Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Примем А = 1(Г2 и матри- цы О и Г представим следующим образом: Ь) = О , Чг > О, Чг > Ог Г = Найдем произведения матриц, необходимые для записи соотноше- ний (8.52) ГА = А Г= ГВ = е'г = (е гф' " / = (ь Аг,), 1ВВ 1 ( (Ьу Ьуг) ~2 ~2 г Уравнение (8.52б) принимает вид 0 'у 7г 'у Ьг77г Ь 'угг 0 Чг В сквлярной форме оно звлисьтввется в виде -Ьгуг =-Чы 7à — Ьгууг = О, 2у — Ьгугг = -Чг. Чтобы матрица Г была положительно определенной, по критерию Сильвестра решение этой системы должно удовлетворять условию 7г > О, 7гуг — 7г > О. Таким Решением ЯвлЯетсЯ ГГЧГ 1 2 Я~ -Ь ЬЧг 2 Чг -(- ЬЧА УЧГ 7=: 7г=— Ь ' Ь Ь 71 Ь Закон управления (8.52а) принимает вид Ь 1 (с 2,/Чг + ЬЧг и = — — (7хг + 7гхг) = — — ~з/Чг хг + 2 2( Ь Пример 8.10.
Определить стабилизирующий закон управления для объекта х — Ь(1 + е е) и = О, Ь > О, о > О. ад. Синтез сисзием методом линеаризаиии обратной сеязью 269 8.4. Синтез систем методом линеаризации обратной связью Основная идея метода синтеза нелинейных систем, основанного на линеаризации обратной связью, состоит в том, чтобы преобразовать нелинейную систему в линейную алгебраическим способом и синтезировать систему, используя методы синтеза линейных систем.
Этот метод применялся при решении практических задач. В частности,. он был успешно исезользован при разработке систем управления вертолета, промышленных роботов, современных самолетов и биомедицинской аппаратуры (69]. Здесь мы на конкретном примере рассмотрим процедуру синтеза систем управления, основанную на линеаризации обратной связью. В качестве объекта управления примем двухзвенный робот (рис. 8.5). Уравнения такого робота в общем виде можно записать в виде А(с1)с1 -ь В(с1, с1)с) + С(с1) = и, (8.54) где с1 = (дз 4з)т - — вектор обобщенных координат (рис.
8.5); А(п), В(сь с1) (2 х 2)-матрицы, С(е4) (2 х 1)-матрица (вектор-столбец); и = (из из) вектор управлений. Матрица А(с1) является невырожденной (неособой). В качестве управлений иь ия обычно принимаются моменты вращения, разви- Рис. 8.5. Двухзвенный робот ваемые исполнительными двигателями. Рассмотрим задачу слежения задачу перемещения охвата по заданной траектории. Эта задача сводится к задаче изменения обобщенных координат по определенным законам; Ч = с1'(1) = (о1(1) о2(1))т.
Произведем преобразование обратной связью и = В(с1, п)с) + С(с1) + А(с1)ч, (8. 55) где ч = (ис из)т — -- новый векторуправления. Так как матрица А(с1) является невырожденной, то, подставив последнее выражение для управления в уравнение (8.54), получим Чтобы найти алгоритм управления для полученной линейной системы, обеспечивающий изменение обобщенных координат по заданному закону «1 = с1*(й), воспользуемся методом обратной задачи динамики. Лля этого зададимся следующим эталонным (желаемым) 270 Гл. 8, Методы евнтпезо еиетием управления уравнением для ошибки слежения е = Ч(1) — Ч*11)1 е+ ае+)те (ст, )т' > О). Отсюда имеем Ч = Ч' — МЧ вЂ” Ч') + ~4(Ч вЂ” Ч*). Подставив это выражение в (8.56), получим ч = Ч' — ст(Ч вЂ” Ч*) + 13(Ч вЂ” с1*).
Отсюда и из соотношения (8.55) находим и = В(Ч, Ч) Ч+ О(Ч) + А(Ч) 1Ч' — о СЧ вЂ” Ч*) — 11(Ч вЂ” Ч')] Обычно алгоритм управления, который получается методом линеаризации обратной связью, является довольно сложным, и его реализация требует большого объема информации. И это естествонно, так как высококачественное управление требует максимального использования информации об объекте. Однако необходимая информация об объекте может отсутствовать. В этом случае потребуется использование принципа адаптивного управления. 8.5.
Синтез стабилизирукнцих законов управления методом декомпозиции Рассмотрим задачу синтеза стабилизирующих законов управления для управляемой системы, которую можно представить в виде т взаимосвязанных подсистом хбб = Аьх'"'+ Вьу®(прб 1) + Ь'"'( "' х~цеНе п(ь>ест, й 12 г (8.57) Начало координат х = 0 является положением равновесия: тр1"т(0,1) = О, Ьт"т(0, О, ..., 0) = О.
(8.58а) Функции уттлт и Ьтьт удовлетворяют следующим условиям: (птьт)~пть1 — (прб)туттсе ( О, й = 1,2,...,г, (8.586) !Ь~ь~/ < ,'~ йь !хИ!, Ььт > О, й = 1,2,...,т, (8.58в) т=т тгй Для решения этой задачи воспользуемся методом декомпозиции. Этот метод состоит в том, что без учета взаимосвязей строятся законы управления для каждой независимой подсистемы, а затем исследуется устойчивость агрегированной синтезированной системы с учетом взаимосвзей, как это делалось в гл. 7.
8.5. Синтез етаабилизируюеииз законов управление 271 1 — "' - '-' '": (8.61б) дхм> где Лгв и Л," --- минимальные и максимальные собственные значения матриц Гзи Согласно формуле (8.53) имеем (х[ь))тц х[ь) + ((п~в))тп(ь~ (п[ь~)т~ррб)] Л. Учитывая условие (8.58б) и неравенства вида (8.61а) для квадратичной формы (хая~)~Яьх~~~, находим 00 тд 00 < 1езв~ в~2 где Л~" - минимальное собственное значение матрицы 1„1ь. Используя параметры, входящие в соотношения (8.58в) и (8.61), запишем выражения для элементов матрицы Р = (Н,з) (1, у' = 1, 2,..., т) (см (7.36)): Лон дьь = — —, й=1,2,...,т, (8.62а) 2Л' ' и (8.61в) 2(Л,,в) 2 (йю)з з=1 зтв к, з = 1,2,...,т, 1 фи.
(8.626) Лоа Л'„', Если отбросить слагаемые Ь~в~, то получим т независимых под- систем х1~~ = Аьх~~~ + Вур~~'(п~ь1,1)), л. = 1,2,...,т. (8.59) Эти подсистемы имеют такой же вид, что и система (8А6). Поэтому в качестве стабилизирующих законов управления можно использовать раннее полученные для этой управляемой системы стабилизирующие законы управления (8.52). В соответствии с этими законами управле- ния имеем т 09 иь = — ЛьВь Гях ', й = 1,2,...,т, (8.60а) ГгАь + АтГь 2ЛгГгВьВьтГг + 1)ь 0 й 1 2 т (8 606) где Ль произвольные положительные числа, (~ь произвольные положительно определенные матрицы, Гь .—. положительно опреде- ленные матрицы, являющиеся решениями уравнений (8.60б). Теперь нужно исследовать устойчивость агрегированной замкнутой систе- мы (8.
57), (8.60) и при необходимости изменить некоторые параметры, которые можно варьировать. Для замкнутых систем (8.59), (8.60) квадратичные формы тть =( ОО)~Г„(е) й =1,2,...,, являются функциями Ляпунова. В соответствии с теоремой 7.3а эти формы удовлетворяют условиям (см. (7.21а) и (7.21в)) Лгв )х~ь) )з < И. < Лгв (х~ь~)з ь = 1 2 ..., т, (8.61а) 272 Га. 8. Методы синсиева систем уиуаввениа Рис. 8.6. Система из четырех маятников Согласно критерию Севастьянова Котелянского, для того чтобы система (8.57), (8.60) была асимптотически устойчива, достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства (см. (7.39)): С«11 С«12 " 1«11 «1.
= (-1)1 2' 22 ''' 21 > О, ~ = 1,2,....,7. (8.63) В качестве примера рассмотрим задачу о демпфировании четырех маятников, связанных между собой пружиной (рис. 8.6). П р и м е р 8. 11. Колебания системы из четырех маятников при определенных допущениях могут быть описаны уравнениями (59) х1 х2: х2 и1х1 4 712 сз 4 ~Р1(и1 «) хз = х4, х4 = и2х1 — и1хз + а2хе + Р2(и2,«), Х5 — Х6 16 — 112 ХЗ П1Х5 + азХ7 + 773 (иЗ «) 27 — х8 18 — 712х5 а1 57 + 1Р4(и4 «) где х1, хз, хе; х7 углы отклонения маятников, функции 1Р,(ио«) (1 = 1,2,3,4) удовлетворяют условиям 1Р (О, «) = 0 Ч «> О, и; — и 1Р; ( О, 1 = 1 2 3 4.
Требуется определить стабилизирующие законы управления, т.е. законы управления, обеспечивающие гашение колебаний данной системы. Ре1пение. Ленную систему естественно рассматривать как систему, состоящую из четырех подсистем, которые описываются уравнениями «1«1 00 + В 00 ( 60 «) + 1 00( «11 «ы-11 (й-511 «45) «с = 1,2,3,4, где хОО = х1, х«г) хз хбб = х, х«41 8.5. Синтез стабилизирующих законов унравленин 273 ! Вг = (~, 1р1 О = угь(игэ1), Ь = 1,2,3,4, — а1 0~' [,1Е)' 4 141я1 = ~ Нях1о, Ь = 1, 2,3, 4, 1 — -1 1Ф1 (о о) Нг-— ~ ~, Нз — — О, Н4 =О, (аг 01 ' Н2 Н2 Н1 0 Н2 (о о ~(аг 0 вЯ =в,.
в,'= ~ Н,=О, Н,=О, Н,= 4 , ГО О) (аг 0~ На основании свойства нормы матрицы (см. (7.31)) ))Ах8 < < ()АО !)х(! можем записать 4 ~Ь ~<ЕПН,'П~-Я~ Согласно соотношениям (8.60) имеем иь = — Л1В~1Гях1~1, Ь = 1,2,3,4, Г1А1+А~Г1 — 2 Л1Г1ВяВ21Гв+ 91 = О, Ь = 1,2,3,4. 18 Д.П. Ким В последнем соотношении нормы матриц и векторов являются евклидовыми. В соответствии с принятыми в условии (8.58в) обозначениями Ьы = '8Н~О. Согласно утверждению 7.1 евклидова норма матрицы А равна 4СЛЫ, гдв ЛМ макСимальнОЕ СОбетвЕннОЕ ЗначЕ- ние произведения АтА. Поэтому чтобы определить 8Ньу', вычислим произведения соответствующих матриц: (Нг) Нг = (Н1) Н1 = (Нз) Нз = (Нг) Нг = (Н4) Н4 = (Н4 тН4 а2 а2 Пля выписанных произведений матриц максимальные собственные значения равны Лм = агг, а для остальных произведений (НУ) ~НУ рашпл пулю.
Поэтому имеом Ь12 — ((1Е28 = аг, Ь1з = нНзн = О., Ь21 = ~~Н1 ~~ = аю Ьгз = 1!Нз~! = аг, Ьзг = ((Н~1)( = О, Ьзг = ~!Н2~~1 = аг, Ь41: нН1~н — 0 Ь42 нН2 н: О. 274 Гас 8. Методы синтеза систем управления Положим Оу,>4,>О)., Г,= ~ ~Ч1 О) 71 7 ~О 7 72 Подставив эти выражения и выражения для А1 и Вь в последние уравнения, получим — 7а1 71 — 7а1 — а17г 7 772 411 О В скалярной форме это уравнение принимает вид — 2 уа1 — уг + су1 = О, у1 — а1 уз — ууг = О, 27 — -угг+чг = О. Чтобы матрица Гь была положительно определенной, решение должно удовлетворять критерию Сильвестра 71 > О, 7172 — 72 > О.
Этому условию удовлетворяет следующее решение: 7= а1+Ц~~+Ы: 72= 2 71 = 1у а1+ Ч1 2 Согласно приведенным выше формулам для управлений имеем 1 1 и1 17х1 + 722:2), и2 = — (7хз + 72х4), 2 2 1 из 17ха + 72хв) и4 (7хг + 7228). 2 ' 2 Пля определения устойчивости агрегированной системы нужно вычислить элементы матрицы 12 = 11111) 11', й = 1, 2, 3, 4). А для этого необходимо знать минимальное собственное значение матриц Я1 и минимальное и максимальное собственные значения матрицы Гы Так как 111 > суг, то минимальное собственное значение для всех мат- риц 471 равно Л~~' = суг.
Положив Лг' = 7,„и Лг,' = 7м, по форму- лам (8.62) находим (см. теорему 7.3а) 1111 = — и, й = 1,2,3,4, 2'уее ' 427» 427 2 яг у чг7 По критерию Севастьянова Котелянского агрегированная система будет устойчива, если будут выполнены неравенства Ь, =-д„>О, Ьг= д д >О, а11 н12 21 22 273 Задачи с111 сс12 с113 сс14 А1 асгг Аз А4 сс31 1132 ссзз сс34 а41 сс42 с143 сс44 Сс11 4421 Сс31 Сс12 Сс13 ссгг асгз > О, с-44 = 1132 ссзз 13 =— > о. Чтобы исследовать устойчивость агрегированной системы, нужно выбрать параметры д1 и 472, вычислить элементы матриц Гс,, найти минимальное и максимальное собственные значения этих матриц. После этого можно определить элементы матрицы Р и проверить устойчивость. Задачи 1.
Управляемая система описывается уравнением у -~- ау + у = и. Определить закон управления, при котором ошибка слежения х = = у — у'ф за задающим воздействием у*ф подчиняется уравнению х+4х+4 = О. 21 — 32 12 — ХЗ~ ХЗ :318 > О, Г бе, 8 > О, ~ — а, х18< 0, " ) — бе, 8<0, 8 = С1Х1 + С2Х2 + ХЗ. Требуется определить параметры сс, с1 и сг, при которых система асимптотически устойчива и степ~ив устойчивости при скользящем режиме принимает максимальное значение. 4. Система с переменой структурой описывается уравнениями Х1 Х2 Х2 ХЗ ХЗ 24; 84 ао х18 > О. и = -фсхс — фгхг — сдзхз, с; =1,2,3, 1 — аь х18<0, 8 = С1Х1 + С2ХЗ + СЗТЗ + Х4 Определить параметры а; (с = 1,2), с.
О = 1,2,3), при кото- рых система асимптотически устойчива и степень устойчивости при скользящем движении принимает максимальное значение. 18" 2. Управляемая система описывается уравнением у+ ау+ уз + (2+ зш21)и = О. Определить закон управления, при котором изменение ошибки слежения х = у — у*ф за задающим движением у*ф описывается ФУнкщсси сС + С 1) — гс (С1, Сг постоянные интегрирования). 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
