Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 61
Текст из файла (страница 61)
15. Определить оптимальный закон управления 1управление с обратной связью) в следующих задачах оптимального управления: ю а) у=, и,,У=~(у~+си~)ЙЬ вЂ” 1щ1п, 1 >О; 1 -~-р+ 1 о а) Х1 = хг — 2хз б) Х1 = хг — 2хз, в) х1 = х2 — 222, г) Х1 = Х1 — 2хг, Х2 — ХЗ~ Х2 — ХЗ хг = х1, у = хг+ хг,' У хг) У = хз,' йб. Спнтпев оптпиманонмх енетпем управления 349 1о б) у=, и, о = /1уз+тиз)ей-опйп, т >О.
р-~-1 р~ + р -'т 1 о 16. Определить оптимальный закон управления (управление с обратной связью) по критерию обобщенной работы в следующих задачах оптимального управления: 1о а)у=, и, у=~(у +гни+та*з)Ж-оиип, т>0; р+ 1 р' +р+1 о 1о б)у= и,,7=~(у +тих+хиве)ей-опйп, т>0. р+1 р +о+1 о Глава 10 АНАЛИЗ СИСТЕМ И СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СЛУь1АЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ В предыдущих главах при анализе и синтезе систем управления случайные возмущаюгцие воздействия никак нс учитывались. В то же время во многих случаях (например, при управлении различными технологическими процессами, летательными аппаратами и другими объектами) они оказывают существенные влияния на процесс управления, и их нужно учитывать. Данная глава посвящена анализу систем управления, а также синтезу оптимальных систем управления при случайных возмущающих воздействиях (случайных возмущениях).
10.1. Случайные величины н процессы Кратко изложим основные сведения из теории вероятностей, которые потребуются при изложении материала этой главы. Цель этого изложения состоит в том, чтобы напомнить понятия и характеристики, связанные со случайными величинами и случайными функциями. 10.1.1. Случайные величины и их характеристики. Переменная величина Х называется случайной величиной, если то, что она при проведении эксперимента (при реализации заданного комплекса условий) примет значение, меньшее заданного числа х, т.е. х < Х, является случайным событием.
Вероятность этого события Р(х < Х) называется функцией распределения и обозначается Р(х): Р(х) = Р(х < Х). Если функция Е(х) дифференцируема, то ее производная ЙР(х) дх называется плотностью распределения или плопзностью вероятностей и обозначаетсяу(х): 1(х) = аЕ(х)(дх.
Иногда функцию распределения Р(х) называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения, а щзотность распределения 1(х) -- дифференциальной функцией распределения или дпфференциальным законом распределения. Функция распределения и плотность распределения обладают следующими 10.1.
Случайные величины и пронессы своиствами а) Р( — оо) = 0; б) Е(оо) = 1; в) Р(х) = / )'(х) дх; г) / 1(х) дх = 1. Функции распределения Г(х) и 1'(х) являются исчерпывающими характеристиками случайных величин. Однако наряду с ними используются числовые характеристики: начальные и центральные моменты. Начальным моментом в-го порядка случайной величины Х называется интеграл оь = М[Х'[ = ( х'1(х) дх = / х'аГ(х), где М обозначает операцию математического ожидания. Наиболее часто используется начальный момент первого порядка т, = М[Х) = / ху(х) дх = / хднф(х), который называется математическим охсиданием или средним значением.
Разность Х = Х вЂ” тя называют иснтрированной случайной величиной. Центральным моментом в-го порядка случайной величины Х называют математическое ожидание в-й степени центрированной случайной величины р, = М[Х") = / (х — т,.)'1(х) дх = / (х — т,)'дР(х). Наиболее часто используется центральный момент второго порядка дз = В, = В[Х) = М[Х~) = / (х — т,)~Д(х) дх = = ~( — )'дГ( ) который называется дисперсией.
Корень квадратный из дисперсии ок = Ч1П, называется средним квадратическим отклонением. Случайная величина Х подчиняеогся нормальному закону, или закону Гаусса, если ее плотность распределения имеет вид л( ) — (ь — шрцзьь1 оч'2я где т математическое ожидание, о отклонение. ВектоР Х = (Хз Хз ... Хь)з, компоненты Х, (1 = 1,2,..., гь) которого являются случайными величинами, называют случайным век- 352 Гл. 10. Анализ систем и синтез оптимальньп систем управления тором.
Исчерпывающими характеристиками случайного вектора Х являются и-мерные законы распределения: и;мерная функция распределения и и-мерная плотность распределения. и;мерной функцией распределения называется вероятность совместного выполнения 'л неравенств Х1 С т1, Х2 С хь, ..., Хп С хп гп(х1~х2~ ~хп) — Р(Х1 С х1, Х2 С х21 . ° ~ Хп С хп), а ппиерной плановостью распределения производная д" Г вп(х11 21 ° ~хп) Х1 Хг .
Х ФУНКЦИЯ РаСПРЕДЕЛЕНИЯ Гп,(Х1,т2,...,Х„) И ПЛОтНОСтЬ РаСПРЕДЕ- ления 1(хг,хз,..., хп) обладают следующими свойствами: 1) г1(х) = гп(х1, оо,..., оо), гь(х„...,хь) = Р„(хг,,хг, оо,..., сю); 2) Л (х1) = / ... ~ 1(х1,..., х ) дхз... дх Ь(Х1,",ХЬ) = / ". / 1(Х1:",Хп)дХВВ1" «Хп При рассмотрении системы случайных величин для характеристики зависимости между различными случайными величинами, входящими в эту систему, используются условные законы распределения. Условным законом распределения случайной величины Х, входящей, например, в систому из двух случайных величин (Х, У), называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина У приняла определенное значение: У = у. Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения (обозначение Г(х / у)), так и плотностью распределения (обозначение Д(х / у)).
Согласно теореме умножения 12(х У) = Г1(х))(У! х). Случайные величины Хн У называются независимыми, если их совместная плотность распределения равна произведению их плотностей распределения: 12(х У) 1 1(х)Л(У) Числовыми характеристиками случайного вектора Х = (Х1 Х2 .. .. Хп)т, ЯвлЯютсЯ; 1) математическое ожидание ЛХ(Х) = (тгеп2 ... т„)т, где ль, = = М(Х,); 2) дисперсия Р(Х] = (Р1 Рз ... Рп)т, где Ре = Р(Х,) 3) корреляционная матрица 353 10.1. Случайные величины и процессы К11 К12 ° К1п К21 К22 ° К2п К= Кп1 Кп2 ° Кпп где Кз = М[(Х, — т,)(Х вЂ” т )) корреляционный момент случайных величин Х, и Х .. Из опродвления корреляционного момента ясно,что корреляционная матрица является симметрической. Корреляционная матрица К является корреляционным моментом векторной случайной величины и определяется следующим образом: К = М[ХХт].
10.1.2. Случайные процессы и их характеристики. Случайную функцию Х(1) можно опрвдвлить как семейство случайных величин, зависязцих от параметра й Если парамстр 1 является временем, функция Х(г) называвгся случайным (вероятностным, стохастическим) процессом. При каждом эксперименте случайная функция Х(1) принимает конкретный вид х(1). Функция х(1) является детерминированной и называется реализацией случайного процесса Х(1). Случайная функция Х(1) при фиксированном параметре 1 является случайной величиной, которая обладает законами распределения гз(х,й) и 11(х,1), зависящими от времени.
Функции Г1(х,1) и 11(х,1) называются одномерными законами распределения, причем гз(х,1) называется одномерной функцией распределения, а 11(х,1) — одномерной нлопгностью распределения. Одномерные законы распределения нс являются исчерпывающей характеристикой случайного процесса Х(1). Они, например, не позволяют определить, как зависят между собой случайные величины, которыс получаются при различных фиксированных значениях й Более гюлной характеристикой случайного процесса является двумерные законы РаСЦРЕДЕЛЕНИЯ: ФУНКЦИЯ РаСПРЕДЕЛЕНИЯ г"2(Х1,11, Хз, 12) И ПЛОтНОСтЬ распределения 12(х1,11, .хз, 12).
Но и они, как любые конечные законы распределения, нс могут служить исчерпывающими характеристиками. Лля описания случайных процессов наряду с функцией распределения и плотностью распределения используют моментныо характеристики; начальные, моменты М[Х(11) Х(1,) ... Х(1п)) = = / ... / х1... х, 1„(х„11,..., х„,1„) Йхз...дх„, цвнпзральныв моменты М[Х(11) ... Х(1„)) = / ''' / (х1 ц11)'''(хо из )лп(х1 11 ''' хп 1п)дх1'''11хп 22 Д.П. Кям 354 Гл. 10. Анализ систем и сингпез оптимальньи сиссаем управления где Х(1,,) = Х(1,,) — М[Х(11)] — центрированная случайная величина, т, = М[Х(1,)] математическое ожидание (среднее значение) слу- чайной величины Х(1,).
Наиболыпее применение находят: начальный момент первого порядка т (1) = М[Х(1)], (10.1) который н зывается математическим ожиданием или средним зна- чением случайного процесса Х(1); центральный момент второго порядка Ка(11.,12) = М[Х(11)Х(12)], который называется корреляционной или автпокорреляционной функ- цией; начальный момент второго порядка Вл(1„1 ) = М[Х(1 )Х(1 )], который называется ковариационной функцией. (Ковариационнукз функцию также записывают в виде сог[Х(11), Х(12)].) Ясно, что если математическое ожидание М[Х(1)] = О, то кор- реляционная и ковариационная функции равны между собой. При 11 = 12 = 1 корреляционная функция равна дисперсии (дисперсионной функции): 11[Х(1)] = К(1,1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
