Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 44
Текст из файла (страница 44)
8, Методы синтеза систем управлении Этот закон управления зависит от первых й фазовых координат лу (в' = 1, 2,..., и). Рассмотрим закон управления ь и = — ~ тух ( у = сопя$, 1 < й < и — 1). Попустим, что в этом законе выбраны такие коэффициенты у, что характеристическое уравнение системы (8.12) при таком законе управления имеет один произвольный корень Л, а остальные корни имеют отрицательную вещественную часть. Тогда, положив Ло = = с а1"0 и приравняв у коэффициенту при л в эквивалентном уп- равлении (8.29), с учетом условия (8.20в) получим 1 (стЬ) (с аП~ — (с абб)с ] = уь в' = 1,2,...,Й, с а01 — с (с а1п1) = О, в = й + 1,..., и, — 1, Л = ста~п1 Эту систему можно преобразовать к виду (ста01 — Ло<') = (ст1э)у 1 = 1 2 с а01 — с Л =О, 1=1+1,...,ге — 1, (8.30а) (8.30б) Л = с а1"1. (8.30в) Очевидно, если из этой системы определить постоянные с (у = = 1, 2,..., и, — Ц, то получим поверхность скольжения.
Итак, из изложенного выше вытекает следующий порядок синтеза асимптотически устойчивого скользящего движения. 1) На основе заданного уравнения объекта выбрать закон управь †ления и = — 2 у л„ при котором все корни характеристического у=з уравнения замкнутой системы, кроме одного, имеют отрицательную вещественную часть. 2) Решив систему уравнений (8.30), найти коэффициенты с (у = = 1,2,...,п — 1). 3) Постоянные о, и 111 (в' = 1, 2,..., й) в законе управления (8.19) установить такими, чтобы выполнялись соотношения (8.20а) и (8.20б) в условии скольжения.
Решение задачи первого этапа тем проще, чем больше и. Однако чем больше й, тем сложнее реализация закона управления (8.19). Сложность решения задачи первого этапа прн малых л обусловлена тем, что при выборе эквивалентного управления, кроме обеспечения требований к устойчивости и качеству скользящего движения, нужно позаботиться о том, чтобы система уравнений (8.30) была разрешима. Как отмечалось, при й = и — 1 на с (в' = 1, 2,..., п — 1) никаких ограничений не накладывается. Поэтому в этом случае при синтезе 8.2.
Синтез систем с переменной структурой 257 эквивалентного управления нужно исходить только из требований к устойчивости и качеству скользящего режима. Пример 8.5. СПС описывается уравнениями Х1 Х2 Х2 — ХЗ ХЗ вЂ” Х4; Х4 = и~ (о, Х13 > О, и = фх1 + дю У1 = 4 (Д, х13<0, где б„определяется соотношением (8.19б). Требуется установить, существует ли плоскость скольжения е = с1Х1 + сзХ2 + сзлз + Х4 = О, на которой скользящее движение является асимптотически устойчи- вым.
Х1 = Х2, Х2 = ХЗ~ ХЗ = Х4 Х4 = 1Х1 или О 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -у О О О х = Ах, Корнями характеристического уравнения ~А гЛ~ Л4 + О являются Л1,2 = +~/1( 2 +2 — ), Лз,4 = ~ъ'7( 2 — у 2 ) 122 . зс2, 122 . 112 Выбором у нельзя обеспечить требования, чтобы три корня имели отрицательную вещественную часть. Следовательно, не существует плоскости скольжения, по которой скользящее движение бьзло асимптотически устойчиво.
П р и м е р 8.6. СПС описывается уравнениями Х1 Х2~ Х2 ХЗ~ ХЗ Ъ (о, Х13>0, и = фх1+о„у1 = 4 ~(Д Х13 ( О, где би определяется соотношением (8.19б). Требуется установить, существует ли плоскость скольжения 3 = с1Х1 + сзХ2 + Хз = О, на которой скользящее движение является асимптотически устойчи- вым, и определить эту плоскость, если она существует. 17 Д.П. Ким Решение. В данном случае в качестве эквивалентного управления можно принять и = — ух1, и уравнение замкнутой системы принимает вид 258 Гл. 8, Методы синтеза систем управления Решение. В качестве эквивалентного управления принимаем и = — уим Уравнение замкнутой системы имеет вид Из =тз, 22=из, лз = — ул1, или 0 1 0 х=Ах, А= 0 0 1 -у О О Характеристическое уравнение )А 1Л~ Лз ,у 0 имеет корни (1 АЗ) Л, =-,з,, Ля,= У~(-'+ — ').
Г2 2/ Если е принимает отрицательное значение, то один вещественный корень будет положительным, два комплексно сопряженных корня будут иметь отрицательную вещественную часть. Так что в данном случае можно выбрать плоскость скольжения, на которой скользящее движение будет асимптотически устойчивым. Найдем эту плоскость.
Если уравнение объекта записать в векторной форме, то матрица А и вектор Ь имеют вид А= 0 0 1, Ь= 0 Система (8.30) принимает вид с (а01 — Ьу) — Лез=О. с абб — сзЛ =0 Л =с а11. Так как столбцы матрицы А имеют вид а1О = (О 0 0)т абб = (1 0 0)т а<з> = (О 1 0)т то из последних соотношений получаем — у — сеЛ~=О, сз — сзЛ =О, Л =сз. Отсюда находим Ло = — Щ, сз — — те'~~, сз — — — эзеу. Напомним, что коэффициент 1 должен быть отрицательным. Параметры ее и,Э должны удовлетворять неравенствам (см. (8,20а) и (8.20б)) ее ) — сзсз — — у и Д ( — сесе — — у.
Условия попадания. Если выполняются условия скольжения и скользящее движение асимптотически устойчиво, то для того чтобы система с переменной структурой была асимптотичсски устойчива, необходимо и достаточно, чтобы изображающая точка из произвольной точки фазового пространства попала на плоскость скольжения. Условия, при выполнении которых изображающая точка из произвольной точки попадает на плоскость скольжения, называются условиями попадания 156). 8.г. Синтез систем с переменной структурой 259 Пусть скользящее движение системы с переменной структурой (8.12), (8.19) асимптотически устойчиво. Так как на плоскости в = с х = 0 возникает скользящее движение, выполняются условия скольжения (8.20). Если изображакьщая точка не находится на плоскости переключения, то до попадания изображающей точки на эту плоскость знак функции переключения в = с х не изменяется, и функция о„ в законе управления (8.19) остается постоянной и принимает значение бо или — б.
Рассматриваемая СПС включает 2 ' линсйн ных структур, которые описываются уравнениями х = А~х ~ Ьбо, (8.31) где А~ (1 = 1,2,...,2") . матрицы, которые описывают структуры замкнутой системы, получающейся при подстановке управления (8.19) в уравнение объекта (8.12). При этом 1У, принимает определенные значения: се, или ))е. Каждая из структур определяется одной из матриц А~ (1 = 1, 2,... ..., 2ь), и ее движения описываются уравнением (8.31).
Фазовое пространство Л" разбивается на 2ь областей, в каждой из которых движение СПС описывается уравнением одной из структур. Область, в которой движение СПС описывается уравнением данной структуры, называют областью опрее)еленик этой структуры. Теорема 8.2 (достаточное условие попадания [бб]). Если выполняется условие скольжения (8.20), гпо для того чтобы иэображаюизая пьочка СПС (8.12), (8.19) попала на плоскость скольжения в = стх = 0 (си = 1), достаточно, чтобы вьтолнялось условие. стабб ( О (8.32) где абб — и-й столбец матрицы А. Доказательство. Производная по времени функции переключения в = стх в силу уравнений (8.12), (8.19) при подстановке л — ь то = в — 2 с~к пРинимает вид 1=! я в = (с а~"'0)в+ ~~ [с аб~ — сд(с а1"~) — (ссЬ)ф ]х + я=1 и — 1 + ~~, [г О~ с(т 00] (т1)б э=-ь-ь1 Допустим, что имеет место неравенство в(х(0)) > О.
Тогда до попадания изображающей точки на поверхность переключения в(х) > > О. И так как выполняются условия (8.20), (8.32) и в силу (8.19б) имеет место равенство (с~Ь)бо = ](сгЬ)бо], то производная отрицательна и удовлетворяет неравенству в ( -[(сгЬ)бо]. Следовательно, изображающая точка попадет на плоскость скольжения за конечное время.
Теорема доказана. 260 Гл. 8, Метаоды сивгаеза систем управленим Рассмотрим СПС, которая описывается уравнениями < х;=х~ы 1=1,...,п — 1, йь = — ~ а,х,; — и — з'(1), ~=1 (8.33а) / а,, х в > О, )( бо, ь > О, (А, х;,в <О, 1-бо, в <О. и= — ~~ фх,— б, ф,= ' '' ' б,= а=1 (8.336) Здесь Д1) возмущение. Приведем без доказательства достаточное условие попадания изображающей точки системы (8.33) на плоскость скольжения.
Теорема 83 [56). Если коэффициенты с, (1= 1,2,...ла — 1) функции переключения в = с х (с„= Ц положительны, то для того чпюбы изображаюицая точка попала на плоскость в = О, достаточно, чтобы характеристическое уравнение системы при ф; = сп (1 = 1,2,...,и — 1) не имело положительных вещественных корней и вьтолиялись условия сп > — а„Д, < — а„1 = 1, 2,..., и — 1. 8.3. Синтез систем, основанный на методе функций Ляпунова х = Г(х, п,1), х е Л", .и е В', называется вполне управляемой, если существует кусочно непрерывное управление и = п(1), переводящее систему нз произвольного начального состояния в произвольное конечное состояние за конечное время, и стабилизируемой, если существует закон управления и = = п(х,1),при котором замкнутая система х = 1(х,п(х, 1), 1) устойчива.
Управление и = п(х,у), которое обеспечивает устойчивость замкнутой системы, называют стабилизируюицим управлением. В гл. 1 были рассмотрены необходимые и достаточные условия управляемости и стабилизируемости линейных стационарных управляемых систем. Как отмечалось, одним из основных требований к системе управления является устойчивость. Поэтому задача синтеза закона управления, обеспечивающего устойчивость системы управления, .является очень важной.
В данном параграфе рассмотрим способы синтеза устойчивых систем с помощью функций Ляпунова. Напомним: управляемая система (объект) В.з. Синтез систем, основанный на менлоде функций Пвнунова 261 8.3.1. Синтез параметров регулятора. Рассмотрим сначала задачу синтеза системы управления, когда структура задана и требуется определить параметры, при которых она устойчива. Сделаем это на примере решения упрощенной задачи управления курсом самолета.
В упрощенном виде движение самолета по курсу (боковое движение) может быть описано следующими уравнениями [10)1 Тул+ ул = — ЬЬ, о = 1"(и), и = Малую+ й 2[л — 1316. Здесь ф курсовой угол самолета; д отклонение руля; и управление; Т, Ь фиксированные положительные постоянные, йи, й;„йз ". параметры регулятора: нелинейная функция Д(и) обладает следующими свойствами: У(0) = О, ф(ц)и > 0 при и ~ О. Пусть требуется определить множество значений параметров регулятора, при которых положение равновесия является асимптотически устойчивым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
