Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 74
Текст из файла (страница 74)
+ (а„— аоап)У. Так как во все коэффициенты входят неизвестные параметры, заменим их варьируемыми параметрами )с,, (1 = 0,1,...,и). Тогда получим алгоритм управления (11.17а). Подставив выражение для управления (11.17а) в уравнение объекта (11.12), получим уравнение основного контура (п) -т (и — 1) аОУ =й Ч вЂ” (а1 У +...+аиУ). (11.19) 1д2. Авгврнгимм идитлнвнвгв рнрвввеннв с ЭМ 423 Как легко проверить, это уравнение совпадает с уравнением эталонной модели, когда 1со = во — — ао(1о, й = йэ = и; — аоа,, 1 = 1, 2,...,п, (11.20) Таким образом, алгоритм управления удовлетворяет требованию принятия варьируемыми коэффидиентами регулятора идеальных значений. Теперь, чтобы доказать глобальную устойчивость и сходимость ошибки е(1) = у(1) — у (1) к нулю, получим для синтезированной системы уравнения в отклонениях.
Вычтем из обоих частей уравнения (11.19) выражения Си) сн — 0 ио[ у „— (аз е +... + аое)[. Тогда получим св) (в- М -т (и — 0 ио(е +ас е +...+а„е) = й ч — (и, у +...+и„у)— 00 (и — 0 — ио[ р,„— (ас е -~-... +а„е)). Учитывая уравнения эталонной модели (11.13) и обозна сенин (11.20), последнее уравнение можно преобразовать к виду ж 0-0 ио(е +аз е +...+а„е)=1с ч — 1с* ч, или (н) (н — З) е +ас е +...+иве= — Ь1с ч. ио (11.21) )т Если записать уравнение (11.21) в нормальной форме, то оно примет вид х = Ах+ В( — Ыс~ч), (11. 22) где А и В ". ранее введенные матрицы (11.16) и (11.14) соответст- 0 т венно, х=(ее ...
е )т. Так как 1с* является вектором постоянных параметров, алгоритм адаптации (11.176) можно записать в виде Ь1с = — з1яп(ио)ГчВ Рх. (11.23) Таким образом, адаптивная система управления в новых переменных описывается уравнениями (11.22) и (11.23). В качестве кандидата на функцию Ляпунова рассмотрим квадратичную форму Г(х, Ь1с) = [х Рх+ — Ь1с~Г Ь1с). (11.24) [" [ Здесь Г --- произвольная положительно определенная матрица, Р .-- решение уравнения Ляпунова (11.15). Так как матрица А устойчива, решение указанного уравнения существует.
424 Гли 11. Адаптиеные системы уприееения Производная по времени от функции (11.24) имеет вид 2хтрх + 1г 1етг — ~1~)с )ао) После подстановки выражений производных из (11.22) и (11.23) последнее соотношение можно преобразовать к виду 1' = 2хтРАх = хт(РА + Атр)х Принимая во внимание то, что Р является решением уравнения Ляпунова (11.15), можем записать = — х~Цх ( О. (11.25) Отсюда следует, что квадратичная форма (11.24) является функцией Ляпунова для синтезированной адаптивной системы управления, и эта система устойчива по Ляпунову. В соотношении (11.25) стоит знак нестрогого неравенства, хотя матрица Я положительно определена, так как функция Ляпунова е' зависит не только от фазового вектора, но и от вектора параметрических ошибок Ьк.
Так как Г(х,ез1г) ) О и Г(х,1з1г) ( О, то функция Г(х,Ь1с) и соответственно переменные х и Ь1с ограничены. Так как по условию вектор сигналов ч ограничен, то из (11.22) следует, что производнал х и соответственно вторая производная Ё = — 2хт1,)х ограничены. Поэтому производная К(х, Ь1г) равномерно непрерывна, и по лемме Барбалата Г(х, Ь1с) и соответственно (как следует из (11.25)) х и е = кз стремятся к нулю при 1 — э оо. Пример П.1.
Объект описывается уравнением аоУ + аП) + азУ = и, где ао,. аз, аз — — неизвестные параметры. ;уравнение эталонной модели имеет вид ут + 2ут + у = у(1). Определить алгоритм адаптивного управления, обеспечивающего ограниченность всех переменных и сходимость ошибки е = у — ут к нулю при 1 — > оо. Решение. В данном случае оз —— 2 и сеэ — — 1, матрицы А и В имеют вид А=( ), е= Уравнение Ляпунова Рзз Рзз — 1 — 2 1 — 2 Рзе Рзэ О 1 после перемножения матриц, принимает вид ! — Ры Ры — 2Рш ~ ~ — Ры + — Рвя 1 Π— Рзя Рзз — 2Рзз ) ~Є— 2Рэе Ргз — 2рэ О 1 1Д2.
Авгоритпавт идантпивного управления с ЭМ 425 Это уравнение, учитывая равенство р>г = рг>, можно записать в виде системы — 2Р>г = — 1, рм — 2р>г — ргг = 0 2Р>г — 4ргг = — 1 Эта система имеет следующее решение: 1 1 Р>г = 2~ Ргг = 2~ 3 Р» 2 Поэтому матрица Р имеет вид 3>2 1>2 1 3 1 В данном случае ч = (д у у) и х = (е е)т. Зля алгоритма адаптивного управления в соответствии с (11.14) получаем и = к'ор + п>У + кгттб Ит (р) — ь 1"(Р) — )т Р Е ">Р " +)>"-> (11 2б) Ло(р) р" '-а>р" > -Ь...
~-а„ и выбрана эталонная модель с передаточной функцией )4н(Р) ~м ~н „> (11.2~) Я(р) ' р" +о>р" >+...+о„ йо, )>, (т = 1, 2,..., и — 1), аь (й = 1, 2,..., и) неизвестные параметры объекта., знак йо известен; Р, (р), Лто(р) -- устойчивые полиномы 11.2.3. Адаптивное управление по выходу линейным объектом с единичным относительным порядком. Выше был рассмотрен случай, когда в уравнение объекта не входили производные управления, или, что то же, когда относительный порядок передаточной функции объекта был равен ее порядку и все фазовые координаты были доступны измерения>.
Однако обычно не все фазовые координаты доступны измерению. И чтобы получить их, нужно дифференцировать выходную переменнун>, что нежелательно из-за помех, которые при этом возникая>т. Ниже рассматривается адаптивное управление по выходу, т.е. такое управление, при котором в алгоритмах управления и адаптации используются только входной и выходной сигналы объекта и сигналы, получаемые путем их фильтрации. Постановка задачи.
Пусть задан объект с передаточной функцией 426 Гл. 11. Адаптивные системы управления и передаточная функция И'„(р) является строго вещественно положительной. Требуется определить алгоритм адаптивного управления, при котором система глобально устойчива и ошибка е(1) = у(1) — у (1) стремится к нулю при 1 — > оо. При этом в алгоритмах управления и адаптации должны быть использованы только доступные измерению сигналы (задающее воздействие, входной и выходной сигналы объекта) и сигналы, которые получаются путем их фильтрации, т.е. сигналы на выходе фильтров, на вход которых подается указанные сигналы. Принимается, что уравнения фильтров в нормальной форме Коши имеют вид 1 О ...
О О 1 ... О О О О О (11.29) О О О О ... 1 )1п — 1 Рп — 2 мп — 3 Р1 где в последней строке матрицы Е стоят коэффициенты полинома числителя передаточной функции эталонной модели. Утверждение 11.3. Алгоритмом адаптивного управления с ЭМ (11.27) линейным объектом (11.26), обеспечивающим глобальную устойчивосгаь и сходимость ошибки е(1) = у(1) — у (1) к нулю пра 1 — > со, является и =Ъ, ч + 1с, х + йду + йду, 1с„= — в18п (йо)уче, 1с, = — з18л (йо)'ухе, йд — — — в18п(йо)7Уе, й = — в18п(йо)ууе, где 1г„= (йы йьг ...
йьп з) и й» = (й„з йся ... й,п з)~ ". векторы вау>ьируемых параметров регулятораь йд и йд скалнрньле варьи- руемые. параметры регулятора; ч = (оь ия ... и„. з) и х = т = (гь гэ ... е„з)~ - . выходы удильтров (11.28а) и (11.28б) соот; ветственно. Используя обозначения 1г = (1г,, 1г йд йд) , эч = (ч х у у) ч = Еч+Еи, (11.28а) х = Ех + Ру. (11.28б) Здесь ч = (иг ог ... оп ь) - .
(и — Ц-вектор переменных, получаемых путем фильтрации входного сигнала (управления) объекта; х = (гь гг ... г„д) --. (и — 1)-вектор переменных, получаемых путем фильтрации выходного сигнала объекта; Е ((и — 1) х х (и — 1))-матрица, Š— ((и — 1) х 1)-матрица, и они имеют следующий вид: 162. Аогораганы адатлнвного управления с ЭМ 421 алгоритмы управления и адаптации можно представить в следующем >т (11.30а) 11 = — з18п(йо) уи е. (11.306) Далее при доказательстве будем пользоваться этой более компактной формой записи. Структурная схема основного контура в данном случае содержит обратную связь по выходу и обратную связь по управлении> (рис.
11.5) . Если записать уравнение (11.28а) в скалярной форме, то оно примет вид Оа — 2 ип — 1~ и2 — из~ и1 — и2~ йа — 1 = и ~Р— 1и1 >го — 2и2 >о1ип — 1 ° Отсюда следует, что структурная схема обратной связи регулятора по управлению имеет вид, представленный на рис.
11.6. Такую же Рис. 11.5. Упрощенная структурная схема основного контура и> Рис. 11.6. Структурная схема обратной связи по управлению структуру имеет внутренняя обратная связь по выходной переменной. Из последней системы, исключая последовательно из, из,..., о„ получим 1 1 р"-' -> Яр"-2 + "-Ь 0о — Р. '1р) Для остальных переменных, учитывая их связь с о>, находим ,— 1 и,= " и, 1=23,...,п,— 1. Р <р) 428 Ггп 11.
Адаптиеные системы упраеоения Следовательно, имеем Кт аког + йогр+ ° ° ос гй — гр" иг —— Йе ив и. (р) (11.32а) Аналогично можно получить Рис. 11.7. Структурная схема основного контура; а исходная схема; б преобразованная схема а относительно входа У и выхода Уг обозначение Игя. Тогда стРУктурную схему основного контура можно представить так, как это показано на рис. 11.7, а. Из уравнений (11.32) для передаточных функций Иси и И'я находим И о (Р) = Р ., ~ и (Р) = 1"'ю г + )еигР + - . + )сон — гр И я = ~ Ря1Р) = аог + аягр+ ° ° ° + аяп — гр Передаточные функции И'г и Исг на преобразованной схеме (рис. 11.7, б) имеют вид 1 Р, (р) 1 — И' Р (р) — Р ер) 'а.яР (р) + Ро'гр) я+ Р (р) Найдем передаточную основного контура И; я относительно входа д и выхода у: но Рт 1р) но Ро 1р) йуИ:,И'о — (Р (р) — Р ИЛ Ж вЂ” й Р ЬН1,Р (р) -ьР„(р)) ит у.
+ уегр + ... + й-- р (11.32б) Уг = г — Р ( ) У. Прежде всего покажем, что при законе управления (11.30а) варьируемые параметры могут принимать идеальные значения. Введем для передаточных функций обратной связи основного контура (см. Рис.
11.5) относительно входа и и выхода иг обозначение Иги, 1Д8, Алгоригвны одовтвеного унроооенвя с Эо1 429 Если положить 1со1 = ~<;,г — — )до-1 — йо-1, йог — ~ог мп — 2 бо — 2 Кое — 1 — в„в Π— д1 — (оо, где я(р) = р" + (аз — Ио(ст)рв ' + (аз — йо((окд+ й-„з)]р" з+ .. + ао йорк)до — г + Ь" з).
Отсюда следует, что имеет место равенство И;,д —— Игм, если йо =й'= — "', ко' йо = й* = Йо ко й„= й*, = "'* "" — й'Д„,. йо (11.33) Таким образом, при законе управления (11.30а) его параметры могут принять идеальные значения. Для доказательства устойчивости системы при алгоритме (11.30) получим уравнения в отклонениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
