Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В данной задаче левый конец х(ео) фиксирован (т.е. положение и скорость ЛА в момент го заданы), правый колец х(гу) пе фиксировал; в конечный момент 11 положение ЛА на вертикальной плоскости задано, на его скорость никаких ограничений не наложено. Задача 2 оптимального управления отличается от задачи 1 только условием на правом конце траектории.
В задаче 1 каждое из множеств Хо и Ху состоит из одной точки, а в задаче 2 множество Хо состоит из одной точки, а множество Ху из точек двухмерной плоскости фазового пространства, определяемой уравнениями х1 = У У Х1)Х2 Х2' Задача 3 (перевод ЛА на максимальную дальность). В данном случае важно учесть конечность реактивной массы, так как дальность Отношение реактивной силы к массе ЛА принимается за управление. Траектория ЛА не должна пересекать земнукв поверхность. Поэтому должно выполнятся ограничение на фазовый вектор хг >О. (9.7) Теперь рассмотрим различные постановки задачи, связанные с ЛА. Задача 1 (вывод ЛА в заданную точку фазового пространства за минимальное время). Пусть реактивная сила ограничена: ~р~ < р Требуется вывести ЛА из фиксированной начальной точки х(го) = хо в фиксированную конечную точку х(1у) = х1 за минимальное время.
Эта задача является задачей оптимального управления с уравнением объекта (9.5), (9.6), фазовым ограничением (9.7), ограничением на управление уд, Общие положения и постановки задачи 281 полета зависит прежде всего от количества реактивной массы (топ- лива). В силу того,что )ц( = )р(/пь = ((т! )зе!)//т, конечность топлива накладывает на управление следующее ограничение: / / )п(де = Вы Вд = )и/)1п ( — о).
(9.9) /о Здесь то = т(1о) и т/ = т(Ц). Ограничение такого типа называется изопериметрическим. Конечный момент 11 определяется из условия хг(11) = О (высота равна нулю). Задача перевода ЛА на максимальную дальность формулируется следующим образом: при заданном уравнении объекта (9.5), (9.6), фазовом ограничении (9./) и краевых условиях х(1о) = х / лз(11) = О определить управление, при котором функционал д = — л/(11) принимает минимальное значение.
В этом случае множество Хо состоит из одной точки, а множество Х/ . из точек многообразия, определяемого уравнением хг = О. Зад ач а 4 (вывод ЛА на максимальную высоту). В данном случае также важно учитывать ограниченность топлива. Кроме того, конечный момент 11 определяется условием лл(11) = О (вертикальная составляк>щая скорости равна нулю). Задача оптимального управления формулируется точно так же, как и задача 3, но при краевых условиях х(ео) = х, л4(11) = О, и критерий оптимальности д = — иг(11). Сделаем ряд общих замечаний.
Естественно, реактивная масса всегда ограничена, но тем не менее это ограничение не учитывалось при формулировке задач 1 и 2. Принималось, что топлива достаточно для достижения целей, рассматриваемых в этих задачах. При формулировке задач 3 и 4 считалось несущественным и не учитывалось ограничение на величину управления, хотя оно всегда имеет место. В то же время в задачах 1 и 2 его нельзя не учитывать, так как это привело бы к нереализуемому оптимальному управлению ц*(1): при 脄— / оо максимальное значение (ц'(4)~ стремилось бы к бесконечности, а критерий оптимальности,7 -о О.
Точно так же нельзя не учитывать ограничение на топливо при формулировке задач 3 и 4, так как в противном случае, как это ясно из физических соображений, существует бесчисленное множество управлений, при которых д = 2. Задачи оптимального управления двигателем. Уравнение двигателя постоянного тока можно записать в виде 1/р = 1„неФ вЂ” М„ где 1 —. момент инерции вращающейся части двигателя, у/ —.— угол поворота вала двигателя, 1„ ток в якорной цепи, ке конструктивная постоянная, Ф --.магнитный поток, АХс ---момент сопротив- 282 Гл. у. Методы теории опгпимальноео управления пения. Используя обозначения Ь = 1ефт(1, = 'Р, Лз —— уо, и = 1оп и, = Ме,11, приведонное выше уравнение двигателя можно записать в нормальной форме: 21=У2, 22=5и — ис или в векторной форме: х = Ах + Ви + сь (9.10) х=, А=, В=, Ч= . (911) Здесь для получения простой модели объекта, которая дальше часто используется, за управление принимается ток в якорной цепи.
Задача 5 (поворот двигателя на заданный угол без остановки за минимальное время). Сила тока в якорной цепи ограничена. Поэтому на управление накладывается ограничение ~п~ ( иоп Задача оптимального управления формулируется следующим образом: при заданных уравнении объекта (9.10), (9.11), ограничении на управление ~ц~ ( и , краевых условиях х(га) = х, т1(се) = х, (9.12) найти управление, при котором функционал Х = 17 — со принимает минимальное значение. Здесь я~ заданный угол, на который нужно повернуть вал двигателя.
На угловую скорость в конечный момент никаких ограничений не накладывается. Задач а 6 (поворот вала двигателя на заданный угол с остановкой за минимальное время). Задача оптимального управления формулируется точно так же, как и задача 5, но при краевых условиях х(еи) = х, т1(еу) = х~; хз(17) = 0 (9.13) Задача 7 (поворот вала двигателя на заданный угол за время Т при минимальном расходе энергии). Энергия пропорциональна интегралу от квадрата управления (силы тока).
Так как постоянный множитель перед функционалом не влияет на решение вариационной задачи, за критерий оптимальности примем интеграл ,У = / и с11, где 1о, 17 †. фиксированы и 1у — 1а = Т. Ограничения на управление нс накладываются. Краевые условия совпадают: а) с условием (9.12), если после поворота вала двигателя на заданный угол его не нужно останавливать; б) с условием (9.13), если после поворота вала двигателя на заданный угол его нужно остановить.
о. П Общие по,ложення н постановки задача 283 9.1.3. Классификация задач оптимального управления и их преобразования. 1. По виду ограничений оптимального управления различают; а) задачу классического типа, когда ограничения задаются в виде равенств уоь(х, и, 1) = О, й = 1, 2,..., ш; б) задачу неклассического типа, когда среди ограничений имеются ограничения в виде неравенств уоь(х, и, 1) < О, к = 1, 2,..., т.
(9.14) К классическому типу относятся также задачи с ограничениями вида ~(нт„(х,и.,с)сМ = Ьу, 1 =1,2,...,5 (9.15) со Такие ограничения называют взопервмегпрнчсскимп ограничениями, а вариационные задачи с такими ограничениями называют взопериметрическими задачами. Введением дополнительных переменных от изопсриметрических ограничений всегда можно избавиться. Достаточно вместо изопериметрических ограничений (9.15) в условие задачи ввести следующие уравнения и краевые условия: й„ьо — — 7ооо(х,и,с); хн,л(со) = О, тово у) = 5;, з = 1,2,...,1.
Формально задачи неклассического типа введением дополнительных переменных можно преобразовать к задачам классического типа. Действительно, ограничения (9.14) можно заменить ограничениями вида соь(х,и,с) + п„гя — — О, л = 1,2,...,гп. Задачи оптимального управления неклассического типа могут иметь ограничения вида О /~нт,(х, и,1) сй ( С„в = 1,2,...,р. со Введением дополнительных переменных зги ограничения могут быть заменены соотношениями й„, = („то(х,и,1); я„,о(бо) = О, хп„л(17) ( С„в =1,2,...,р.
Как нетрудно заметить, при преобразованиях изопериметрических ограничений вводимые дополнительные переменные представляют собой фазовые координаты, а при преобразованиях неизоперимотрических ограничений вводимые переменные играют роль дополнительных координат векторного управления. Среди рассмотренных выше задач задачами оптимального управления классического типа являются задачи 3, 4 и 7, неклассического типа — - задачи 1, 2, 5 и 6.
284 Гл. д. Методы теории оптимального управления 2. По виду краевых условий различают: а) задачи с фиксированными (закрепленными) концами, когда каждое из множеств Хо и Ху состоит из одной точки (все фазовые координаты в начальный и конечный моменты заданы, т.е. фиксированы); б) задачи с подвижным правым концом (когда Ху состоит более чем из одной точки), с подвижным левым концом (Хо состоит более чем из одной точки), с подвижными концами (оба конца подвижны). Среди рассмотренных выше задач задачами с фиксированными концами являкьтся задачи 1, 6 и 7, б), с подвижным правым концом задачи 2, 3, 4, 5 и 7, а).
3. По времени начала и окончания процесса различают; а) задачи с фиксированным временем, когда начальный 1о и конечный 17 моменты фиксированы: б) задачи с нефиксированным временем, когда хотя бы один из моментов времени 1о или 17 не фиксирован. Среди рассмотренных выше задач только задача 7 является задачей с фиксированным временем. Все остальные задачи являются задачами с нефиксированным временем. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
