Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Другими словами, если система движется в подпространстве Л„, то она вполне наблкздаема. Отсюда и название подпространства Л„: подпространство наблюдаемости. Полностью невосстанавпиваемый вектор имеет вид х = со1 (О, х(г(). По канонической форме набпюдаемости можно судить о наблюдаемости управляемой системы: управляемая система вполне набпюдаема, осли в канонической форме наблюдаемости отсутствует вектор х(г(. У.б.
Наблюдаомооть и ооослпанавливаемоогпь 321 Обнаруживаемость. Если управляемая система частично наблюдасма, то фазовый вектор можно представить в виде суммы: х(1) = х„(1) + х (Г), где х„— вектор из подпространства наблюдаемости, хл полностью ненаблк>даемый вектор. Вектор х(1) восстанавливается по наблюдениям у(т) и п(т) на интервале 1в < т < 1 с точностью до невосстанавливаемого вектора хл.
Он в асимптотике становится восстанавливаемым, если хт — > 0 при 1 — > со. Частично наблюдаемая управляемая система (9.51) называется обнаруживаемой, если невосстанавливаемые координаты при нулевых остальных координатах и нулевом управлении стремятся к нулю при 1 -> оо. Непосредственно из определения следует, что вполне наблюдаемая система является обнаруживаемой. Также является обнаруживаемой любая асимптотически устойчивая система. Из канонической формы наблюдаемости вытекает следующий критерий обнаруживаемости. Частично наблюдаемая управляемая система обнаруживаема в том и только том случае, если в каноническои, форме наблюдаемости матрица Азз является (аоимптотически) устойчивой. Пример 9.10. Исследовать наблюдаемость и обнаруживаемость управляемой системы х! =аз, йз =ио у=са!+х2 в зависимости от параметра.
с. Решение. В данном случае имеем А=, С= (с 11, СА= (О с~, ХХт= Система вполне наблюдаема при с ф О. При с = 0 система частично наблюдаема и не обнаруживаема. Лействительно, при с = 0 уравнения принимают вид канонической формы наблюдаемости, если принять а!О = апл х!з> = а!.
При этом матрица Ааа = 0 и не является устойчивой. 9.5.3. Принцип двойственности управляемости и наблюдаемости. Рассмотрим наряду с системой х = Ах+ Вп, у = Сх (9.56) так называемую двойственную ей систему Атх + Стп у Втх (9. 57) Здесь принято Р = О, так как эта матрица не влияет на управляемость и наблюдаемость.
Как легко проверить, матрица управляемости системы (9.56) совпадает с матрицей наблюдаемости системы (9.57), а матрица наблюдаемости системы (9.56) совпадает с матрицей управляемости системы (9.57). 21 П.П. Ким 322 Гл. у. Методы теории опгаимального управления Поэтому справедлив следующий принцип двойственности (дуальности). Системи (9.56) вполне управляема тогди и только тогда, когда двойственная вй система (9.57) вполне ниблюдаема, и сиспгвма (9.56) вполне наблюдигма тогда и только тогда, когда двойственная гй система (9.57) вполне упривлягми.
9.5.4. Наблюдатели полного порядка. Перейдем от задачи возможности восстановления к задаче синтеза устройства, восстанавливающего текущие значения фазового вектора. Восстановленные значения называются оценками, а устройства, обеспечивающие получение оценок по измерениям (наблюдениям) управления п(т) и выходного вектора у(т) на интервале 1о < т < 1, называются наблюдателями [29). В частности, устройство, описываемое уравнением х = Ех+ Ку+ Нп, (9.58) называется наблюдателем полного порядка для управляемой системы х=Ах+Вп, у=Сх, (9.59) если при х(ьо) = х(ьо) выполняется равенство х(ь) = х(ь) при всех п(у), С > 1о.
Наблюдатель (9.58) называется наблюдателем полного порядка, так как оценка х имеет такую же размерность, что и вектор состояния х. Теорема 9.1 [29). Наблюдатель полного порядка для управляемой системы (9.59) имеет вид х = Ах + Вп+ К(у — Сх), (9.60) где К вЂ” произвольная матрица, которая может быть функцией времени и катарин называется .матрицгй козффициентов усилении.
Показательство. Вычтем из первого уравнения (9.59) уравнение (9.58) и подставим в полученное соотношение выражение для у из (9.59): (9.61) х — х = (А — КС)х — Ех+ ( — Н)п. Из этого уравнения следует, что при начальном условии х(го) = х(го) равенство х(ь) = х(1) будет выполнено при всех пф, 1 > йо, если имеют место равенства А — КС=Г, В=Н. Так как в первое уравнение входят две неизвестные матрицы, одну из них, например, матрицу К, можно задать произвольно.
Подставив выражения для матриц Р и Н из последних соотношений в уравнение (9.58), получим (9.60). Теорема доказана. Из уравнения (9.60) следует, что наблюдатель системы (9.59) включает саму эту систему и дополнительное слагаемое, пропор- 9.5. Нвбвюдавмвстпь в ввсствввввиваевьвсгвь Рис. 9.3.
Структурная схема наблюдателя циональное разности у — у выходного вектора и его оценки у = Сх (рис. 9.3). Устойчивость наблюдателя (9.60) зависит от матрицы А — КС. Уравнение для ошибки е = х — х имеет вид (см. (9.61)) е = 1А — КС) е. Отсюда следует, что ошибка е1ь) — в 0 при 1 — э оо независимо от начальной ошибки тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым. Поэтому при выборе матрицы коэффициентов усиления К необходимо прежде всего позаботиться о том, чтобы наблюдатель был асимптотически устойчивым. Но от матрицы А — КС и соответственно матрицы К зависит еще и качество наблюдателя.
Поэтому выбор матрицы К, к которому сводится синтез наблюдателя вида (9.60), должен производиться из условия устойчивости и заданных требований к его качеству. В том случае, когда все матрицы системы и матрица коэффициентов усиления постоянны, т. е, наблюдатель является стационарным, его устойчивость и качество зависят от расположения корней его характеристического уравнения, т.е.
от собственных значений матрицы А — КС на комплексной плоскости. Собственные значения матрицы А — КС могут быть произвольно размещены на комплексной плоскости путем выбора матрицы коэффициентов усиления в том и только том случае, если исходная система, т.е. пара (А, С), вполне наблюдаема. Если система частично наблюдаема, можно найти постоянную матрицу К, при котором наблюдатель асимптотически устойчив, в том и только том случае, если система обнаруживаема [29].
В случае стационарного наблюдателя ошибка е1ь) тем быстрое сходится к нулю, чем дальше от мнимой оси расположены корни характеристического уравнения наблк1дателя на комплексной плоскости. Этого можно достичь при больших элементах матрицы коэффициентов усиления. Однако с увеличением коэффициентов усиления наблюдатель становится чувствительным к шумам измерения. Поэтому оптимальная матрица К может быть определена только с учетом реальных помех.
9.5.5. Наблюдатели пониженного порядка. Рассмотрим стационарную систему х = Ах+ Вп, у = Сх, (9.62) 21* 324 Гл. У. Методы теории опгаимального управлении где х — — п-вектор, у — р-вектор, причем и ) р, А, В, С вЂ” — матрицы соответствуюШей размерности. Пусть матрица С иллеет максимальный ранг, т.е. р. Тогда уравнение наблюдения дает р независимых линейных уравнений для неизвестного вектора состояния х(У). Чтобы определить х(~), необходимо получить дополнительно и — р уравнений для координат этого вектора.
Введем в рассмотрение (и — р)-вектор р(1), определяемый соотнор = С'х, (9.63) где матрица С такова, что матрица [,1 является невырожденной (неособой). Из уравнения находим Используя представление (9.64) (и х р)- и [и, х (и — р)]-матрица соответственно, где В1 и В2 получаем (9.65) х = В1у+ Взр. Если получить оценку р для введенного вектора, то для оценки фазового вектора имеем (9.66) х = Влу+ Вгр.
Таким образом, задача восстановления фазового вектора свелась к задаче восстановления вектора р меньшей разллерности. Используя определенные выше матрицы С', Вл и В2, можно определить искомый наблюдатель. Теорема 9.2 [29]. Наблюдатель пониженного порядка для управляемой системы (9.59) имеет еид х л 29 + (Т 1 + Т 2К)У (9.67) 14 = (С'АЬ~ — КСАН~)п + (С'АВ2К + САВ1 — КСАВ1— — КСАВ2К)у + (С' — КСВ)п, (9.68) 9(~о) = С хИо) — КуИо), где К - произвольная матрица.
Наблюдатель пониженного порядка (9.67), (9.68) называют наблюдателем Луенбергвра. Доказательство. Сначала найдем наблюдатель, который в качестве одного из уравнений включает уравнение (9.66). Для этого 9.5. Набвюдаслвстпь а вассзпапаввавасласгпь 325 достаточно построить наблнвдатель для переменной р. Найдем для этой переменной дифференциальное уравнение. Дифференцируя (9.63) и используя (9.62), получим р = С'Ах+ С'Ви, или, с учетом (9.65), р = С'АЬгр+ С'АЬ1у + С'Ви. (9.69) Чтобы построить наблюдатель для р, основываясь на теореме 9.1, необходимо добавить к уравнению (9.69) уравнение наблюдения.
Примем в качестве такого уравнения уравнение, которое получается дифференцированием исходного уравнения наблюдения у = Сх с учетом (9.65): у = Сх = САх + СВи = САВгр + САЬ1у + СВи. При таком уравнении наблюдения наблюдатель для объекта (9.69) по аналогии с наблюдателем (9.60) для системы (9.59) можно представить в виде р = С'АЬгр+ С'АВ1у+ С'Ви+ К(у — САЬгр — САЬ1у — СВи). (9.70) В это уравнение входит производнал у. Чтобы избавиться от нее, введем новую переменную с1 = р — Ку.
Продифференцировав это соотношение, затем подставив выражение для р из (9.70) и р = с1+ Ку, получим уравнение (9.68). Исключив из (9.66) переменную р, получим соотношение (9.67). Начальное условие с1(со) = С'х(оо) — Ку(со) определяется исходя из соотношения (9.63) и равенства с1 = р — Ку. Теорема доказана. Пример 9.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
