если нулеоое решение системы х = 17х, х Е Л', (7.46) 7.4. Вектаовнме функиии Ляпунова 231 а также неравенство Коши — Шварца (4.19), получим г г=г г~в 21,ва г е ®~г ( и ) ~52 ~~ ~ (г)~г 2Л" г=г г=г г~я гнь И з неравенства (7.44а) имеем ,1ы' Позтому последнее соотношение можно преобразовать к виду (1'ь)(ао) ~ в„1в+ с„х' йаг ~ в,. г'фа г'фв Используя векторную функцию Ляпунова Ъ" = Я Ъг ...
1~,)~, последнее неравенство при к = 1,2,...,г можно записать в виде зг < 11Ъ'. Если х(1) .-- решение уравнения (7.46) при начальном условии х(се) = = Ъ'(1е), то в соответствии с теоремой 7.2 Ъг(е) ( (2(1) Ч1 ) )1в. Так как нулевое решение уравнения (7.46) устойчиво, то х(1) — о — о 0 при г — ~ оо. И так как все компоненты вектора Ъ (1) являются положительно определенными функциями, из последнего неравенства следует, что Ч(1) — ~ 0 и соответственно х(1) — > 0 при 1 — > со.
Теорема доказана. Пример 7.5. Исследовать устойчивость системы, состояшей из следующих трех подсистем: х, = — х, +х, + 005зшх хг — — 2хг +0,1(е <" ~ — 1); х< — — — 2х, +005(1 — соз2х) ~), Вг ° < хг = — 5 х< — бхг + 0,05 зш 2х Решение. Запишем приведенные уравнения в векторной форме: яг. хц~ = Агхц~+ЬО~(х~г~,х~з~), Я хЦгг =.4 хрц+Ыгг(хцг х(зг) Яз . х(з) .4зх(з) + Ь(з) (х~ ~, х~ ~ ) 232 Гл. 7. Снстемы боновой раэААерноссии.
Если не учитывать взаимосвязи, то получим три независимых подсистемы В1, хмц = Азх1Ц, Я ' х121 =.4 х121 Я х121 = Азх121 Функции Ляпунова будем искать в виде квадратичной формы 1А1„= = (х1е1)тВьх1Я1 (Ь = 1, 2, 3), где матрица Вг определяется из уравнения Ляпунова АтВь + В1 Аг = -С. при условии,что ( 0 0~ (Ь 123) (10 0) Определим матрицы Вь (Ь = 1, 2, 3). При Ь = 1 уравнение Ляпунова принимает вид 1 — 2 Ь1Ц Ьбц Ь1Ц Ь1Ц 0 — 2 0 10 или, после перемножения матриц., ! Ь11 — — 1 (-0' "'- 0'1 512 1 ( Ьы Ьы 2Ьгз 1 (10 01 Ъ~'~ 2Ь~Ц ЬОЦ 25~ 1 ~ Ь~Ц Ь~'~ 2Ь ~1 0 10 11 21 12 22 21 21 22 Учитывая равенство Ь12 = Ь21, это уравнение в скалярной форме (ц рц можно записать в виде Отсюда находим 51, — ЗЬ,2 = О, 2Ь,2 — 4Ь22 = — 10.
1Ц (Ц (Ц (ц бц ~Ц бц 5 ~Ц 10 ~ 5 5~3) Ь„=5, Ь„=Ь2, =-, Ь22 = —, В1= 3 3 (513 1013~ ' Собственные значения матрицы В1, или корни уравнения 5 — Л 5/3 2 25 125 АЫ (В, — Л1) =,, = Л вЂ” — Л + — = О, Здесь хбц=, А — А, = ) 0,05 (1 — соз2и1 ) 1 ('-''-.~ "='(".:.:.:,;,)' 233 7.4. Векигорнвзе функции ляпунова равны Л1 = 2,.3 и Лг = 6. Поэтому для минимального и максимального собственных значений матрицы В1 имеем Лв' = 2,3 и Л ' = 6. в, При й = 2 уравнение Лгнзунова принимает вид 0 — 4 ЬР) Ь)2) ЬР) Ь(г) 1 — 4 0 10 или, после перемножения матриц, — 2Ь„+ Ьг, — 2Ь„+ Ь,г — 251, + Ь,г — 4512 10 0 ! )2) (г) , (2) )2) (г) )2) (г) 45(2) 45(2) 25(2) + Ь(2) 4ЬР) 0 10 21 22 21 22 22 В скалярной форме это уравнение принимает вид — 4 Ь„ + 2 Ь,г = — 10, — 6 Ь,г + Ьгг = О, — 8 Ьгг = — 10.
(2) (2) (2) 12) (2) Отсюда получаем )2) )2) 5 12) 5 ) 125/48 5/241 24' 22 4' ~ 5)24 5)4 )' )2) 125 48 ' Составив характеристическое уравнение и решив его, для минимального и максимального собственных значений матрицы Вг получаем Лв' = 1,23 и Лв = 2,61. При Ь = 3 уравнение Ляпунова принимает вид 1 — 6 Ь(з) 1(з) Ь(з) Ь(з) — 5 или, после перемножения матриц, ! 5 Ь(з) г Ь(з) ~ г Ь)з) Ь(з) г1 гг ~ ~ ' ьг ы 512) 6 Ьдз) Ьдз) 6 Ь)з) ~ ~ е 512) Ь(з) + 11 — 21 12 — 22 -д 22 21 — 6 0 10 65(~) В скалярной форме это уравнение принимает вид — 10Ь12 = — 10, — 5522 + Ь,, — 6Ь12 = О, 2Ь,2 — 12Ь22 = — 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
