Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Очевидно, имеем Х(1,1) = К Используя (10.56) и учитывая условия (10.55), находим М[Ъ'о(1)е (1)] = М[Ъ'о(1)е (Ео)]Х (Е>1о) + + ~М[згеЯзге (т)]Х~(1, г) Йг — ~М~КеЯЗУ~ (т)]К~~Хт(1 т) Йт = >а >а = ~ЯеЯ6(1 — г)Хт(1 т) >1т — ~ЯоЯЛ(1 — т)КетХт(1,т) йт = >о >» [сге(г) ое(г)К (г)].
Здесь коэффициент 1>2 появляется при вычислении интеграла с д-функцией из-за того, что точка 1 находится на границе интегри- рования. Аналогично получим М[Ъ„(1)ег(1)] = — [Я~~(1) — Ле(1)К~~(1)], М[е~ЪГ~о(1)] = — Юе Я вЂ” К~(1)ое (1)], М[~(1)Ъ'~(1)] = — [Я~(с) — Ке(1)Л~(1)]. Подставим полученные выражения для моментов в уравнение (10.54) > Р = (А — КеС)Р+ Р(А — КеС)т + Яе — ЯеК"~— КОЯТ 4 КОД КОТ (10 57) Так как е(1е) = х(1е) — х(1е) = х — х, то имеем Р(зв) = М[е(1е)е~(ге)] = М[(х — х )(х — х )т] = Ре (10.58) Когда шумы объекта и наблюдения не коррелированы между собой (Бе = О), из (10.57) получаем Р = (А — КеС)Р+ Р(А — Коцт + Оо + Код Кот (10 5д) Введем новук> переменную (обратное время) т = 1у — й Тогда если положить Р(1) = Р(гу — т) = Р(т), А(1) = А(1у — т) = А(т), 384 Гл.
10. Анализ систем и сименса аатимальньи систем уаааелениа то уравнение (10.59) и начальное условие (10.58) примут вид — Р = (А — К С)Р+ Р(А — К С) + Я+ К~ВоК~~, Р(го) = Р(ту) = Ро Это уравнение совпадает с (10.37). Из леммы 10.1 и следствия вытекает, что диагональные элементы дисперсионной матрицы Р принимают минимальные значения, когда (см.
(10.40)) Ко РСтВо г (10.60а) Подставив это выражение в последнее уравнение, получим — Р = АР+ РА — РС К;, ~СР+ Цо, Р(го) = Р(ту) = Ро. (10.60б) Если вернуться к исходной переменной (времени), то соотношения (10.60) примут вид (10.35) К = РС~Рс ' Р АР+ РАт РСт — гСР+ Яо; Р(1о) = Ро. Так что теорема 10.2 в случае, когда управление отсутствует (и(1) = = О), доказана. Рассмотрим теперь случай и у': 0: х = Ах + Вп + Ио, у = Сх + Ъ'„. Представим вектор состояния в виде х = хц~ + х~-~, где хц> и х~ ~ подчиняются уравнениям хь ~ = Ахь ~ + ~го, хь ~(1о) = х, хь ~ = Ахь ~ + Вп, хь '(1о) = О.
Наблюдаемый вектор у также представим в виде суммы двух векторов: ~ц + (г) где уьг~ = Сх~~~, уьп = у — убб = Сх + Ъ'„— Сх~ 1 = Сх~ ~ + Ъ"„. Оценку х можно представить в виде х = х~" + х~ ~. Очевидно, для оценки х~ц имеем (случай и = 0) х~П = Ахц~+ К (убΠ— Сх00), х~~~(4 ) = хо.
Поэтому для оценки фазового вектора имеем х = хлц~+хбб = Ахц~+Ко(у"~ — Сх"')+Ахбб+В . Забавив в правую часть равное нулю слагаемое Ко(у~г~ — Сх~г~), получим х = Ах + Вп+ Ко(у — Сх). Збо 10.4. Фоль1пры Калмана — Бьюоо Начальное условие имеет вид )2) х()о) = х) ) ()о) + х (1о) = х . Теорема 10.2 доказана. Теорема 10.3 может быть доказана аналогично, но здесь ее доказательство не рассматривается. 10.4.2. Фильтр Кацмана — Бьюси цри цветном шуме объекта. Рассмотрим задачу линейного оптимального оценивания при условии, что шум объекта не является белым. Небелый шум называют цветным 1пумом. Постановки заг)очи. Пусть управляемая система описывается уравнениями хц) = Агхр) + Взп+ х1~) (го) = хо х ()о) = хо 12) 12) (10.61а) (10.616) хыя) = Азх)~) + Ъ'о у = С1хб) + зр„, где хо и хо случайные величины и Ъ о(1), Ъ"и(1) 11) 12) с вероятностными характеристиками М[х~ )[ = х~ ) М[(х) ) — х ))(х ) — х~ )) М[ )2)[ (2) М[( )2) )2))( (2) )2))т[ (10.61в) белые шумы = Рог, М[Ъ'о[ = О, М[1го(2)1Ро'(Г')] = С2о(1)б(1 — 1'), М[1Р„[ = О, М[Ч„(1)Ъ'„(1')[ = Л (1)6(1 — 1'), М[Ъ' (1)1Р„(1')[ = О; 1~о, Ро — положительно полуопределенные матрицы, По — положительно определенная матрица, случайные величины хо и хо не 11) 12) коРРелиРованы с шУмами зго(1) и ъ'„(1).
Требуется на основе наблюдения выхода у(1) на. интервале [1о, 1[ определить несмещенную линейную оценку хц)(1) фазового вектора х11) (1), обеспечивающую минимум среднего квадрата ошибки: ,7 = М[(хбц(г) — хц)(1))т(хц)(г) — хр )[ — 1 ш1п . (10.61г) х оц1) Здесь (10.61а) является уравнением объекта, в котором х12) цветной шум объекта; (10.616) уравнение формирователя, формирующего из белого шума 1Ро шум объекта х12); (10.61в) уравнение наблюдения. Преобразуем данную задачу в рассмотреннук1 выше задачу фильтрации с белыми шумами.
С этой целью введем следующие переменные 25 Д.П. Кям 386 Гл. 1О. Анализ систем и синоиев витимальньи сисоием управление с= Ос, о), с= [~), [~" " ~, а.=асс'. Используя их, сформулированную выше задачу можно переформулировать следующим образом: х = Ах + Вп + Ъге(~), х(1е) = х', (10.62а) (10.62б) (10.62в) Ко РСтВ-1 о Р = АР+ РА — РС Ве1СР+ оооо Р(1а) = Ро. Представим дисперсионную матрицу в виде блочной матрицы: Р Р1 Р12 Тогда, принимая во внимание введенные обозначения, матрицу коэффициентов усиления К и уравнения для оценки можно представить так: к'= [е е'[/с, оре-'= ~ ' ' ' ~= [~'[ хооо = Аохро+ Вон+ хбц+ К1(у — Сохб~), х10(Ха) = хаО, хбб = Азхбц+ Кз(у — С1хрп), хбц(1е) = хед ~. у = Сх+Ъ"„(1), У = М[х(1) — х(1)) (х(1) — х(1))) — 1 пшо, хоео где Ъ'а(1) = СЪ'во а фазовый вектор в начальный момент и шумы не коррелированы между собой и имеют следующие вероятностные характеристики: М[хе) = Хе, М[х' — хе)(хе — хе)') = Ре, М[Ъго] = О, М[Ъо(1)Ъгао(1)) = Оа(1)б(1 — ~ ), М[Ъ'„) = О, М[Ъ'„(1)Ън (с')) = Яа(ь)б(с — с').
Переформулированная задача является задачей оптимального оце- нивания с некоррелированными между собой белыми шумами объекта и наблюдения. Поэтому согласно теореме 10.2 для оптимальной оцен- ки имеем (см. (10.35)) х = Ах + Вп + Ке(у — Сх), х(1а) = х о 387 10..[. Фолшврьь Кавмана — Бьюео рователя Рис. 10.5. Структурная схема фильтра Калмана Вьюги при цветном шуме объекта Фильтр Калмана — Вьнюи при цветном шуме объекта помимо модели объекта включает еще модель формирователя [рис.
10.5). П р и м е р 10.8. Пусть уравнения объекта и наблюдения имеют вид хг = хг, хь[1о) = х„у = хг + 1в, ,о где хг стационарный случайный процесс [шум объекта) с характеристиками М[хг) = О, Ке,(г) = М[хг[1)хг[1+ т)] = — е начальное значение хог и шУм наблюдениЯ не коРРелиРованы ни между собой, ни с шумом объекта и имеют следующие характеристики: М[хог] = О, М[(хо)г] = ро, М[ьн] = О, М[ья[1)'ге[1+ т)] = гоб[т). 'Требуется определить оптимальную оценку.
Р е ш е н и е. Спектральная функция шума объекта может быть вычислена путем двухстороннего преобразования Фурье и представлена в виде 1 1 Я[ог) = 1 Ь„,г ]1 ьгчв]г' Отек>да для передаточной функции формирователя получаем 1 Иге[в) = —. в Ч- 1 Уравнение формирователя имеет вид Х2 Хг+ ью где Ъ~ - белый шум с нулевым средним и единичной интенсивностью: ьяо = 1.
В данном случае 25* 388 Га. 1О. Аннана снстасн и синньез антнмавьньи систем управления Фильтр Кацмана — Бьюси описывается уравнениями т~ = хг + йг(ц — тг), хг(ье) = О,. хг = уг + Й1(у иг) уг(10) = 0~ Где к1 = Р111ге, кг = Ргг )ге. Дисперсионное уравнение имеет следующий вид: или, в скалярной форме, г Ры —— 2 Ргг — Ры гв 1 Рм = Ргг — Рм — — РмРгы гв г Ргг = 2Ргг — Рм + 1 е При записи скалярных уравнений учтена симметричность дисперсионной матРицы (Ргг = Ргг).
Начальные УсловиЯ имеют вид Ргг(1о) = Ра, Рггсь1о) = О; Рггсь1а) = 1!2. 10.4.3. Фильтр Калмана — Бьюси при цветном шуме наблюдения. Рассмотрим задачу линейного оптимального оценивания при условии, что шум объекта является белым, шум наблюдения цветным.
Яе, Ре — положительно полуопредоленные матрицы; Ве — положительно опрсцеленная матрица; случайная величина х" не коррелирована с шумами Ъго(е) и зГ„(е). Требуется на основе наблюдения выхода у(е) на интервале 11е, 1) определить несмещенную линейную оценку х11) фазового вектора х11), Ластанавка задачи. Пусть управляемая система описывается уравнениями х = Ах+ Ви+ Ъ'а, х(ее) = х, (10.63а) у = Сх+и, (10.63б) я=Ли+У~, (10.63в) где х" . случайная величина и 1Га, ~г„белые шумы с вероятност- ными характеристиками М~хе) = хе, М[(х — х )(хо — х )г = Ра, М~~ге) = О, М~Ъ"о(1)Ъ'ао(1')) = Яо(1)д(1 — 1'): М~1г„) = О, М~~„®Ч„И')) = А,(1)д(1 — 1')., М1зУоЯ1с~Я~ = Яфб<1 1)' 10.4.
Филыпрм Калмана — Бычки обеспечивающую минимум среднему квадрату ошибки: ,7 = М[(х(1) — х(1))~(х(1) — х(1))) — > шш (10.63г) Я(0 Здесь (10.63а) является уравнением объекта, (10.63б) . уравнением наблюдения, в котором я цветной шум наблюдения, (10.63в) уравнение формирователя, формирующего из белого шума Ъг„шум наблюдения. Данную задачу преобразуем в задачу фильтрации с белыми шумами. Из уравнений (10.63) находим у = Сх + Сх + я = (С+ СА)х + СВн+ Рс + СЪ~в + Ъ'„.
Введем новый вектор наблюдения у = у — СВн †.Оу. (10.64) После подстановки сюда, выражений для у и у получим у = Сх+ Ъ'„, (10.65) где (10.66) С = С+СА — ОС, Ъг = СЪго+Ъ' . В преобразованном уравнении наблюдения (10.65) шум ЪГ„является белым, а его интенсивность Лс и интенсивность взаимной корреляционной функции его и шума объекта Яе определяются следующим образом: Ло = САоСт + ЯтСт + СЯ+ Ло; Яо = 9оС + Я.
(10.67) Из последнего равенства следует, что шум объекта Ъгс и шум Ъ'„ преобразованного уравнения наблюдения будут коррелированы, хотя шум объекта Ъ'е и шум Ъ'„на входе формирователя не коррелированы (У=0). Итак, если матрица Ле положительно определена, то оптимальный фильтр, согласно теореме 10.3, описывается уравнениями х = Ах + Вн+ Ке(у — Сх), х(1е) = х, (10.68а) Ко (РСт+ г )Л вЂ” з (10.686) Р = (-4 — БоЛо С)Р+ Р(4 — БоЛо С) — Лд СР+Оо — БеЛе Бе, Р(1о) = Ро. (10.68в) Новый вектор наблюдения определяется соотношением (10.64). Однако в это соотношение входит производная у; это делает нообходимым дифференцирование наблюдаемой переменной, что нежелательно.
Рассмотрим другой способ получения оптимальной оценки, исключающий необходимость дифференцирования. Введем вектор х, определяемый соотношением х=х+К у. (10.69) 390 Гл. 10. Анализ систем и синтез оптимальном систем упраелениь Продифференцируем это равенство по времени и подставим в него выражения для х и у из (10.68а) и (10.64) соответственно. Тогда получим х = (А — К С)х+ ( — К СВ)ц — (К + К Р)у или, принимая во внимание (10.69), = (А — КОС) + ( — КОСВ) + [(А — Кос'Ко — Ко — КОР] х(» ) = х - Ко(1 Г(1 ) (10.70) В последнее уравнение производная у не входит. Из ного определяется х, а затем из (10.69) находится искомая оценка.
Пример 10.9. Объект и наблюдение описываются уравнениями х = О, у = х + з; Мх(0) = О, М[хз(0)[ = Ро. 1Пум наблюдения является стационарным случайным процессом с характеристиками М[[=О, М[(1) (1+ )[=1е ". Уравнение формирователя имеет вид (см. пример 10.8) й = -з+ 'г'„, М[Ъа[ = О, М[г'„(1)Г„(ь')[ = д(1 — 1').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
