Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Запишем уравнения движения самолета в нормальной форме. Лля этого введем новые переменные: тл =ф+Ьй, ха=й, хз=и. В этих переменных уравнения бокового движения самолета примут вид 1 *'1 = — Т хл + Ь|(хз), хг = 1(хз), хз — а1х1 а2х2 азл(хз) где а1 = И;,(Т вЂ” йи, аз = К»Ь, .аз — — Ьз. В качестве «кандидата» на функцию Ляпунова примем 3 (х) (х1 + ох2) + ч) ф(хз) с хз 2 о При положительных о и у эта форма является положительно определенной функцией. Производная по времени в силу уравнений движения самолета имеет вид 1 Ъ'(х) = х1( — — хл+ Ьф(хз)) + охзф(хз))— Т чл(хз)(а1х1 + а222 + азф(хз). Если положить у = Ь/ал, и = Ьаз/ал, то производная примет вид 1'(х) = — — хз — лдазф~(хз).
Т Параметры у и и будут положительны, а производная Ъ'(х) будет отрицательно полуопределенной, если ал > 0 (1 = 1,2,3), или Ь„; > >Тйс 1с1л >О, кв>0 262 Гл. 8, Методы сонтеэо систем управления Производная Ъ'(х) обращается в нуль вне начала координат на многообразии хз + чазУ (хз) = О Т или хз =О, хз =0 На этом многообразии компоненты фазовой скорости имеют вид хз — — О, хз — — О, хз —— — ахз.
Поэтому если изображающая точка попадает на это многообразие, то она сразу его покидает при х ф О. Следовательно, в соответствии с обобщенной теоремой об асимптотической устойчивости (теорема 4.8) положение равновесия самолета асимптотически устойчиво при Сей > Тко, Йе > О, Йе > О. 8.3.2.
Постаточное условие стабилизируемости и синтез законов управления. Рассмотрим управляемую систему, которая описывается уравнением х = и(х,С) + В(х,С)п, х с Но, п е ССс, С > Св, (8.34а) и закон управления (8.34б) п = п(х, С). Начало координат х = 0 является положением равновесия замкнутой системы (8.34): н(О,С) = О, п(О,С) = О, С ) Се. Согласно теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости система (8.34) асимптотически устойчива, если существует положительно определенная функция Ъ'(х, С), допускающая бесконечно малый верхний предел, такая, что ее производная по времени в силу уравнений (8.34) является отрицательно определенной, т.е.
существует положительно определенная функция ю(х, С) такая, что выполняется неравенство Сс(х, С) = — н(х, С) + — В(х, С)п(х, С) + — < — ю(х, С) Ч С > Св. де' дР дР (8.35) Если положительно определенные функции Ъ'(х, С) и ю(х, С) заданы, то соотношение (8.35) определяет достаточное условие стабилизнруемости. На множество йо = (х, С: — В(х, С) = О ее С > Со) дР дх (8.36) условие (8.35) принимает вид )'(х,С) = — и(х, С) + — ( — ю(х,С) ЧС > Св. (8.37) др дР Представим закон управления в виде (59) и = 1с(х, С) + 1(х, С), (8.38) где Сс(х, С) функция, которая обращается в нуль на множестве Пв, 1(х, С) — - произвольно назначаемая функция. При подстановке 8.х Снинсез енетем, основанный на менсоде фуинннй Ляпунова 263 (8.40) р(х,1) = Р( — В) (8.42) дР то равенство (8.41) имеет место не только при — В = О.
Нейстдх вительно, при подстановке последнего выражения в (8.41), получим — ВР( — В) =( — ВР( — В) ) =- — ВР( — В) =О. Условие (8.39) при подстановке 1с(х,1) из (8.40) принимает вид — (и+В1) — — — ВВ ( — ) + — ( — со Ч1) ео. (843) др Л др т 'д1 зт д1 дх 2 дх дх де В области йо условие (8.43) совссадает с условием (8.37). При подстановке выражения для 1с(х, 1) из (8.40) в закон управления (8.38) получим Л дЪ т и = — — ( — В) + р(х,1) +1(х,1). (8.44) Как было указано выше, здесь 1(х,1) произвольно выбираемая функция, р(х.,1) функция., обращающаяся в нуль на множестве йо и удовлетворяющая условисо (8.41). Из соотношения (8.43), заменив знак неравенства на знак равенства,получим дР дх — (и+ В1) — — — ВВ ( — ) + — = — со. (8.45) Лд ттд1 тт д 2 дх (,дх) де Если ш — — произвольная положительно определенная функция н решение И уравнения (8.45) является положительно определенной и допускающей бесконечно малый верхний предел функцией, то замкнутая система (8.34а), (8.44) асимптотически устойчива.
Возможны два подхода к синтезу алгоритма управления, основанного на соотношении (8.44). При первом подходе задаются поло- этого выражения в неравенство (8.35) оно принимает вид (для краткости записи аргументы функций опускаем) др дх — (8+ В1) + — В1с+ — < — и ~1 > 1с (839) дР дР дх дс Функции> к(х, С) можно представить в виде Л д1г т 1с(х, 1) = — — ( — В) + р(х, 1). Здесь Л скалярная функция: Л = Л(х,с); р(х,г) функция, удовлетворяющая тождеству — Вр(х,1) = О. др (8.41) Следуот заметить, что это равенство может быть выполнено и вне области йо. Например, пусть Р— кососимметрическая матрица (Р = — Р). Тогда если положить 264 Гж 8. Метиоды синтаезв свстием управления жительно определенная функция та1х, 1) и функции Л = Л1х, 1) и 1 = = 11х, 1), а затем находится положительно определенная функция 1~1х,г), удовлетворяющая уравнению 18.45).
Второй подход состоит в том, что задается положительно определенная функция 1т(х), а затем делается попытка подбора функций Л = Л(х,1) и 1= 11х,ь) таких, чтобы левая часть равенства 18.45) была отрицательно определенной функцией. В качестве примера рассмотрим задачу о гашении вращений твердого тела, закрепленного в одной точке 159]. Пример 8.9. Твердое тело, закрепленное в центре инерции, описывается уравнениями =а хх +Ьп, Х2 = С121Х1ХЗ + Ь2П2, хз = азтхтхз + Ьзиз, где аы = '" ,У,, ,У. — У, а21 Уе К вЂ” а2121ХЗ Воспользуемся вторым подходом и зададимся в качестве функции 1 Ляпунова квадратичной формой 4т = — 1хгт + тг г+ хзг).
Имеем 2 др — = 1хт хг хз): дх вв = 111ай 151, ь!. ь,'), д1 т (ду.1т — В — = (хт хг хз) О Ьг О хг дх 1дхт О О Ь 51Х1 + 52Х2 + ЬЗХЗ 2 2 2 2 2,,2 а11х2хз дР дх Я вЂ” 1Х1 Х2 ХЗ ) а21Х1ХЗ = та11 -~- ам -~- азт)хтхгхз азтхтхг 1 1 1 Ьт= —, Ьг= — Ьз= — ', хт 11 = 1,2,3) проекции угловой скорости на оси связанной системы координат;,У„Ую,У вЂ” главные центральные моменты инерции тела; и,, 11 = 1,2,3) проекции главного момента сил на оси связанной системы координат. Требуется определить стабилизирующие законы управления. Р е ш е н и е. В данном случае имеем о.оч Синагог сасгаем, основанный на мегаоде фунниий Ляпунова 265 Ь, ΠΠ— В1=(х1 х, хз) О Ь, О О О Ьз (")= дц — = О. дг = Ь111х1 + Ь212хг + Ьз1зхз, Подставив эти выражения в уравнение (8.45), получим 11аи + аж + аз1)хзхгхз + Ь111х1 + Ь21гхг + Ьз1зхз— Л 2 2 151х1 + Ьгхг + Ьзхз) = 2 Левая часть будет отрицательно определенной, если положить Л = = сопзг > О и векторную функцию 1 подобрать так, чтобы в левой части осталась только квадратичная форма.
Пля этого достаточно принять аг1 12 = — =хзхз, Ьг а11 Х2ХЗ~ Ь, аз1 12 = — — хзхг Ь Определим выражения, которые входят в алгоритм управления (8.44): В (~~) = [О 1, О](..] = (Ь, ] В соответствии с (8.42) имеем д Т О р1 р2 Ь1х1 р(х,1) = Р— В) = — Р1 О Рз Ьгхг 1дх — Рг — Рз О Ьзиз Р1 Ьгхг + РгЬзхз -Р1Ь1хг + РзЬзхз — Рг Ь1'х1 — Рз Ьгхг Теперь, подставив найденные выражения в (8.44), получим Здесь р, (1 = 1,2,3) - произвольные функции. Таким образом, мы нашли целый класс стабилизируюгцих алгоритмов управления.
Произвольные функции р, (1 = 1,2,3) и положительную константу Л можно выбирать исходя из требований к качеству системы. 1 и1 = — — ЛЬ1х1+ р1Ьгхг 2 1 иг = — — ЛЬгхг — р151х1 2 1 из = — — ЛЬзхз — Р2Ь1х1 2 а!1 + Р2Ьзхз — — хгхз, Ь1 аг1 + РзЬзхз — —,хгхз. Ьг аз1 РЗЬ2х2 х1х2 Ьз 266 Гл.
8, Методы синтеза систем управления х = Ах+ Вер(п,1), х б В", и б В". (8.46) Здесь А, В постоянные (и х и)-матрица и (и х г)-матрица, пара (А, В) управляема, т.е. ранг матрицы управляемости равен ьп галя У= гап1с[В АВ ... А" 'В'1= гб нелинейная функция ср(п, 1) удовлетворяет условию ед(0,1) =О, птп(п~~р(п.1) Ч1) 1а. (8.47) (8.48) Линейный объект. Функция уа(п,г) = и удовлетворяет последнему условию (8.48). Следовательно, стабилизирующий закон управления объекта (8.46) будет стабилизирующим законом управления и для объекта, который описывается линейным уравнением х = Ах+ В», х Е В", и Е В", 1) О.
(8.49) Поэтому сначала найдем стабилизирующие законы управления для более простого объекта (8.49), а затем вернемся к исходному объекту (8.46). В случае объекта (8.49) н(х, 1) = Ах, и уравнение (8.45) принимадр Л дУ т сдУ т дУ дх — (Ах+ В1) — — — ВВт ( — ) + — =— 2 дх (,дх1 д1 Если принять Л = сопз1, .ю =х~Ях, 1= Вх, то последнему уравнению будет удовлетворять квадратичная форма 'г' = х Гх. Пействительно, так как — =О, д1 то оно принимает внд 2хтГ(А+ ВВ)х 2ЛхтГВВтГх + хтб)х = О. — =2х Г др т дх Преобразуя первое слагаемое в соответствии с тождеством 2хтСх = хт(С+ Ст)х, последнее равенство можно представить в виде хт((ГА+ ГВВ) + (ГА+ ГВВ)т 2ЛГВВтГ+ Ях = О.
8.3.3. Синтез стабилизирующего закона управления при линейном относительно состояния уравнении объекта. Чтобы воспользоваться алгоритмом управления (8.44), необходимо задать одну из двух положительно определенных функций, ю(х, 1) или )с(х, 1), а вторую определить исходя из уравнения (8.45). Однако в общем случае, когда объект описывается уравнением (8.34а), каких-либо рекомендаций по выбору этих функций нет.
Задача синтеза намного упрощается, когда управляемая система описывается линейным относительно вектора состояния уравнением о.оц Синевеэ сисгаем, основанный на мензоое фунниий Ляпунова 267 ГА+ АтГ 2ЛГВВтГ+ Ц 0 (8.52б) Нелинейный объемтп. Закон управления (8.52), стабилизирующий линейный объект (8.49), является стабилизирующим законом управления, и для нелинейного объекта (8А6) х = Ах+ Все(п,1), х Е Вн, п Е К", т. е, замкнутая система (8.46), (8.52) асимптотически устойчива. Чтобы доказать это, достаточно показать., что положительно определенная квадратичная форма 1' = х Гх является функцией Ляпунова для системы (8.46), (8.52), удовлетворяющей теореме об асимптотической устойчивости. Производная по времени этой квадратичной формы в силу уравнения (8.46) имеет вид = 2х Г[Ах+ Все(п,1)) = х (ГА+ А Г)х+ 2х ГВу.
Прибавив и вычтя хт2ЛГВВтГх, получим )г = хт(ГА+ Атà — 2ЛГВВтГ+ 2ЛГВВтГ)х+ 2хтГВу. Используя (8.52б), это соотношение можно преобразовать к виду 1У = хт( — Я+ 2ЛГВВтГ)х+ 2хтГВуо или 1У = — х~Ях + — ( — ЛВтГх) ( — ЛВтГх — во). Л Отсюда, учитывая закон управления (8.52а), получаем = — х Ях+ — (п п — п уо). т 2 т т Л (8. 53) В силу условия (8.48) второе слагаемое в правой части является неположительным.
Следовательно, производная г' является отрицательно опрсцеленной функцией. Это равенство будет выполнено тождественно, если имеет место равенство ГА+ ГВВ+ (ГА+ ГВ1,)т 2ЛГВВтГ+ Я 0 (8 50 Если пара (А, В) вполне управляема и Л > О, то это матричное уравнение разрешимо, и его решением будет положительно определенная матрица Г. Закон управления (8.44) при выборе функции Ь(х,1) в соответствии с (8.42) принимает вид п = ( — ЛВ Г + РВтГ + В)х. (8.51) Здесь Р произвольная кососимметрическая матрица.
Прн 1= О, р = 0 закон управления (8.51) и уравнение (8.50) принимают вид п = — ЛВтГх, (8.52а) 268 Гж 8. Методы сингиеэа систем управления Решение. В нормальной форме уравнение объекта принимает хг = хг, хг = Ь(1 + е )и. вид В данном случае имеем (см. (8.46)) А=, В=, аг=(1+с "')и. Функции г(г удовлетворяет условию (8.48).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
