Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 52
Текст из файла (страница 52)
в", ) — З-ю,"~ иеп СО т=-1 (9.36а) (9.366) Естественно, задачи (9.35) и (9.36), как и исходная задача, рассматриваются в классе допустимых функций, причем функция 15(1) называется допустимой, если она, как и х(1), принадлежит к классу кусочно гладких функций. хЯГо) = х,, х,(11) = х~, 1 = 1,2,...,п. (9.356) Функционал д максимизируется, хотя функционал д в исходной задаче требуется минимизировать, так как множитель фо при Д в неособом случае принимается отрицательным (фо = — 1). В особом случае 1вдо = 0) функционал Х не зависит от,7.
Пусть тройка (х'1е),п*1е),вр*(е)) есть решение задачи (9.3ое). Задача (9.35) равносильна следующим двум задачам: 299 длй Принцип максимума Понтрягина Задача (9.36а) является простейшей задачей вариационного исчисления. Для нее необходимое условия максимума (уравнения Эйлера) (9.25) принимает вид ф,= — —, 1=1,2,...,п; дН (9.37а) дх,' дН дф,' (9.376) В задаче (9.366), очевидно, интеграл примет максимальное значение при таком управлении, при котором подынтегральное выражение как функция от управления и примет максимальное значение. Следовательно, управление п*(1) будет решением задачи (9.36б), если оно доставляет максимум гамильтониану, или осли всюду на интервале [1о,11), кроме точек разрыва и'(1), будет выполнено равенство шахН(х*,п, уз, 1) = Н(х',п*,уз",1).
(9.38) Необходимое условие (9.37) совместно с соотношением (9.38) образует необходимые условия оптимальности исходной задачи (9.33), называемые принципом максимума или принципом максимума Понтрягина. Уравнения (9.376) совпадают с уравнениями объекта, и поэтому их можно не рассматривать. Уравнения (9.37а) называют сопряженными уравнениями или сопряженной системой. Принцип максимума (при закрепленных концах и фиксированном времени). Пля того чтобы допустимая для задача (9.33) пара (х*(1), п*(1)) была ее решением, необходимо, чтобы существовали такие не обращающиеся одновременно в нуль константа боо < О и регаение о1о' = (уоз...
оУ,",)т сопряженной системы (9.37а) при х = х'(1) и и = п'(1), что при любом 1 6 [1о,11[, кроме точек разрыва п*(1), функцияН(п) = Н(х*, и, ор*, 1) при и = п*(1) достигает максимума, т. е. выполняется соотношение (9.38). 9.3.2. Задача с подвижными концами и нефиксированным временем. Рассмотрим задачу Больца х, = 1,(х,п,1), 1 = 1,2,... опо и 6 Г С Н"; (9.39а) дз[х(1о)ох(11),1о,11) = О, у = 1,2,...,9 < 2п+2; О 1 = до[х(1о), х(11), 1о,11[+ ~~о(хо и, 1) И -з шш.
(9.39в) оо Используя прием Лагранжа, эту задачу можно свести к следующей простейшей вариационной задаче; О я Х= о о 1 (я — г 'ого) Ф оо ю=1 300 Гл. У. Методы теории опгаимального управления где в п С = ~~~ и у, ио = 'фо, Н = ~ ~ф1Уи 1=О ~=о Далыпе, как и в случае задачи с закрепленными концами, последняя задача разбивается на две, и получаются необходимые условия в форме принципа максимума.
Допустимая пара (ц(1),х(1)) для задачи (9.39) определяется так же, как и для задачи (9.33). Принцип максимума (при подвижных концах и нефиксированном времени). Юля тово чтобы допустимая для задачи (9.39) пара (х*(1), ц*(1)) была ее решением, необходимо: 1) существование таких не обращающихся одновременно в нуль константы узв < 0 и решения зр = (уз1...1ь,*,) соп11ялсенной ситпе1- мы (9.37а) при х = х*(1) и и = ц*(1), что при любом 1 Е (1о,17), кроме точек разрыва п*(1), у1ункиия Н(ц) = Н(х*, ц, уэ",1) ори ц = п*(1) достигает максимума, и,. е.
выполняется соотно1аение (9.38) шах Н(х", ц, у1",1) = Н(х*, ц",2Р,1); ыЕц 2) вьтолнение условия трансверсальности (9.32): 4,(1о) = —, ф1(17) =, 1=1,2,...,п: дС дС Н = —, Н 1=-12 деь ' 1=11 д21 Рассмотрим, какова связь между принципом максимума и методом множителей Лагранжа. Как отмечалось, функция Понтрягина отличается от гамильтониана, рассматриваемого в методе множителей Лагранжа, тем, что в нее не включено ограничение на управление. Сопряженные уравнения (9.37а) совпадают с уравнениями Эйлера- Лагранжа (9.27а), если отсутствует фазовое ограничение: функция 721, определяющая ограничение на управление, не зависит от фазовых координат. Но они не включают условия стационарности гамильтониана (уравнения (9.27б) ) .
Их заменяет условие максимума (9.38) . Если ограничение на управление задается в виде равенств, то, используя метод неопределенных множителей Лагранжа нахождения экстремума функции, из (9.38) получим недостающие уравнения Эйлера-Лагранжа. П р и мер 9.4. Определить оптимальное управление в следующей задаче оптимального управления: Г1 Х2 Х2 (и) < а, д = — х1(10) ь шш х1(0) = хз(0) = О, хз(10) = 0 Решение.
Функция Понтрягина и сопряженные уравнения имеют вид Н = ф122 + у12и; дН дН вЂ” =О, 9Л. Правика максимума Поктпрягака Терминант и условия трансверсальности имеют вид С = подо = хд <10), удд <10) = — = -1. дС дхдС10) 501 Решив сопряженные уравнения и учитывая условия трансверсальности, находим д)дд = — 1, Фг = Сг — С. В условии днах Н =дСдхг+ шахудги максимум достигается, когда )и)<а (и)<а управление принимает граничйые значения и его знак совпадает со знаком функции удг, т.е.
при и = азд5пдддг. Так как знак линейной функции может измениться только один раз, то оптимальным может быть управление и ~ ~ ~ ~ ! ~ | | | ~ ! а, 0 < С <Сд, — а, Сд <С<10, или — а, 0<С<Сд, а, Сд ( С ( 10, где Сд момент изменения знака функции удг. В частности, если Сд — — 10, то это значит, что функция удг на интервале <О, 10) не меняет знака, и управление не переключается.
Выбор из двух управлений можно сделать исходя из того, какое из этих управлений обеспечивает выполнение граничных условий. Но в данном примере этот выбор можно сделать на оснований физических соображений. По условию задачи нужно повернуть вал двигателя на максимальный угол и остановить его за заданное время. Поэтому оптимальным может быть только первое из двух приведенных управлений. Остается определить только момент Сд переключения управления. Проинтегрируем уравнения объекта при первом управлении с учетом на дальных условий: х 2 ~ ~ ~ ~ ! | | | ~ ! аС, 0 < С <Сд, Сг — аС, Сд <1<10. Исдюльзуя непрерывность хгдС), т.
е. равенство адд — — Сг — адд, находим Сг = 2адд. Поэтому последнее соотношение можно записать в виде х г ~~ ~ ~ ! | | ~ | аС, 0<С<Сд., а<2Сд — С), Сд ( С ( 10. Из краевого условия на правом конце траектории имеем ха<10) = = а<2Сд — 10) = О. Отсюда для момента переключения находим Сд = 5.
Таким образом, оптимальное управление имеет вид и и ~~ ~ ~ ~ | | | ! а, 0<С<5, — а, 5<С(10. 302 Гл. у. Методы теории вптаималвного управлении 9.3.3. Задача максимального быстродействия. Теорема об п интервалах. Рассмотрим задачу максимального быстродействия, когда объект является линейным: йе=~аееае+ ~~Ь; и, 1=1,2,...,п; в=1 1=1 19.40а) о, <и, <Д,, о, <О, Я )О, у'=1 2,...,г; (9406) т,(1о) = ты яе(,1у) = О, е', =1,2,...,п; У = 1е — 1о — 'е пнп.
(9.40в) (9.40г) Эта задача называется линейной задачей максимального быспь родействия. В векторной форме уравнения объекта принимают вид х = Ах+ Вп. Предполагается, что эти уравнения являются уравнениями в отклонениях и поэтому конечное состояние, в которое нужно перевести объект, есть начало координат (х(еу) = 0). Функция Понтрягина имеет вид в, в в=в (А ее )=е е~Е,* ее ые я=1 з.=з где е)е = 1еуз уэг... еу„) подчиняется сопряженному уравнению т т дО Ь дх Согласно принципу максимума оптимальное управление опрсцеляется из условия п л и п1ахЕХ = ~~ еЬ, ~~~ а тая+евах~~ еЬ, ~~ Ь„.и, ~=-1 я=1 или где ее=1п: о, <и.
<Д„у =1,2,...,г). Если выполняется так называемое условие нормальности (см. нии же), то сумма 2,' Ь,ф, обращается в нуль только в изолированных ~=1 точках. В этом случае из последнего тождества следует, что координаты и'. Ц = 1,...,г) оптимального управления и'(е) кусочно 9.3.
Приниип максимума Поньпрягина постоянны и принимают крайние значения оу или гььч ~ь,,ф, <о, ь=ь ~ ьбф,>о, у = 1,2,...,г. В частном случае, когда )3 = — о з имеем и* = Да!яп~ Ьбьь„у' = 1,2,...,г. Для линейных задач максимального быстродействия при выполнении так называемого условия нормальности принцип максимума является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности.
Лля определения этого понятия введем в рассмотрение (гь х и)-матрицы ьУ~Я = ьВ' (АВ)1 ... (А"' 'ВЯ, где Вь, (АВ)1,..., (А" !В)2 ь'-е столбцы матриц В, АВ,..., А" !В соответственно. Условие нормальности. Говоря!в, что для объекта х = = Ах+ Вп выполнено условие нормальности или условие обо!нос; ти положения, если матрииьь ьь'Я невььрождены: де!!У!Я р- '0 О = = 1, 2,..., г) [12, 39]. Очевидно, в случае скалярного управления условие нормальности совпадает с условием управляемости. Так как линейный объект всегда может быть представлен в приведенном выше нормальной форме, то о выполнимости или невыполнимости условия нормальности можно говорить для любой линейной стационарной системы. Объект, для которого выполнено условие нормальности, будем называть нормальным обьентом или нормальной управляемой системой.
Согласно утверждению 1.2 одномерная управляемая система, описываемая уравнением Ь.р™ -Ь Ь,р"-' м... + Ь,. у= '" и, аьр" М аьрм ' -Ь-... -Ь а или '!аоР'+а!Р' +... +ам)У = ЯоР" +Ь1Р" '+... +Ь„,)и, 0<т<п, где не все коэффициенты Ь, (ь = 0,1,...,т) равны нулю, вполне управляема. Следовательно, эта управляемая система является нормальной. Пример 9.5. Определить, выполнено ли условие нормальности для объекта йь — т2 + и1: 22 — и1 + и2. 304 Гл. 9.
Методы теории опгаимального управления Решение. В данном примере имеем А=, В=, АВ= Матрицы Я~Я имеют вид 0 1У~2) = 1 О и обе они навырождены. Следовательно, условие нормальности вы- полняется. Необходимое и достаточное условие оптимальности ~12). Если в линейной задаче максимального быстродействия объект является нормальным, то для того чтобы пара (ц'(1), х*(1)) была ее решением, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла принципу максимуми В оптимальном по быстродействию управлении линейным объектом функции и'.ф принимают только граничные значения при любых собственных значениях матрицы А, если объект является нормальным. В общем случае эти функции имеют произвольное число переклк>чений точек перехода из одного граничного значения на другое.
В частном случае справедлива следующая теорема ~12). Теорема об и интервалах. Если в линейной задаче максимального быстродействия объект являетася нормальным и характеристическое уравнение с1е1 (А — 1в) = 0 имеет только действительные корни., то компоненты оптимального управления и*(1) Ц = 1,2,...,г) кусочно постоянньц принимают только граничные значения и имеют не более и июасрвалов постоянспгва, или не более и — 1 переклю ~евай. Впервые теорему об и интервалах для объекта, который описывается уравнением вида авУ~п~+а,У~" О+ ., +а„У = Ьои (ао ~0, Ьо ~ 0), сформулировал и доказал А. А. Фельдбаум.
Как было отмечоно, условие нормальности для такого объекта всегда выполняется, поэтому для справедливости теоремы об и интервалах необходимо и достаточно, чтобы все корни его характеристического уравнения были действительными. Если характеристическое уравнение объекта имеет комплексные корни, то число переключений зависит от начальных условий. В каждом конкретном случае оно возрастает при удалении начальной точки от начала координат и может быть сколь угодно большим, но всегда конечным при любом начальном условии.
9.3. Принцип максимума Понтрягина 305 9.3.4. Вырожденные задачи. Методы классического вариационного исчисления и принцип максимума не всегда позволяют найти оптимальное управление. Существуют задачи, в которых необходимыо условия оптимальности, даваемые этими методами, выполняются тривиальным образом и им, помимо одного оптимального управления, удовлетворяет множество других управлений, среди которых могут быть как оптимальные, так и неоптимальные управления. Задачи такого типа называют вырожденными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
