Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 42
Текст из файла (страница 42)
8.д. Синтез систем с переменной структурой 248 Отсюда находим Мепгод эквиваленглноео управления [56]. Согласно этому методу уравнение скользящего движения определяется следующим образом. 1) Вычисляется производная по времени функции переключения в(х) в силу уравнения (8.4а) и приравнивается к нулю: в(х) = — х = 8гас( в(х) . 1(х,и,1) = О. (8.9) ах 2) Из уравнения (8.9) определяется управление. Полученное при этом управление называкет эквивааещаным управлением. 3) Подстановкой эквивалентного управления в уравнение (8.4а) находится уравнение скользящего движения.
Пусть в уравнение объекта управление входит линейно: х = и(х,1) + Ъ(х,й)и, х Е В", а Е 77. (8.10) В этом случае уравнение (8.9) принимает вид в(х) = — [8(х, 1) -1- Ь(х, 1)и) = ~ — [д,(х, 1) + Ь;(х, Ь)и) = О. г=г Отсюда находим эквивалентное управление ( 2, — д,(х,г)) и,=— ( ~ — ' Ь,(х,с)) Подставив это выражение для управления в уравнение объекта (8.10), получим де [ Е О д*(хд)) х = и(х,1) — Ь(х,1) ( 2 — Ь,(х,г)) (8.11) Это уравнение при условии в(х) = 0 является уравнением сковьэягаего движения. Выразив из уравнения в(х) = 0 переменную т„и подставив в (8.11), получим уравнение скольжения (н — 1)-го порядка. Для сравнения получим уравнение скользящего движения для объекта (8.10) методом Филиппова.
В этом случае имеем Г' = и + Ьи, 1'к = и + Ьив . 8гас1 е(х) . г" 8гас1 в(х)(1 — 1 г) При подстановке этого выражения в уравнение (8.7) последнее принимает вид 8гас1 в(х) г 4-ь 8гас1 в(х) К" у ( (0)) О (8 8) 8гас1 е(х)(г" — Ге ) 8гас1 е(х)(г" — Г+) 246 Гж д, Метиоды сиигпезв сисюем управления Уравнение (8.8) при подстановке этих выражений принимает вид — (д,+Ьи )~(8+Ъи ) — ~~ — (д,+Ьи )~(8+Ьи ) дв 1 , дл, ~,и д*„ х— дв — Ь,~ (и — ие) , дя, или, в скалярной форме, [.; 1 — (д, + Ь,и ) (де + Ьви ) дв ,,а,, тя ~. — (д,+Ь,и )~(дв+Ьви-) а.,1 , д*, ~~.
— *Ь,]( -- +) ~~: — 'ь.~(и-- ~) к=1,2,...,л.. Раскрыв скобки, после преобразования получим (У'. — 'д,)ь, Эти уравнения описывают скользящее движение при условии в(х(0)) = О. Если последние уравнения записать в векторной форме, то они принимают вид (8.11). Таким образом, в случае, когда объект описывается уравнением (8.10), уравнения скользящего движения, которые получаются методом эквивалентного управления и методом ФилиппоВа, совпадаю~.
8.2.3. Стабилизация линейного стационарного объекта. Рассмотри задачу стабилизации в случае, когда объект описывается уравнением х = Ах+ Ьи, х й В", и б Л. (8.12) Пусть поверхность переключения является плоскостью и задается уравнением в(х) = стх = ~~ с,хе = О.
(8.13) е=-1 Здесь элементы (и х и)-матрицы А и (и х Ц-матриц (векторов-столбцов) Ь и с являются постоянными. Производная по времени функции переключения в силу уравнения (8.12) имеет вид в(х) = стх = ст(Ах + Ьи). Если выбрать закон управления вида (8.4б), то вт = ст(Ах+ Ьи+), в = с (Ах+ Ьи ~). При этом условие скольжения (8.5) принимает вид вв = с (Ах+ Ьим) ( О, в = ст(Ах+ Ьи ) > О, 8.2. Синтез систем с переменной структурой 247 или ( ')" и с, а,ьхы Е ди! и Е а;гхы ои! (8. 14а) и — с! ги! (8.146) Как будет показано дальше, это условие остается в силе, если выбрать закон управления вида и (о! хв>0, и= — ~ ~гбхо ф,= ~ 1Д хе<0. (8.15) с и и сА)ов >~с,а,ьг к=1,2,...,п, г.= ! г=! (8.16а) и с,б,)А,.
< ~ сга,я, Й = 1,2,...,и. (8.166) г=! г=! Показательство. Условия (8.16) получается из условий (8.14). Введем обозначения; уг! = гр~ при в(х) > 0; уг! = уг,. при в(х) < О. В соответствии с алгоритмом (8.15) имеем гр," = ~ " ' ' (в(х) >0), (8. 17а) 1го х,<0 ф, = " ' ' (в(х) < 0). (8.176) Если, как в алгоритме управления (8.46), положить и = ие при в(х) >О и а=и при в(х) <О, то и и ,'=-',).б.,'хо и-=-'~,б,-х! (8.18) г=! г=! Лостаточность.
Подставим выражение для ие из (8.18) в условие скольжения (8.14а): и и и и — сгЬ;, ~и ьгг'ь хь < — ~' сг ~ а;ехю г=.! ь=! Ьи! Функция дг, терпит разрыв не только на плоскости переключения, но и на координатных плоскостях х, = 0 (ь = 1г2,, ..,и). Однако управление на координатных плоскостях не терпит разрыва, так как на этих плоскостях управление обращается в нуль. Условия скольжения. 27ля того чтобы в системе (8.12), (8.15) возникло скользящее движение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства 248 Га. 8, Метиады синтаеаа сисюем уиттаелеииа Поменяв порядок суммирования и умножив на — 1, находим Последнее неравенство будет выполнено, если при хг > О с и и с,б,) 2)ге > ~а схаты к = 1, 2,..., л, г=-1 2.=1 и при хе < О с и и Стбт) г)т 1 < ~ Стаею К = 1, 22..,,П.
г=1 2=1 Подставив в зти неравенства значение ф~~ из (8.17а), получим ф и г = 2,2,..., 2=1 и .,2)Е Е'юч,, 2=22,..., 2.=-1 и 'г '+г*г =Р(А гю г = (А, — Е загг,) „22 2=1 2=1 и при е(х) > О и и, Гг г =,'гг,гЬ-г= (З,.„— ~ч,г,ю„),„22, 2=-1 г=1 т.е. условие скольжения (8.6) не выполняется. Необходимость доказана. Ксли выполняется условие скольжения (8.16), то з(х)й(х) < О. Следовательно, условие скольжения (8.16) является одновременно и условием достижимости.
Условие снольхсения нри частпичном и мерении фазовых ноординат. Рассмотрим случай, когда в законе управления используются не все, а Й первых фазовых координат с разрывными Эти неравенства совпадают с неравенствами (8.16). Итак, если выполняются неравенства (8.16) г то выполняется неравенство (8.14а). Аналогично можно показать, что если выполняются неравенства (8.16), то выполняется и второе условие скольжения (8.14б). Таким образом, выполнение неравенств (8.16) является достаточным условие существования скользяп1его режима.
Необходимость. Допустим, что при каком-либо й = г условие (8.16) не выполняется. Тогда в точке с координатами х; = О (1=1,22...,пд тат') и х,>О пРи е(х)>О 8.2. Синтез систем с переменной структурой 249 коэффициентами: (и, хв>0, и = — У )(),х) — бгп ф) = 1 х,в < О, г=г (8.19а) б = е( ' ' бо = [бо[з18п(с Ь).
оа, в(х) > О, 1.— ба, в(х) < О, (8.196) (с Ь))3 < с аб) — с (с~а)")'), у' = 1,2г.,,,й, (8.206) с а)г~ = с (с а)п)). у' = Й+ 1,...,п — 1, (8.20в) где а)г) О = 1,2,...гп) у-й столбеи матрицы А [56[. При й = и — 1 равенств (8.20в) не будет, и необходимое и достаточное условие скольжения принимает вид (тЬ) > т~И (т(гг~) (,тЬ) <,т,~В, (,т,~гг~) Доказательство.
Производную по времени функции переключения в(х) в силу уравнений (8.12), (8.19) можно представить в виде Л ь ') )= — '' =")) .гь)=г ) ' "')*,—..*'ь(~гг.„гг) = дх ь у=г [с абб — (с Ь)у) [х, + ~~г (с аб~)х — (с Ь)о . Учитывая, что из уравнения плоскости псрсключсния имеем хь = и — 1 — с,х„последнее соотношение можно преобразовать к виду )=1 ь в(х) = ~ [с а)г' — (с Ь)ф — с (с а)"))[х, + =1 ь — 1 + С;" [,т 0),,(,т ~гг))[,, (,тЬ)б.
у=ьег достаточность. При выполнении равенств (8 20в) вторая сумма в последнем соотношении обращается в нуль, и оно принимает вид Здесь бо — сколь угодно малое отличное от нуля число, знак которого совпадает со знаком с Ь. Цель введения слагаемого бь в закон управления будет пояснено дальше. Условие скольжения. Юля того чтобы плоскость в = стх = = 0 (с„= 1) были плоскотпьв скольжения для системы (8.12), (8.19), необходимо и достаточно, чгпобы выполнялись соотношения (с~Ь)о > с а)г) — с (с~а)"))г у' = 1,2,...,йг (8.20а) 250 Га. 8, Метадьь синтеза систем управления в(х) = ~~ [с аьд — (с Ъ)~Π— с,(славь"ь)[х — (с Ъ)ба. (8.21) При в(х) > 0 и х > 0 из соотношений (8.19) имеем уь = о и Б„= = [бе[ябп (стЬ). Поэтому в этом случае последнее соотношение примет вид в(х) = ~~ь [с аь~б — (с Ь)сь — с (стабб))х — [(с Ъ)бь[.
Отсюда находим в' = Бпь в(х) = ~ [с аь0 — (с~Ь)сь — с (с арб))хд — [(с Ь)бе[. еьхь — ь.ь.а ь=ь Из этого равенства следует, что для того чтобы выполнялось нера- венство в+ < 0 в условии скольжения (8.5), достаточно, чтобы имело место неравенство В ( тЬ) .( т [и~) <О т. е. выполнялось условие (8.20а). При з(х) > 0 и х < 0 из соотношений (8.19) имеем уь = Д и бв = [бе[ я8п (с Ь).
Поэтому в этом случае имеем веь = 1ьш й(х) = ~ [с аьдь — (с~Ъ)Я вЂ” сь(с абб)]х — [(с Ъ)бв[. еь хь — ь+О е=ь И для того чтобы выполнялось неравенство в < 0 в условии скольжения (8.5), достаточно, чтобы имело место неравенство й = [с аь"~ — (с Ь)ь)ь, — сь, (с~аь ~) )хь, — (с~Ь)6и и при г>Й (г<п — 1) (8.22а) й = [с а~"~ — с,(с аьиь))х„— (с Ь)5 . (8.22б) стаб> (стЬ)(д, с (ста[а1) > О у = 1 2 т.
е. выполнялось условие (8.20б). Таким образом, выполнение соотношений (8.20) является достаточным условием для выполнения неравенства в+ < 0 в условии скольжения (8.5). Аналогично доказывается, что выполнение соотношений (8.20) является достаточным условием для выполнения неравенства в > 0 в условии скольжения (8.5). Необходимость. Лопустим, что соотношения (8.20) при у' = г не выполняются. Тогда условие скольжения (8.5) в точке с координатами хь = 0 (ь = 1,2,..., и, ь ~ г) и х„~ 0 ([х,[ >> [де[) не будет выполнено. действительно, в этой точке имеем: при г < й 8.е. Синтез систем с переменной струхтурой 251 И если при г < х. г-е неравенство в условии (8.20а) не выполняется, т.е. имеет место неравенство с а~"~ — (с Ь)сс„— с, (с а~"~) > О, то при яс > 0 и [л„[ » [бе[ из (8.22а) и (8.19) получаем е ~ = 1пп е = [с абй — (с Ь)ас — с„(с аго)1т„— (с Ь)д > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
