Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Пусть (с* .-- вектор идеальных параметров и Ьк = к — (с*. Алгоритм (11.30а) при подстановке к = Ь(с + (с* принимает вид н = 1с' як+ Ь1с зк. При таком представлении алгоритма управления структурную схему основного контура с переменными параметрами можно представить Рис. 11.8. Эквивалентная структурная схема основного контура в ниде эквивалентной схемы (рис. 11.8), рассматривая Ьктиг/й* как внешнее воздействие. Так как при идеальных значениях параметров регулятора передаточная функция основного контура идентична передаточной функ- то Р,(р) — Р„(р) = Ро(р), и в знамонателе полинам Ро(р) можно вынести за скобки и сократить с подобным членом в числителе. Тогда после подстановки в знаменателе выражений для Р„(р), Р (р) и Л (р) получим к,коР (р) Е(р) Глп 11. Адаптиеные системы упраеаение ции эталоннои модели, из эквивалентнои структурнои схемы находим у = И"и(р)д(1) + И' (р) 1" или, учитывая (см.
(11.33)) равенство й* = Йм/Йе, („)+Ие ( )(ие )~т ) (11.34) Из последнего уравнения, принимая во внимание равенство уп, = И' (р)д(1), получим И, ( ) ( 1'о 111ст ) Запишем это уравнение в нормальной форме Коши: х = Ах+ ВйеЬ1с~зи, (11.35а) е=сх (11.35б) Здесь х = (тс тз ...
иа)т — вектоР состоЯниЯ системы, с = (11„ ... Вс 1)т, А и В --- ранее введенные матрицы (11.16) и (1.14). Так как 1с' является постоянным вектором, то имеем (с = ег1с. Поэтому алгоритм адаптации (11.30б) можно записать в виде й1с = — з18ц (1со)'уъ'е. (11.35в) Так как Ие (р) по условию является строго вещественно положительной передаточной функцией, по теореме Калмана — Якубовича существуют положительно определенные матрипы Р и 11 такие, что выполняются равенства АтР+РА Ц, РВ = с.
(11.36) В качестве кандидата на функцисо Ляпунова выберем квадратичную форму И(х, ее1с) = хтРх+ (1е~Ь1ст у ~ез1с, где у произвольное положительное число. Производная по времени от этой функции в силу (11.35а) и (11.35в) имеет вид Г хт(АтР+ РА)х+ 2хтРВйе1з1стуу 2~ Ь1стиее Учитывая (11.36) и (11.35б), ее можно представить в виде Г(х,. Ь1с) = — х"цх < О. Следовательно, система управления при адаптивном управлении (11.30) устойчива по Ляпунову.
Так как И > 0 и Ъ' < О, функция Ляпунова и соответственно переменные х и ез1с ограничены. При ограниченном д(1) производная й и соответственно Ё = — 2хтсэх ограничены. Поэтому по лемме Барбалата г' -+ 0 и соответственно стремятся к нулю фазовый вектор х и ошибка е = с х при 1 — э оо. Так как матрица Е в (11.28) устойчива, то и остальные переменные ограничены.
1д2. Аггоритплм адаптпвного рприглгьая с ЭМ 431 Пример 11.2. Пусть объект и эталонная модель задаются передаточными функциями г-~-щр-~-а,' г ~~рг-~-3р-~-2' где Ье, Ьы аы аг --- неизвестные параметры; знак йг известен: Ье > О. Требуется определить алгоритм адаптивного управления, обеспечивающего глобальную устойчивость системы и сходимость к нулю разности между выходами системы и эталонной модели. Решение. Передаточная функция эталонной модели является строго вещественно положительной, так как она устойчива и вещественная часть частотной передаточной функции при любой частоте ы > 0 положительна: 2(1+ ы~) В данном случае п = 2, Д = 1, и уравнения (11.28) принимают вид Ь=-с+и, й=-г+у.
Алгоритмы управления и адаптации (11.30) принимают вид и = Игр+ Ь,г+ И„у+ И р, Йэ — — — 7Уе, Йг — — — 7дс. Йг = — уие, 11.2.4. Адаптивное управление по выходу линейным объектом с относительным порядком, превышающим единицу. Постановки эидичи. Пусть задан объект с передаточной функцией Рг(р), р~'+ Ь~р"* '+... +Ь Вг(р) р + азр" ' + ... + а„ (11.37) и выбрана эталонная модель с передаточной функцией где йе, Ь, (~'. = 1,2,...,т), ая (Ь = 1,2,...,п) неизвестныепараметры объекта, знак Ье известен: Р„,(р), 1Ь (р) устойчивые полиномы; передаточные функции объекта и эталонной модели имеют один и тот же относительный порядок, который больше единицы.
Требуется определить алгоритм адаптивного управления, при котором система глобально устойчива и ошибка е(1) = р(1) — р (1) стремится к нулю при 1 — э оо. При этом в алгоритмах управления и адаптации должны быть использованы только доступные измерению сигналы (задающее воздействие, входной и выходной сигналы объекта) и сигналы, которые получаются путем их фильтрации, т.е.
сигналы на выходе фильтров, на вход которых подаются указанные сигналы. Гл. 11. Адаптивные системы управления Введем в рассмотрение полипом Е,е(Р) = 1'л~(р)й(р) = р" + Яро + + ~3„'г ы (11.39) где Р~ (р) . — устойчивый полипом порядка п — 1 — т. Уравнения фильтров в нормальной форме Коши имеют вид й = Еи + Ри, (11.40а) х = Ех + Еу. (11.40а) Здесь и = (ос из ... о„з) — .
(и — Ц-мерный вектор переменных, получаемых путем фильтрации входного сигнала (управления) объекта; и = (гп гг ... г„з) (и — 1)-вектор переменных, получаемых путем фильтрации выходного сигнала объекта; Е . ((и — 1) х х (и — 1))-матрица, Р Нп — 1) х 1)-матрица, и они имеют следующий вид: 0 1 0 ... 0 0 0 1 ...
0 0 1 0 0 ... 1 с'и — 2 )Пе — 3 ' ' ' 13( где в последней строке матрицы Е стоят коэффициенты полинома (11.39), а не числителя передаточной функции эталонной модели, как это было при единичном относительном порядке. В данном случае в алгоритме адаптивного управления помимо векто а сигналов Р %'=(и х у у) используется преобразованный вектор сигналов й = И~м(р)ис. Утверждение 11.4. Алгоритмом адаптивного уесравления с ЭМ (11.38) линейным объектом (11.37), обеспечивающим глобальную устойчивость и сходимость ошибки е(1) = у(1) — у,„(1) к нулю при 1 — ь со являепвея 1т (11.41а) в18в (ве) уе зя (11.41б) 1-Ь (Ж)е Р= 1 + (зя)а ' (11.41в) йс = Игм(р)и, (11.41г) 1стИс ( ) Иг ( )(1 т (11А1д) е = е+рпм (11.41е) где у произвольная полозкительная константа; 1с вектор варьируемых параметров регулятора; р --- дополнительный переменный параметр, который вычисляется в процессе адаптации:, у вспомогательная ошибка, е --- комбинированная ошибка.
11.2. Алгорипзглы адатппвпвгв управления с ЭМ 433 Комбинированнукв ошибку также называют расширенной ошибкой ~45). Структурные схемы основного контура и обратной связи регулятора имеют вид, представленный на рис. 11.5 и рис. 11.6. Показательство. Преждевсегопокажем,чтоварьируемыепараметры алгоритма управления (11.41а) могут принимать идеальные значения. Как было показано, структурная схема основного контура может быть преобразована к виду, показанному на рис. 11.7.
И так как роль полинома Р,„(р) в данном случае играет полипом ~Р„(р), то передаточная функция И'ув принимает вид йдР (р)йвРв(Р) )Р' (р) — РПЯКв(р) — йвРв(р)~йяР' (р) -ь Рвбв)) Так как (см. (11.39)) Р' (р) = Р,„(р)Р,(р), то для того чтобы пере- даточнаЯ фУнкциЯ основного контУРа Игуу была Равна пеРедаточной функции эталонной модели И'„, нужно, чтобы существовали такие значения варьируемых параметров к,з (1 = 1,2,...,и — 1), йы (1 = = 1, 2,..., п — 1) и Йя, при которых имеет место равенство — ) Л вЂ” йг~'Ы"„, + Ря) = Л-Р Рэ Такие значения параметров существуют и однозначно определяются из этого соотношения ~69). Так как относительный порядок передаточной функции эталонной модели, как и относительный порядок передаточной функции объекта, должен быть больше единицы, то эталонная модель не может быть выбрана так, чтобы ее передаточная функция была вещественно положительной.
Поэтому функцию Ляпунова нельзя строить так, как это делалось при единичном относительном порядке. Так как алгоритм управления и структура основного контура совпадает с алгоритмом управления и структурой основного контура адаптивной системы управления с объектом, имеющим передаточную функцию с единичным относительным порядком, то снова можно получить для выходной переменной д уравнение в виде (11.34).
Поэтому для ошибки слежения опять получим е = р — у,„= И'„,(р) ( — гз1с зу) . (11.42) Алгоритм адаптации в данном случае не может быть выбран в виде (11.306), так как передаточная функция эталонной модели не является строго вещественно положительной. Поэтому для получения алгоритма адаптации используется так называемый метод комбинирования ошибки (еггог апйшеп1абоп) ~69]. Основная идея метода состоит в введении новой ошибки, представляющей собой линейную комбинацию ошибки слежения и некоторой вспомогательной ошибки.
Вспомогательная ошибка (апх111агу еггог) г1Я строится следующим образом: )стИ, ~р) Иг ~ )~)ст (11.43) 28 Д.П. Ким Пп УД Адиплл~иеные системы упраепения Эта ошибка может быть вычислена в процессе функционирования системы (так как вектор варьируемых параметров 1с и вектор сигналов зи доступны измерению) и использована для управления. Она обращается в нуль, когда к = 1с*: 1с' Ил„(р)зи — И'м(р)1с* зи = О. Последнее равенство возможно, так как постоянный вектор и' во втором слагаемом можно вынести из-под действия оператора И'м(р). Таким образом, лу(2) косвенно характеризует параметрическую ошибку. Вычитая из правой части (11.43) левую часть последнего равенства, получим уу(1) = лУлк.'Илм(р) м — И'„(р)(л51с~зи). (11.44) Комбинированная ошибка определяется следующим образом: е(1) = е(1) + р(л)лу(л), где ул(1) -- дополнительный параметр, определяемый в процессе адаптации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
