Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Система с переменой структурой описывается уравнениями 276 Гл. 8, Мептоды синтпеза сисглем упраелеииа б. Управляемая система описывается уравнением у'+ ау+ 6(1+ сйп 1)и = О. Требуется определить стабилизирующие алгоритмы управления. 6. Управляемая система описывается уравнением у + ау + Ь(2+ зтп1+ е 2 )и = О. Определить стабилизирующие алгоритмы управления.
7. Управляемая система описывается уравнением — + 11 + зш 1) — + 11 + е ) — + у = и. д'У вЂ” с ду дсз дсг дг Найти алгоритм управления, при котором ошибка слежения е = У те) — у ® подчиняется уравнению 'е' + Зе + Зе + е = О. 8. Управляемая система описывается уравнением ~3 61, — У + (1 + зшг 1) — У -~- 11 -(- е т) у -~- Зу + е 21 = и.
дсз дег Найти алгоритм управления, при котором ошибка слежения е = у(с) — у* ф подчиняется уравнению 'е'+ Зе+ Зе+е = О. 9. Синтезировать алгоритм управления, при котором корни характеристического уравнения синтезированной линеаризованной обратной связьк> системы равны — 1 и — 2, для следующих систем: а) хт=хг, хг =хгт+и: б) хт=хг, х =хтз+2и; в) х1 — х2 + и х2 — х1. 2 10.
Синтезировать алгоритм управления, при котором корни характеристического уравнения синтезированной линеаризованной обратной связью системы равны — 1, — 2 и — 3, для следующей системы: хт = хг, тг = хт + и, хз = хт + 2хг. з 11. Пусть колебания двух связанных маятников описываются уравнениями Х1 22 Х2 а1Х1 + а2ХЗ + ~Р1ти1, т), ХЗ = Х4, Х4 = 112Х1 а1ХЗ + тргттгг т)' Методом декомпозиции определить стабилизирующий закон управления при условии иг — итутт ( О, 1 = 1., 2. 12.
Пусть колебания трех связанных меитников описываются уравнениями Х1 Х2 Х2 111Х1 + 112ХЗ 4 ~Р1ти1 с) Хз — Х4 Х4 — 112Х1 111ХЗ 4 112Х5 + ~ргтиг т) хе = хе хе = агам — атхе + 'рз1из;с); Методом декомпозиции определить стабилизирующий закон управления при условии иг — итут, ( О, 1 = 1, 2, 3, 4. Глава 9 МЕТОЛЫ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 9.1. Оопдие положения и постановка задачи В общем случае система автоматического управления состоит из объекта управления (управляемой системы) ОУ, регулятора Р и программатора (задан)щего устройства) П, вырабатывающего программу движения (задаюгцее воздействие) (рис. 9.1).
Здесь И обозначает совокупность внешней информации, которая поступает на программатор, у" -- возмущение. В П Р ОУ простейших случаях (система стабилизации, система программного управления, следящие системы) про- Рнс 9 Ь Общяя блок-схема снсграмматор представляет собой за- темы управления датчик, вырабатывающий постоянное воздействие или априори известную или неизвестную функцию времени. В более сложных случаях (системы самонаведения, системы управления автономными подвижными объектами) программатор определяет программу (траекторию) движения. Задача синтеза оптимальной системы управления состоит в том, чтобы синтезировать регулятор и программатор, которые в определенном смысле наилучшим образом реьпают поставленную задачу управления. В соответствии с этим рассматриваются две родственные задачи; синтез оптимального программатора и синтез оптимального регулятора. Математически эти задачи могут быть сформулированы единообразно и решаться одними и томи же методами.
По в то же время эти задачи имеют специфические особенности, которые делают целесообразным на определенном этапе их раздельное рассмотрение. Особенности обуславливаются тем, что решение первой задачи связано, как правило, с определением программного управления, а решение второй задачи с определением управления с обратной связью. Программнь м управлением называют управление в виде функции от времени, управлением с обратной связью управление в виде функции от фазовых координат.
Системы с оптимальным программатором называют отаимиль- ными по режиму управления, а системы с оптимальным регулято- 278 Гл. у. Методы теории опгаимального управления ром -- оптимальными по переходному режиму. Системы управления, оптимальныс по режиму управления и>>или по переходному режиму, называя>т отпимпльными системами управления. 9.1.1. Общая постановка задачи оптимального управления. Задача синтеза оптимальных систем управления относится к классу задач оптимального управления и формулируется как вариационная задача.
При этом кроме уравнения объекта управления должны быть заданы ограничения на управление и фазовый вектор, краевые (граничные) условия и критерий оптимальности. Пусть уравнение объекта задается в нормальной форме: (9.1) х = Г(х, и, 1), или в скалярной форме: т,;,=~,(х п,1),. >=1,2,...,п, где х = (х> хг ... х,)т - - фазовый вектор., ц = (и> иг ... и,)т --.
управление или вектор управления. На вектор управления и фазовый вектор могут быть наложены ограничения в виде конечных соотношений равенств и неравенств. Эти ограничения определяют допустимые множества значений, которые могут принимать эти вектора. Поэтому указанные ограничения в общем виде могут быть записаны в виде (9.2) пП) Е Ум хф Е Хь Здесь Ум Х, некоторые заданные множества, зависящие, вообще говоря, от времени, причем У> С Я> и Х> С П", т.е, с>, — подмножество г-мерного пространства, Х, подмножество 'и;мерного пространства.
В (9.2) первое соотношение называется ограничением на управление, второе соотношение ограничением на фазовый вгк>пор или фазовым ограничением. Ограничения на управление и фазовый вектор в (9.2) представлены отдельно, т. е. они разделены. Однако они могут быть и не разделены. Поэтому в общем случае эти ограничения записываются в виде (пП),х(1)) С 'гы 1'> С Вп+". Краевые >,граничные) условия - .
ограничения на фазовый вектор в начальный и конечный Ру моменты времени также могут быть представлены в виде включения (9.8) к~~о) Е Хо, х(1у) Е Ху, когда эти ограничения разделены, и в виде (х(1о)>х(1у)) Е Ъо> если они не разделены. Вектор х(го) называют лгвь>м, а вектор х(гу) правым концом траектории. 9. и Общие по,ложения и постановки задачи 279 Крпп1 ерий оптимальности, который является числовым пока зателем качества системы, задается в виде функционала (9.4) д = д(х(1в),х(11); п(1),х(1)).
Задача оптимального управления формулируется следующим образом: при заданных уравнении объекта (9.1), ограничениях на управление и фазовый вектор (9.2) и краевых условиях (9.3) определить такие программное управление п'ф или управление с обратной связью п'(х(1), 1) и фазовую траекторию х'(г), при которых критерий оптимальности (9.4) принимает минимальное (или максимальное) значение. Лальшс для определенности примем, что функционал (9.4) минимизируется. Задачу максимизации введением нового критерия д„= = — д всегда можно свести к задаче минимизации.
Управления п*(1) и п*(х(1),1) называются вптпмальнымп управлениями, траектория х'(1) оптимальной травкгпоривй. 9.1.2. Примеры постановки задач оптимального управления. 1. Задачи аптимааьнагв управления летательным аппарата н (ЛА). Рассмотрим упрощенное уравнение движения ЛА в вертикальной плоскости (рис. 9.2) и Р гпй = Р+ 11, или, в проекциях на горизонтальную С и вертикальнун1 и оси неподвижной системы координат, тз =р1+ 91, 1пу рг+ 92 Е где гп = ту + тр(1) -- масса ЛА:, тр(1) — реак- Рис. 9.2. К выводу тивная масса; и = (С 2))т скорость ЛА: р = УРвлненни ЛА = (рз рг) -.- реактивная сила; 11 = (Ч1 Чз) — — равнодействующая сила всех остальных сил (сила тяжести, сила. сопротивления воздуха и др.).
Реактивная сила имеет вид р = тзч, )ъв! = сопзз, где зв = (щ1 и12) - . относительная скорость отделяющихся частиц, Т ~зч~ = з/ю~ + в12 -- евклидова норма, ~т~ = ~тз,~ -- секундный расход реактивной массы. Введя обозначения *1 =6 тз =9, *з =6 тл =4), из =Р1(т, ив =Рг(т, Ч1 = Ч1!т~ Ч2 — Ч2/тз уравнения движения ЛА можно записать в нормальной форме: 22 л4 йз и1 + Ч1 94 и2 + Ч2 91 = тз, 280 Гл. у. Методы теории опгпимального управления или в векторном виде: (9.5) х = Ах + Вц + с1.
Здесь ОО1О обо оооо оооо о о о о о о о о Д1 Ч1 (9.6) Г2 хз х= ~П~ < ип„и„, = р„1лг, (9.8) краевыми условиями х(1о) = х, х(еу) = х1 и критерием оптимальности д = 1у — 1о. Здесь 1о начальный момент (будем его считать фиксированным, т.е. заданным); 11 — — конечный момент (момент достижения ЛА точки хг), который заранее не известен, т. е. является нефиксированным. Задач а 2 (вывод ЛА в заданную точку геометрического пространства за минимальное время). При ограничении на управление (9.8) требуется вывести ЛА из заданной точки х(1о) = хо фазового пространства в заданную точку (х1(1у), хг(еу)) = (х, х ) на вертикальной ,У плоскости «геометрического» пространства за минимальное время.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
