Главная » Просмотр файлов » Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy.

Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 57

Файл №950615 Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (Ким - теория автоматического управления) 57 страницаKim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615) страница 572013-09-22СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

Построить наблюдатели полного и пониженного порядков для управляемой системы а1 тг тг и У т1 Решение. В данном случае имеем 0 0' В 1' С (10)' Как следует из (9.60)., наблюдатель полного порядка имеет вид + и+ „1 (у — т1), или, в скалярной форме, т1 = тг + Й1 (У вЂ” т1) тг = п + Йг(У вЂ” т1). Для построения наблюдателя пониженного порядка необходимо определить матрицы С', В1, Вг. Матрица С' должна быть такой, 326 Гл.

у. Методы теории опгпимальпого управления (С) чтобы квадратная матрица ~, ~ была невырожденной. В остальном она может быть произвольной. Условию невырожденности указанной выше квадратной матрицы удовлетворяет матрица С' = 10 1). Из соотношения (9.64), которое в данном случае принимает вид С' О 1 О 1 находим Ьз — — (1 О)т, Вг — — (О 1)т.

Подставив выражения для А, В, С, С', Вз и Вя в (9.67) и (9.68), получим у = — йд — йг+ и, х = д+ у. Напомним, что матрица К или, в случае наблюдателя понижен ного порядка, скалярная величина й выбирается из условия устойчи- вости и требований к качеству наблюдателя. 9.6. Синтез оптимальных систем управления Как отмечалось, методы множителей Лагранжа и принцип максимума, как правило, позволяют находить программное оптимальное управление, т.е. оптимальное управление как функцию времени. Метод динамического программирования позволяет находить оптимальное управление с обратной связью, .но при этом приходится решать нелинейные уравнения в частных производных.

В этом параграфе будут рассмотрены методы решения некоторых задач синтеза оптимальных систем управления с обратной связью. 9.6.1. Метод фазовой плоскости синтеза оптимальной по быстродействию системы. Пусть задана вполне управляемая линейная стационарная система х = Ах+ Ви, ~и~ < 1, х й Л", и е Л. все корни характеристического уравнения которой действительны. ',5аметим, что ограничения более общего вида о < и < (з, где а < 0 и 13 ) О., введением нового переменного и = 2и — (а + Д/(аД) всегда приводится к приведенному выше виду (и~ < 1. Рассмотрим задачу синтеза оптимального по быстродействию регулятора, обеспечивающего перевод системы из произвольной начальной точки в начало координат.

Так как управление скалярное, условие нормальности совпадает с условием управляемости, поэтому выполняются все условия теоремы об и интервалах. В соответствии с этой теоремой оптимальное управление, имея не более и интервалов постоянства, принимает только крайние значения: — 1 или 1. Если представить его как функцию 9.6. Синтез опв1амальнмх систем управления 327 фазовых координат а' = а*(х), то ясно, что все фазовое пространство разбивается на два подпространства: подпространство, в котором и* = — 1, и подпространство, в котором и* = 1. Гиперповерхность (при и = 2 кривая, при и = 3 поверхность), которая делит фазовое пространство на указанные подпространства,.называют гаперповерхностаю (кривой, поверхностью) переключения. Если записать уравнение гиперповерхности а(х) = О, то (при соответствующем выборе о(х)) а(х) ) 0 по одну сторону от гиперповерхности и о(х) ( 0 по другую.

Всегда можно выбрать функцию о(х) так, чтобы она была отрицательна в подпространстве, где и* = — 1, и положительна в подпространстве, где и' = 1. Тогда, очевидно, оптимальным управлением будет и* = щп о(х). Поэтому нахождение оптимального управления с обратной связью сводится к определению функции о(х), которая называется у1ункиией переключения. При п = 2 для нахождения функции переклк1чения можно воспользоваться методом фазовой плоскости. На фазовой плоскости строятся семейства фазовых траекторий, соответствующих управлениям и* = — 1 и и' = 1. Оптимальная траектория представляет собой часть траектории или соединение частей двух траекторий из построенных семейств.

В силу граничного условия на правом конце траектории х(1у) = 0 она должна оканчиваться в начале координат. Используя эти свойства оптимальных траекторий, нетрудно определить кривую переключения. Проиллюстрируем изложенное на простейшем примере. Пример 9.12. Определить оптимальнь1й по быстродействию закон управления двигателем, описываемым уравнениями х1=хз, ха=и, ~и(<1, х(0)=х, х(11)=0. Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение имеет кратный нулевой корень. Выполняются все условия теоремы об и интервалах. Оптимальное управление может принимать значения — 1 или 1.

Найдем соответствующие им фазовые траектории. Разделив второе уравнение на первое, получим йх2 и 421 Х2 или х2 1"х2 и ах1 Проинтегрировав последнее уравнение при и = — 1 и и = 1, соответственно получим ,2 1 2 ' 2 — х. = -х1 + С1, — х, -= х1 + С.. На рис. 9.4, а представлены оба семейства траекторий. Оптимальная траектория должна состоять из участка траектории одного семейства, проходящей через начальную точку, и участка траектории другого семейства, проходящей через начало координат.

Из сказанного следует, что переключение должно происходить на полутраектори- 328 Гл. 9. Методы теории оптимального рироеленип Рис. 9.4. Построение фазового портрета оптимальной системы ях АО и ОВ (рис. 9.4, а). Если вначале изображающая точка движется по траектории, соответствующей и' = — 1, то переключение должно произойти на полутраектории ВО, которая описывается уравнением з2 2тз = О.

И если вначале изображающая точка движется по траектории, соответствующей и* = 1, то переключение должно произойти на полу- траектории ОА, которая описывается уравнением ,,'+2, =О. Фазовый портрет оптимальной системы представлен на рис. 9.4, 6. Уравнение линии переключения АОВ, основываясь на уравнениях полутраекторий АО и ОВ, можно записать так: п(х) = — (тг + 2тз а8п та) з18п тз = О. Функция п(х) отрицательна справа от линии переключения, где и' = — 1., и положительна слева, где и* = 1. Поэтому имеем и' = я8п о (х) = — яяп ~(тз ~+ 2тз я8зз тг) ябп тг).

Заметим, что кривая АОВ может быть описана уравнением й(х) = — (та + 2тз з18птя) = О. Однако знак функции й(х) слева и справа от кривой АОВ меняется при переходе с верхней полуплоскости в нижнюю полуплоскость. Поэтому эта функция не может быть функцией переключения. Как следует из фазового портрета, переходный процесс оптимальной системы является апериодическим. Однако из-за неидеальности переключающего устройства, неточности математической модели объекта и других возмущений реальный переходный процесс может оказаться колебательным.

9.0.2 Синтез оптимальной по интегральному квадратичному критерию нестационарной линейной системы управления. Постановка задачи. Пусть объект описывается уравнением х = А(1)х+ В(1)и+ Ь11) (9.71а) 9.6. Синтез оптпималъных систем управления 329 и критерий оптимальности имеет вид д = х~(17)Ех(ъу) + / [хт(1)®(1)х(1)+пт(1)Л(1)п(1)] да (9.71б) ео ~ т()Л() оо является интегральной квадратической ошибкой и характеризует качество управления на всем интервале [1о,су]. Последнее слагаемое О /п (1)Л(1)п(1) сМ оо есть взвешенная «энергия» управления, и оно ограничивает управление. Требуемое ограничение на управление, которое в явной форме не учтено в постановке задачи., может быть обеспечено соответствующим выбором матричной функции Л(1).

Утверждение 9.1. Решение задачи (9.71) синтеза оптимального нсстационарного линстеого регулятора существует, единственно и оптимальное управлснис имеет вад п" = — [Л В Кх+ — Л В~р), 1 2 (9. 72а) где симметрическая (и х п)-,матрица К и и-всктор р определяются из уравнений К вЂ” КА АТК + КВЛ вЂ” 'ВТК гз р = КВВ-'Втр — Атр — 2К1~ (9. 72б) (9.72в) при ~раничных условиях К(1,) = Р, р(1,) = О. (9.72г) Здесь Ь(г) известная функция времени; Р положительно полу- определенная матрица; Я(1), Л(1) положительно определенные матрицы (хткх > О, х~Ях > О и хтвх > О и хтЛх > О при всех х у: О и 1 Е [1о,1е]); функции А(1), В(1), 6(1), 1„1(1) и Л(1) являются непрерывными на интервале [1о,11]; начальный и конечный моменты времени 1о и 17 фиксированы.

Требуется найти управление с обратной связью, при котором при произвольном начальном условии х(1о) = х критерий оптимальности принимает минимальное значение. Эту задачу называют задачей синпъвза нсспшционарного линт1- ного регулятора состояния. В критерии оптимальности (9.71б) первое слагаемое, представляющее терминальную квадратичную ошибку, включается, если необходимо обеспечить максимальную близость состояния системы в конечный момент времени к желаемому состоянию.

Слагаемое 33О Гл. 9. Методы теории оптаимального управлении Пля любого Х б [8о, 11[ справедливо равенставо х (й)К(й)х(1) + р (й)х(й) + дЯ = = х (Су)Ех(йу) + ( [х"~(йЯ(1)х*(1) + п*т(й)Л(Х)п*(Х)) й, (9.73а) где у(~) -- скалярная функция, которая определяетси из уравнения т) = — ртВЛ 'Втр — ртЬ. д(бт) = О.

(9.736) При Ь(~) = О оитаимальное управление имеет вид и'= — Л 'В Кх, (9.74) гдг симмгтприческая (п, х тт)-матлрттцтз К определяется из уравнения К = КА — АтК+ КВЛ 'ВтК вЂ” Я, К(11) = Г. (9.75) Лля любого 1 Е [то, 11) справедливо равенставо тт х (1)К(1)х(8) = х (11)Рх(11) + / [х* (1)Я(4)х" (1) + + и'~(~)Лфп*ф[ сП. (9.76) Уравнение (9.72б) (и соответственно (9.75)) называют матричным уравнением Виккати. Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся методом динамического программирования. Уравнение Беллмана (9.46) и граничное условие (9.47) принимают вид тпш[х Ях+ и Лп+ — (Ах+ Вп+ Ь)] = — —, т т до 1 дд и дг дт ' я(ХМ, ~1) = ятях(~1). (9.77) В уравнении Беллмана выражение в квадратных скобках представляет квадратный трехчлон относительно векторного управления, и так как нет ограничения на управление, то минимум достигается в стационарной точке. Поэтому уравнение Беллмана можно представить в виде системы х Ох+и Лп+ — (Ах+ Вп+Ь) = — —,.

(9.78) т т дЯ дх дт' 2птЛ+ — В = О. дх Из последнего уравнения имеем 1дд и = — — — ВЛ 2 дх или,после транспонирования, (9.79) 9.6. Синтез опгпимавьнмх систем управвения 331 Подставим эти выражения для управления в (9.78): х Ях — — — ВЛ В ( — ) + — (Ах+ Ь) = — —. (9.80) т 1 дЯ вЂ” 1 тСОЯ~т дЯ дЯ 4 дх дх дх д1 Решение последнего уравнения будем искать в виде квадратичного трехчлена Я(х,1) = х К(1)х+ рт(4)х+ а(1), (9.81) где К(с) симметрическая (п х п)-матрица, р(с) вектор-функция размерности п, д(с) скалярная функция. После подстановки (9.81) в уравнение (9.80) его можно преобразовать к виду хт(КА + АтК вЂ” КВИ.

'В К+ Я)х— т т(КВд, 'Втр — Атр — 2КЬ) — — р ВЯ 1В р+ ртЬ = 4 = — (х Кх + х р -~- ф). Приравняв в обеих частях полученного соотношения выражения при одинаковых степенях х, получим уравнения (9.72б), (9.72в) и (9.73б). Подставив квадратный трехчлен (9.81) в (9.79), получим оптимальный закон управления (9.72а); подставив его в (9.77), получим граничные условия (9.72г) и у(17) = О. Квадратный трехчлен (9.81), если функции К(1), р(1) и у(1) определяются из уравнений (9.726), (9.72в), (9.73б) при граничных условиях (9.72г) и у(17) = О, является функцией Беллмана, причем эта функция является гладкой.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,19 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее