Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Осталось вычислить коэффициент Сдг. Передаточная функция ошибки относительно задающего воздействия имеет вид 1 .г(в -Ь Ц 1+ И'г(в)И'г(в) в(в -с Ц -с 0,5(2в -с Ц Задающее воздействие д(1) = 0,11, возмущение является стационарным случайным процессом с математическим ожиданием ту = 2. Требуется определить систематическуго ошибку в установившемся режиме. Решение. Так как вторая и более высокие производные от задающего воздействия и все производные от математического ожидания возмущения равны нулю, то формулы (10.20) принимакгт виц тед = Свод(д) + Сдг —, тсд = Суоту. Ид Жг 10.2. Анализ линейных систем и синтез оптимальных наранстаров 365 Так как Сдо = О, коэффициент Сдг можно вычислять по формуле (10.21): ( +1) ( + 1)+ 0,5(2 + Ц ~,=о Таким образом, находим 'Гаев: 2 ' 0 1: 0 2 'лье г": 0 гпе: щед + глгг": 0 2. Среднемвпдратии ческая ошибка.
Ограничимся случаем, когда внешние воздействия стационарны и не коррелированы, а линейная система стационарна. Согласно формуле (10.16) дисперсии ошибок от задающого воздействия Р, и возмущения Р,у принимают вид Ред — / (И'ед(2огН ~,( )хогг Р,~ — / ~Ие~( )~ ~у( )с)ог, или, в силу четности подынтегрального выражения, Ред = )г (Исед(гаг)( нд(ог)о(огг Рог = ~(Иеед(зоей нг(ог)~ог.
(10.22) Если внешние воздействия не коррелированы, то дисперсия ошибки, как было показано выше, равна сумме дисперсий Р, и Ре~.. Ре — Ред + Рог ° И соответственно формула для вычисления среднеквадратической ошибки принимает вид Если передаточные функции и спектральные плотности внешних воздействий представляют дробно-рациональные функции, то каждый из интегралов (10.22) можно представить в виде 1 Г Ьо(лм)"-г -ЬЬг(дм)"-г-Ь... +Ь., ге / ао(уга)е -Ь аг(угд)"-' +...
Ь а о Как известно, такие интегралы выражаются через коэффициенты полиномов подынтегрального выражения и для п = 1,2,3 имеют вид (31) г г г Ьо 1 Ьоаг л- аоЬ! (10.23а) 2аоаг' 2аоагаг Ьогагаз + аоаз(Ьг — 2ЬоЬг) -~-аоа,Ь,' 1з— 2аоаз(агаг — аоаз) Пример 10.3.
Дана система. (см. рис. 10.2) с передаточными нкциями фу 0,5(2р -Ь 1) 2 И'г = 1 г— р о+1 Задающее воздействие а(Ь) = 0,1 го возмущение является стационарным случайным процессом с математическим ожиданием ту = 2 366 Гл. КЬ Анализ систем и син»аез онтимальньи систем управления и корреляционной функцией Ку(т) = )ге а~»~. Требуется определить среднеквадратическую ошибку в установившемся режиме.
Решение. Так как задающее воздействие является детерминированной функцией, то дисперсия ошибки от задающего воздействия равна нулю: Р,д — — О. Поэтому дисперсия ошибки Р„определяется из соотношения Р, = Р,:у. Чтобы воспользоваться формулой Р у = — / ~И» у(~аг)~2Яу(ог) А~ о необходимо определить спектральную плотность возмущения Яу(ог). Так как спектральная плотность получается двусторонним преобразования Фурье корреляционной функции, то имеем (см. (10.2)) Яу(сс) = / Ку«т)е г ' »)т = / Де ~'~е г ' йт = Яеа»е — гм» с)т + Яе — а»е — г««» с)г е(а — г )«» 1 о — ра — оо о — (а-ьг «)» 2о е о -Ьус о Р од+ы2' или 2о ~ ь«2а~З Определим передаточную функцию ошибки относительно возмущения: — И'гз»в) — 2в 1-Ь И»г(в)И»г(в) во+ Зв -Ь 1 Подставив выражения для И»„у Оаг) и Яу(ьа) в формулу для дисперсии, найдем Р, = Р » 1 = — ~ ~ И' 1 (у од ) ~ 2 Я у (ог) сЬа = о 1 2 о«2аДв / »«ра)з + сз+ „)грм)г+ сз +1)«уы о При дальнейших расчетах примем Я = 2 и сг = 1.
Подставив эти значения, получим 2 1 )'~ 40в ., / ~ У )в+4с,ча)2+ 40 о Справа мы имеем интеграл 12 с коэффициентами подынтегральных полиномов Ьо = О, Ьг = 4, Ьг = О, ао = 1, аг — — 4, аг = 4, аз = 1 1длб Анализ линейных систем и синтез оптималвнвсх паромеп1ров 367 По формуле (10.236) находим Ьоазаз + иоаз(Ь12 — 2ЬоЬ2) + аоа1Ь2 28 2аоаз(а1аз — аоаз) 15 Следовательно, среднеквадратическая ошибка равна 1/8~15. 10.2.4.
Синтез параметров системы по минимуму среднеквадратической ошибки. Рассмотрим линейную стационарную систему, у которой не все параметры фиксированы, внешние случайные воздействия стационарны, а на параметры могут быть наложены ограничения. Пусть требуется определить варьируемые (нефиксированные) параметры, доставляющие минимум среднеквадратической ошибке в установившемся режиме.
В этом случае среднеквадратическая ошибка будет функцией варьируемых параметров, и задача синтеза в общем случае сводится к задаче на условный минимум этой функции к определению ее минимума при наличии ограничений на варьируемые параметры. Пример 10.4. Дана система (см. рис. 10.2) с передаточными функциями й 1 И1 —; есз— тв';1' Зацаю1цее воздействие представляет собой смесь полезного сигнала и помехи и имеет вид С(1) = д(1) + М(1), где помеха 12'(1) белый шум с нулевым средним значением и с интенсивностью 111о (К„(г) = 11'од(т)); д(1) = 0,11 - полезный сигнал, который нужно воспроизводить; возмущение г (г) отсутствует (Р(1) = 0).
Требуется определить параметры й и Т, при которых систематическая ошибка не превышает 0,01 (~т„~ ( О,ОЦ и срсднеквадратическая ошибка в установившемся режиме принимает минимальное значение. Решение. Найдем систематическую ошибку т,. Для этого сначала определим среднее значение (математическое ожидание) входного сигнала: т (с) = М(С(с)) = д(1) = 0,1 й Передаточная функция ошибки имеет вид 1 в(Тв+ 1) ео е — 1 11с( )11, ( ) — (2, +1)+Ь. Отсюда для первых двух коэффициентов озпибки находим — И~ (0) — О, й Систематическая ошибка в данном случае вычисляется следующим образом: т. = Свод(1) + Соз — — — 0,1. йд(с) йс Ь 368 Гл.
1а Анализ систем и синтез антимальньм систем управления Параметр к должен удовлетворять условию )т,! = — ' < 001, 0,1 й или х > 10. Найдем теперь дисперсию ошибки. Спектральная плотность внешнего воздействия равна спектральной плотности помехи Лс(2): оп(~ ') — 1~0. Так как помеха приложена в одной точке с задающим воздействием, то передаточная функция ошибки по помехе равна — И; в(в) [31]. Здесь И; (в) йез(в) й 1 + И'1 (в)Ига(в) в(Тв + 1) + й Согласно формулам (10.22) для искомой дисперсии В„имеем Ре = — ~ ~Вра(уаз)~ Вп(ьз) ~ьз = — I . з . Юос(ьз = ~вЕз, в в где 1з определяется согласно второй формуле из (10.23а) со следующими коэффициентами: Ьо = О, вз = а, ао = Т, оз = 1, аз = й.
Подставив эти коэффициенты в указанную формулу, получим Тй Ь 2Тй 2 Следовательно, среднеквадратическая ошибка принимает вид ,= з,=Д" и достигает минимума при полученном выше ограничении на Й при а = 10. От параметра Т среднеквадратическая ошибка не зависит, и он может быть выбран произвольно. 10.3. Винеровская задача оптимальной фильтрации Как следует из предыдущей главы, для управления с обратной связи необходимо прежде всего получить оценку фазовых координат, которые входят в закон управления.
В системах управления,подверженных случайным воздействиям, получение такой оценки связано с решенном задачи фильтрации. В этом параграфе рассмотрим ставшую классической теорию оптимальной фильтрации Н. Винера. 10.3.1. Постановка винеровской задачи оптимальной фильтрации. Пусть наблюдается случайный процесс Х(2), представляющий сумму полезного сигнала Я(с) и помехи (шума) Л(с): Х(1) = Я(1) + з'в'(1).
10.3. Винеровская задача оптимальной фильтрации 369 По данным его наблк>пения на интервале времени [йо, 1) нужно получить оценку полезного сигнала в момент В. При этом возможны три случая: 1) 1о < В < П 2) Р = 1; 3) В > й В соответствии с этими тремя случаями могут быть рассмотрены три различные задачи. Задача получения оценки Я(В) полезного сигнала в момент В в случае 1) называется задачей интерполяции или задачей сглаживания, в случае 2) задичей фильгпрации и в случае 3) задачей экстраполяции или задачей упреждения.
Здесь рассматривается только задача фильтрации. Рассмотрим точную формулировку винеровской задачи оптимальной фильтрации. Пусть случайный процесс Х(1) = В(1) + йг(1) наблюдается на интервале ( — со, 1), а В(1), й(с) — стационарные и стационарно связанные случайные процессы. Известны корреляционная функция наблюдаемого (входного) сигнала Ки(т) и взаимная корреляционная функция входного и полезного сигналов К„(т). Требуется определить линейную систему, выдающую на выходе оценку Я(1), оптимальную в смысле минимума среднеквадратической ошибки, или, что то же, минимума дисперсии: д М[Е2[ Здесь Е центрированная ошибка оценки Е(с) = Я(г) — В(1).
Линейная система, которая получается в результате решения этой задачи, называется фильтром Винера или оптимальным фильтром Винера. 10.3.2. Уравнение Винера — Хопфа. Теорема 10.1. Юля того чтобы в(1) была весовой функцией оптимального фильтра, необтодимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла уравнению ~Кь(т — Л)ю(Л) ВЛ = К„(г), о (10. 24) Б(1) = / ьэ(г — Л)Х(Л) НЛ = ~ю(Л)Х(с — Л) дЛ. Так как ошибка оценки при этом принимает вид Е(1) = Я(1) — Я(1) = Б(С) — ~ю(Л)Х(С вЂ” Л) НЛ, о 24 Д.П. Кям которое иазыватпся уравнением Винера — Хопфа. Показательство.
Так как среднеквадратическая ошибка и дисперсия не зависят от математического ожидания, то, не нарушая общности, положим ЛХ[Я(1)[ = 0 и М[г1(г)) = О. Оценку Я(1) на выходе линейного фильтра представим с помощью его весовой функции и~(1); 370 Гл. КЛ Анализ систем и синхиеэ оитимильньи смахнем управления то для критерия оптимальности получаем х=м(е'О((=и(х (р( — 21 яв(1(х(й — 4ю': о +1'(' Р( и'(х(1-Ох(1 — Х>лес/ = о а = К,(0) — 2/ ю(Л)К л(Л) ИЛ + /~ш(Л)ш(Л')К,(Л вЂ” Л ) с1Л с1Л'. а о о Необходимость. Введем в рассмотрение весовую функцию ю (1) = ю'(г) +(лг(1), где ю*(ь) -- весовая функция оптимального фильтра (оптимальная весовая функция), о - .
параметр, г(ь) . произвольная непрерывная функция. Подставим это выражение для весовой функции в полученное выше выражение для критерия оптимальности: л(о) — К,(0) 21(и (Л) + ос(Л))Кх,(Л) дЛ+ о + //(ю (Л) + (хг(Л)ию" (Л) + си(Л ))Кл(Л вЂ” Л)] и(Л(КЛ'. (1025) а о Критерий является функцией от скалярного параметра и достигает минимума при о = О. Поэтому необходимо, чтобы его производная по этому параметру обращалась в нуль в точке о = 0: = — 2 /г(Л)К, (Л) с1Л+ /~г(Л) (*(Л')Кл(Л вЂ” Л')) с1Лс1Л'+ о о о + / /ю*(Л)г(Л')К,(Л вЂ” Л')) (1Л(1Л' = О. о о Пва последних интеграла равны. Поэтому полученное соотношение можно преобразовать к виду =2),я(-х„(А(~(' "(х(х„я — х(ех/ы=о. а а При произвольной функции т('с) последнее равенство возможно, если выражение в квадратных скобках обращается в нуль, т.е.
если выполняется уравнение Винера — Хопфа. Необходимость доказана. Постаточность. Положив в (10.25) о = О, находим ,Г = й(0) = К„(0) — 2 /ю" (Л)Квл(Л) дЛ+ + //((ш'(Л)ш" (Л')К,(Л вЂ” Л'))(1Лс1Л'. (10.26) о о 1сс.З. Винеровоная задачи оптимальной фильтрации 371 Раскрыв в (10.25) квадратные скобки, получим .Т(о) = К,(0) — 2 )' ш*(Л)К„(Л) с1Л вЂ” 2о ~т(Л)К„(Л) с1Л + о о + ~~ (ш*(Л)ш'(Л')Кл(Л вЂ” Л')) с1Л с1Л' + о о + 2о / / (ш*(Л)т(Л'))К (Л вЂ” Л ) с6Лс1Л'+ о о + ог~~ (т(Л)т(Л')Кь (Л вЂ” Л')) с1Л с1Л'. о о Учитывая (10.26), последнее соотношение можно преобразовать к виду .7(сх) =,7' + 2сх ~т(Л)( — Кол(Л) + ~ш'(Л)К (Л вЂ” Л )) ИЛ с1Л' + о о г ь и ( 1по хе> ьс~ .
о Второе слагаемое в правой части в силу уравнения Винера — Хопфа обращается в нуль. Поэтому последнее соотношение можно представить в виде 1г .г=л > — ьс~ 1нох(осс) . о Отсюда следует неравенство,7* < д(о). Постаточность доказана. Палыче при решении уравнения Винера — Хопфа потребуется понятие формирующего фильтра. 10.3.3. Формирующий фильтр. Формирующим фильпсром называется звено, формирующее из белого шума случайный процесс с заданной спектральной плотностью. пусть на вход устойчивого линейного стаци- сс(с) ( ) х(с) онарного звена (фипьтра) подается белый шум И'ь р Ъ'(1) с единичной интенсивностью (рис 10 3): Рис. 10.3.
формируюКв(т) = 6(т), Яо(ш) = 1. В установившемся режиме выходной сигнал Х(1) будет стационарным, и его спектральная плотность будет связана с спектральной плотностью входного сигнала. соотношением В*( ) = М'ф(1' )Г'Во(ш) = ~ВеО )~г Отсюда следует: чтобы сфорыировать стационарный случайный процесс с заданной спектральной плотностью Я, (ш), которую можно 24* 372 Гл. 1О. Анализ систем и синтез оптимальньи сисспем управление представить в виде Н.( ) = ф(у~И( — М = 'ф(зы)~', (10.27) где все полюсы функции уь(з) расположены в левой полуплоскости, достаточно принять передаточную функцию фильтра Ига(в), равной з: Ф() рр,(в) = ф(з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
