Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 73

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 73)

11.2.1. Алгоритм адаптивного управления линейным объектом 1-го порядка. Начнем изучение метода синтеза адаптивных систем управления с ЭМ со случая, когда объект описывается линейным уравнением 1-го порядка (11. 1) у + по у = бои. Здесь у — выход, и вход (управление), ао, бо . неизвестные параметры, знак параметра Ьо известен. Пусть на основании заданных требований к синтезируемой системе выбрана эталонная модель, которая описывается уравнением Ут + агу~о — ~доУЯ (ело~ Ро л 0) (11.2) 27 Д.П.

Кям 418 Гл. 11. Адапгпивныс системы управления где у,„- — выход эталонной модели, у(1) — — задающее воздействие, которое предполагается ограниченным. Требуется найти алгоритм адаптивного управления, при котором ошибка сложения е(1) = у(1) — ую(1) — р 0 при 1 — р оо и система глобально устойчива. Утверждение 11.1. Алгоритмом адаптивного управления с ЭМ (11.2) объектом (11.1), обеспечивающим глобальную устойчивость и выполненно целевого условия (11.3), является алгоритм управления и = Йрр + Аду (11.4а) совмесгпно с алгоритмом адаптации Ьр —— — з18п (Ьо)ууе, Ьд — — — в18п (Ьо)79е, (11.4б) где йр, Ьд — варьируемые параметры, 7 -- произвольная положительная константа Показательство.

Как отмечалось, при адаптивном управлении с ЭМ одним из основных требований является возможность принятия варьируемыми параметрами регулятора идеальных значений, т. е. таких значений, при которых уравнение основного контура совпадает с уравнением эталонной модели. Покажем, что алгоритм (11.4а) удовлетворяет этому условию. Подставив выражение для управления (11.4а) в уравнение объекта (11.1), получим уравнение основного контура У + (ао Ьокр)У: Ьокд9' (11.5) Это уравнение совпадает с уравнением эталонной модели (11.2), когда (1 1.6) Палыче, чтобы можно было использовать метод функций Ляпунова, преобразуем уравнения синтезированной системы управления в уравнения в отклонениях переменных е, Ьйр, сзкд, где 11йр: И й, 11йд — Ьд й (11,7) Так как Й* и Й* являются константами, алгоритм адаптации (11.4б) можно записать в виде 1лйр —— — з18п16о) 79е, .схйд —— — в18п (Ьо) 79е.

(11.8) Лля получения уравнения для переменной е вычтем из уравнения основного контура (11.5) уравнение эталонной модели (11.2): е+ (ад+ Ьойр)У вЂ” едоры = Ьвйду — 0оу Прибавив и вычитая из левой части ероу, получим с+ едое — Ьо(кр — )У = Ьо(кд — ) 9 Ь Ьв 11.Я. Алгорнтпны одотпнвного упроввеноя с ЭМ 419 Учитывая обозначения (11.6) и (11.7), последнее уравнение можно представить в виде е = — аое+ 6о(~йду + ~1йдд). (11.9) Итак, адаптивная система управления в новых переменных описывается уравнениями (11.8) и (11.9).

В качестве кандидата на функцию Ляпунова рассмотрим квадратичную форму 'д'(е, лй) = — ~е + — (1зп + Ьй„)], (11.10) где 1Ж = (Ьйо Ь1од)~. Производная от этой функции по времени имеет вид + о ~~й йй +йй йнэ ) 7 Подставив в правую часть выражения для производных из уравнений адаптивной системы управления (11.8) и (11.9), получим Ъ' = — аоег ( О. Таким образом, квадратичная форма (11.10) является функцией Ляпунова для синтезированной системы, и эта система устойчива по Ляпунову. Так как Ъ'(е, Ьк) > 0 (положительно определена) и Г < О, функция Г(е, ЬЙ) и соответственно переменные е, Ьйд(йд) и 1зйд(йд) (см. (11.10)) являются ограниченными.

Кроме того, квадратичная форма Г(е, еЖ) как функция времени стремится к конечному пределу при 1 — д со. Так как по условию задачи задающее воздействие д(1) ограничено, то, как следует из (11.9), производная е и соответственно вторая производная Ё = 2аоее ограничены. Следовательно, первая производная д' равномерно непрерывна, по лемме Барбалата д' -о 0 и, как следствие, е11) -о 0 при 1 -о со.

Из приведенного анализа следует, что ограниченность переменных и сходимость ошибки слежения е(1) к нулю гарантируется при любых положительных 70 ао и 1оо. Параметпричесмая соодимосгаь. При адаптивном управлении с ЭМ основное целевое условие это обеспечение сходимости к нулю ошибки слежения е(1) = у(1) — у„,(1). Если параметры регулятора принимают идеальные значения, то, естественно, это условие будет выполнено. Однако, как покажем ниже, из сходимости к нулю ошибки слежения не следует параметрическая сходимость сходимость варьируемых параметров к идеальным значениям.

Параметрическая сходимость зависит от структуры задающего воздействия. Если задающее воздействие простое, например, константа, то по окончании процесса адаптации варьируемые параметры в зависимости от начальных условий могут принять различные значения. Проанализируем этот вопрос на примере рассмотренной выше адаптивной системы управления. 420 Гл. 11. Адапспиеные системы управления Как было показано, ошибка слежения еф — > О при 1 — > оо. Сле- довательно, можно принять, что при достаточно большом времени е(1) = О и е(1) = О.

Тогда из уравнения (11.9) следует акру+ >анод = О. Если задающее воздействие является константой (д(1) = дв), то по окончании переходного процесса, т. е. при достаточно большом време- ни (см. (11.2)), у (1) — у~а Ф вЂ” дв. ое Подставив это выражение в предыдущее равенство, получим — "'е ЬЬ„+ сзй = О. ое Отсн>да видно, что параметры регулятора сходятся не к определенной точке, а к лк>бой точке прямой.

Однако когда задающее воздейст- вие д(1) обладает таким свойством, что вектор сигналов >с = (у д)т удовлетворяет так называемому условию постлоянного возбуждения, сходимость к нули> ошибки слежения влечет за собой параметричес- кую сходимость ~69). Определение 11.1. Условие посспоянного возбуждения и-век- торного сигнала оф выполняепшя, если существуют положительныс константы Т и сс такие, что при любом 1 ) О стт (11.11) >г>т)>с с,т) > о1„, где 1п --. единичная матрица порядка п. Покажем, что в случае адаптивной системы с объектом 1-го порядка, которую мы рассмотрели, при выполнении условия (11.11) имеется параметрическая сходимость. Используя векторные обозначения Ыс = (сзйе слй ) и и = = (у д)т, уравнение, которое получается из (11.9) при е(1) = е(1) = = О, можно записать в виде с>>1с~и = О.

умножив последнее равенство справа на ит и проинтегрировав от С до 1+ Т, получим сет Ь1с~(т)и(т)и~(т) дт = О. По окончании процесса адаптации, т.е. при достаточно большом 1, вектор а>К становится постоянным, и его можно вывести за знак интеграла: сл1ст / >с(т)>ст(т) дт = О.

с 1Д2. Алгоритмы адатливного управления с ЭМ 421 или 11.2.2. Адаптивное управление по состоянию линейным объектом. Постановка задачи. Пусть линейный объект описывается уравнением (и'! (и — Ц аоу +а! у +,,.+ану=и, (11.12) где у выход, и управление, а; (! = О, 1,..., 6) неизвестные параметры; знак ав известен. Эталонная модель задается уравнением (и1 (н — с! у + о! у +.,.

+ оау = ~3оуЯ. (11.13) Здесь уо, -" выход эталонной модели, о! (! = 1,2,...,г!) и До известные положительные постоянныс, д1!) — задающее воздействие. Требуется определить алгоритм адаптивного управления, при котором система глобально устойчива и ошибка слежения е1г) = у1г) — р,„(1) — ь О при 1 — ) оо. Ниже при записи решения используется и-матрица В=(О О ... 1)т (11.14) и (п х и)-матрица Р, которая является решением уравнения Ляпунова РА+ АтР ~11 1") где Я -- положительно определенная матрица, А — — (и х и)-матрица О 1 О ... О О О 1 ... О О О О ... О О О О ... 1 А= (1.16) Он Пн — ! Он — 2 .

° О! в которой элементами последней строки являются коэффициенты уравнения эталонной модели. Утверждение 11.2. Алгоршлмом одопп!ивного управления с ЭМ (11.13) линейнь!м объекпюм 111.12), обеспечивающим глобальную устойчивость и сяоднмость ошибки е11) = у1г) — у„Я к нулю при 1-+ оо, явлве!лся бац, т и= ИоуЯ+й! у +...+И„ус=1с и., 1с = — зсяп (ао)ГиВтРх, (11.176) Отсюда следует,что если выполняется условие постоянного возбуждения сигнала (11.11),то ьз1ст = О, 422 Гл. 11. Адоптивные системы управления где )с = (ко й1 ... й„) (11 + 1)-вектор варьируемых параметров (и — 1) регуляпюра, ч = (д у ... У) вектор сигналов, Г произвольная положительно определенная (и+ 1) х (и+ 1)-матрица, х = (' От = (е е ...

е ) — вектор состояния. Если в качестве (1 пРинимаетсЯ матРица. д1п ((( > О, 1и -. единичная матрица и-го порядка), то, не нарушая общности, можно при записи уравнония Ляпунова (11.15) принять д = 1, т.е. рассмотреть уравнение РА+ АтР = — 1и, а значение с) учесть при выборе матрицы Г. Показательство. Алгоритм управления (11.17а) можно получить методом обратной задачи динамики. Лля этого зададимся желаемым законом изменения ошибки в виде следующего уравнения; (п) (л — 1) е +а1 е +...+аие=О, (11.18) где а, (1 = 1,2,..., и) являются коэффициентами уравнения эталонной модели. Так как эталонная модель устойчива, то нулевое решение (11.18) также (глобально асимптотически) устойчиво,и о1пибка будет стремиться к нулю при любых начальных условиях. Так как (и) (п) (и) е = у — у, то из (11.18) находим (л) (п) (п — 1) У = Ут — (а1 Е +...+аис). (и) Подставив это выражение для у в уравнение объекта (11.12), получим алгоритм управления основного контура (и) (и — 1) (п — 1) и = аО У т — ав(а1 Е +...

+ апв) + а1 У +... + оп У. О) О) ОО Учитывая равенство е = у — у,„, его можно преобразовать к виду (и) (и — 1) и=по(у -раз у + .+а.у )+ (п — 1) + (а1 — ааа1) У +... + (аи — аааи)у, или, учитывая уравнение эталонной модели,к виду (и — 1) и = аодоУ(1) + (а1 — аоа1) У +...

Характеристики

Список файлов книги