Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Анализ систем и сиигаеэ аптимальиьи систем управление х = (А — ВК*)х + К Се+ КаЧю (10.91) Здесь К' — Н вЂ” 1ВтК Вычитая из уравнения объекта (10.88а) уравнение для оценки (10.90а), с учетом (10.88б) получим е = (А — К С)е+ Ъ'а — К Ч„. (10.92) Запишем это уравнение совместно с уравнением для оценки (10.91) в виде одного уравнения х = Сх + НЪ', (10.93а) где КвС 0 К' Ч ° 110 930) Найдем корреляционную функцию К.-(1„1з) и дисперсию ььь(г) для рассматриваемого процесса.
По формуле Коши решение уравнения (10.93а) имеет вид х = Я(1,1о)х(1о) + ~Е($, т)Н(т)Ч(т) йт, ьь где Я(с,1в) нормированная фундаментальная матрица (см. (1.7)). Фундаментальная матрица удовлетворяет однородному уравнению (10.93а): г(1,1а) = Сг(1,1е). Х = ЛХ)х) = Я(1, Г~)М~х(М)~ = У(й, са)х (10.94) Так как то х = х — х = Я(ь, Тд)хЯ + ~Х($, т)Н(т)ЧЯ йт. управления при неполной информации сводится к двум задачам: к задаче синтеза фильтра Калмана. Бьюси и задаче синтеза детерминированной оптимальной системы.
Если шумы и начальное состояние подчинянзтся нормальному закону распределения, .то в результате такого синтеза получим стохастическую оптимальную систему., в противном случае (когда шумы и начальное состояние подчиняются другим законам) можно гарантировать только, что полученная таким путем система будет оптимальной в классе линейных систем. Доказательство. Докажем прежде всего, что ошибка е = х— — х и оценка х не коррелированы. Подставим в уравнение (10.90а) выражения для у из (10.88б) и и из (10.89а): 1>>.оц Стохастииесиие оигиималоиые системы 403 Поэтому для корреляционной функции в силу (10.55) имеем Кг(Ем 62) = М(е(о1)й (62)) = Х(1м оО)Рг(оО)Х (о2, оО) + г о,ог он(Ог>о, >н! >о>„>>г>о..>н>,>о>,»'о„о.Д.
!о !о Выполнив операцию математического ожидания под интегралом, гю- лучим Кг(о1~ о2) = Х(о!~ оО)Рг(оО)Х (о2~ оО) + >>! >г> + / Х(11,т)Н(т>Я(т)Н (т)Х~(12,т) 12-, где о'(с) интенсивность шума И(1). Отсюда, положив 11 = 12 = 1, для дисперсии получим Рг(!) = Х(о, и>)Ро(ио)Х ~Д1~) + /Х(сот)Н(т)Я(т)Н (т)Х~(1,т) с!т. (10.95) Используя тождество Х(12, т) = Х(62,11)Х(й1, т) (см. (1.8а)), при 12 > > 61 формулу для корреляционной функции можно преобразовать следующим образом: Кг(И! ~2) Х("1~~0)Р (~0)Х (~1~10)Х ("2~~1) + >! +~Х(1„2)Н(т)и(т)Н'(т)Х (1„т) АХ (~,Л,) гг >о = Х(1„10)Р (10)Х (1„2.)+ !! о /г>о..>н>,>о>,>н'>,>г'>о..>о,/ г'>о,о>, >о или, учитывая (10.95), К (21 22) — Р (21)ХТ( 2 11) 22 > 11 ° Аналогично, используя тождество Х(11, г) = Х(11, 12) Х(12, т), при 11 ~ )12 полУ!им Кг(~1~~2) Х( 1~~2)Рг(~2): ~1 3 ~2 Рг(о1)Х (о2~11)~ о2 3 о>~ Кг (~! ~ ~2) Х(11,12)Рг(12), 1~ > Е2.
г (10.96) 26* Запишем полученные выражения для корреляционной функции в виде одной формулы: 404 Гл. 1й. Анализ светаем и синньез оптимальном систем риравленив Продифференцируем обе части равенства (10.95) по й Рь(1) = Х(1,1с)Ре(св)Х (1,1е) + Я(1.,1е)Рь(ое)Я (1,1е) + +Н(1)В(1)Нт(1)+~я(1, )Н( )В( )Нт( )г (1, )А + оо + /Я(1,т)Н(т)Я(т)Н (т)Я~(1,т) 6т. ьо Подставив сюда выражение для производной фундаментальной матрицы из (10.94) и учитывая соотношение (10.95), получим Р СР +Р С+НВНт (10.97) Найдем интенсивность Я шума И (см. (10.93б); йу(17(1)~т(1 )) = л4 "в(1) "е(",) М ~Ътс(о) ос (ь ) отс(о)он (1 ) ) ~б~1с(ь) 0 1 . 0 98 ~,Ч„~ДЧ,(В) Ч„(1)ЗУт(В)) ~ О Н (1)3 ( Представим дисперсионную матрицу Р. в виде блочной матрицы: Используя зто представление и соотношения (10.93б) и (10.98), уравнение (10.97) можно записать следующим образом: Р21 Р22 К С А — ВК' Р21 Р22 Рзь .Рзз КсС А — ВК* Ке сз 0 г Ко Так как нас интересует корреляция между оценкой и ошибкой, выпишем уравнение для взаимной дисперсионной матрицы: Р„= (А — К С)Рш+ Рш(А — ВК') +РыС К~~ — К ВвК"~.
Так как Ры = Р и К~ = РСтйе~, то последние два слагаемых сокращаются, и уравнение становится линейным и однородным. И силу начального условия Р1з(1в) = М(е(1а)х~(1в)) = О оно имеет единственное решение Рзз(с) = О. Следовательно, оценка и ошибка не коррелированы. 10.4. Стояастииесиие оитимааоиые системы 405 Теперь преобразуем критерий оптимальности.
Как легко проверить, если а и Ь являются произвольными векторами (столбцами) одинакового размера, то имеет место равенство а Ь = аг(Ьа ). Используя это равенство, получаем М[е~Яе] = 1г М [ее~11] = сг (РС1), М[е~Ях] = Фг М [хе~ ос] = 1у (РузСе) = О. В силу этих соотношений имеем М[х у,ух] = М[(х — х+ х) 1,у(х — х+ х)] = = М[е~о,)е] + 2М[е~у',ух] + М[х1;)х] = Фг (РЯ + М[х~Цх], М[хт(11)Рх(1у)] = сг(Р(11)Р) + М[хт(11)Рх(11)]. Поэтому критерий оптимальности можно преобразовать к виду уу уу у=и[о'Оеуоае+/(о'аоо 'и )а]+о[осего "еау~], уо уо Второе слагаемое не зависит от управления, и его можно отбросить. Таким образом, исходная задача свелась к задаче стохастического оптимального управления с полной информацией (10.84) х(са) = х; х = Ах+ Вц+ К (у — Сх), уу у=и[ 'осу,ас:,-)( 'о,о 'о )ю] и уо Здесь слагаемое Ка(у — Сх) соответствует шуму объекта 1са.
И если это слагаемое или у — Сх является белым шумом, то решение этой задачи, как следует из теоремы 10.4, определяется соотношениями (10.89). Так что осталось показать, что невязка у — Сх является белым шумом. Невязка будет белым шумом, если интеграл от нее, или стохастический процесс у1(1), определяемый уравнением у) = у — Сх, п(1е) = О, является процессом с ортогональными приращениями, т. е, его корреляционная функция имеет вид (10.5). Чтобы доказать это, рассмотрим совместно процессы у1(1) и е(с) .
Подставив выражение для у, последнее уравнение можно преобразовать к виду у) = Се + Ъ'м. Это уравнение совместно с уравнением (10.92) для ошибки можно опять записать в Виде й = 6 я + ОУ, где е ' О А — КС ' 1 — К ' 1У 406 Гл. 1О. Анализ систем и сингпев вптимальньи сисгпем управление Лисперсионное уравнение (10.97) в данном случае примет вид Р СР + Р Ст+ Кбайт Если дисперсионную матрицу представить в виде Р Р11 Р12 то последнее уравнение можно записать следующим образом Здесь Р» --.
дисперсионная матрица случайного процесса 21(1), Ргг дисперсионная матрицаошибки (Ргг = Р), Р11(20) = Р12120) = = Рм(10) = О, так как 21(10) = О. Из уравнения (10.99) имеем Р» =СВ12+Р,2С +Ла, Р11(10) =О, Ргг = СР22+Р121А — С К ) — МОК, Р12(10) = О. В силу равенств Ргг = Р и Ка = РС~гса в правой части второго уравнения парное и последнее слагаомые сокращаются. Поэтому оно становится однородным и в силу нулевого начального условия имеет единственное решение Ргг(с) = О. Уравнение для Р» принимает вид Р» = Л,, Р„(10) = О. Ращение этого уравнение имеет вид Р» = АККО( )пт. Пля корреляционной матрицы имеем (см. (10.96)) К-,(11,1 ) = ~ (10.100) ~(~1 ~2)Ри1 2)) ~1 ~2 Здесь Л(1, 10) — — нормированная фундаментальная матрица уравнения х = Ск, Р 0 А — КС + Р11 Ргг Рг1 Ргг +1 Ко ~й й:1.
! 0 0 Ст Ат СтКОТ 0 Лс 1 — Кат Р»(80) Ргг(10) ~0 0 1 Р21(ьа) Ргг(ьа) 1 10.5. Стохастииесиие оптииааьиые систедыг 407 или (10.101) е б А — Кос е Представим фундаментальную матрицу Я(2, 1о) в виде блочной матрицы; е'11(с: со) г'12(с 0) ~ г'21(с со) г'22(1~ 20) ~ Тогда решение однородного уравнения (10.101) можно представить в виде т~(2) = 211(2,!0)Ч(20) + Аг(2,20)е(20) е(1) = 721(Х 10)Ч(20) + тгг(2, 1о)е(го), С другой стороны, из уравнений (см. (10.101)) е = (А — КОС)е, г) = Се находим е(с) Е22(2~ со)е(со) 27(с) 22(со) + ) Егг ('г, 10) с1те(со) где Егг(2,20) . нормированная фундаментальная матрица первого из двух приведенных уравнений. Поэтому имеем 211(2, 10) = 1, 212(с со) = ( Егг(т, со) с(т, м дг~(2~ 1~) = б~ ~22(2~10) = Е22(2,10).
Представим корреляционную матрицу Кг(21,4) в виде блочной матрицы; К11(с1., сг) К12(11, 12) Кт(21 12) = К21(с1, сг) Кгг(сг, сг) Используя также блочное представление матриц Рг(2) и г (2, со), из (10.100) для корреляционной матрицы К11(Х, 2о) находим: при 11 ~ ~12 К11(11, 22) = Р11(11) Я11(12~ 11) + Р12(11)д21(12 11)! при 12 < 21 Кы(21,22) = Лп(21,12)Рп(22) + Аг(21 22)Р21(12). Так как Ргг(с) = Р21(2) = 0 и г 11(2, 1о) = 1, то, объединяя полученные соотношения для корреляционной функции Км(со со), получаем ) Р„(21) = К„(2„21), 21 < 1„ К11(11, 22) = ~Рм(22) = Кп(22,22), 22 < 21.
408 Гл. 10. Анализ систем и синтез внтимальньи систем управление Матрица Кы(11, 12) является корреляционной функцией для процесса 21(1) и имеет вид корреляционной функции для процесса с ортогональными приращениями (10.5). Следовательно, разность у — Сх является белым шумом, что и требовалось доказать. Задачи 1. Определить систематическую и среднеквадратическую ошибки системы (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
