Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Положив Ьул = р — йа/йм, последнее равенство можно записать в виде е(1) = е(1) + — лу(1) + узул(л)л~(1). Подставив сюда выражения для е(1) из (11.42) и для О(1) из (11.44), получим ке т— е(1) = — 0 Дутли(1) + Д (1) (11.45) где зи = Илм(р)зи. Итак, адаптивная система управления может быть описана соотношениями (11.41а), (11.44б), (11.44в), (11.42), (11А4) и (11.45). Выберем в качестве кандидата на функцию Ляпунова квадратичную форму т ~Усо~л11с улус 1 ~ 2 2у й 2у Здесь у произвольное положительное число. Продифференцировав по времени, получим ~УЗ1 тУЗ( у уз у Так как елк = к и Аул = р, подставим сюда выражения для 1с из (11.415) и р из (11.41в) вместо елк и Ьул. Тогда с учетом (11.45) получим — < О.
1+ )за!' Следовательно, адаптивная система устойчива по Ляпунову. Из неравенств И > О и Г < О следует, что функция 1л(лзК,Ьул) и соответственно переменные К и р ограничены. Доказательство ограниченности других переменных и выполнения целевого условия 155 Алеорисимы иоопгоиеиоео упроелеиин с ЭМ 435 (е(1) — > со при 1 — э оо) несколько сложнее, и здесь оно не рассматривается (см., например, ~45)).
Пример 11.3. Объект и эталонная модель описываются уравне- пнями й а 2 и, р -1- иер -1- и2 1 ут = ., д(~), где йа, ам оз неизвестные параметры; знак йа известен (йа > О). Определить алгоритм адаптивного управления, обеспечивающего ограниченность всех переменных и сходимость ошибки е = у — у к нулю при 1 — > оо. Решение. В данном случае имеем и = 2 и Р (р) = 1. Поэтому ~Р„(р) = Р~(р), и в качестве полинома Рз(р) в соотношении (11.39) можно принять любой устойчивый полипом 1-го порядка.
Выберем в качестве Рз (р) полипом Р' (р) Р~(р) р + 2 В этом случае ф' = 2, и матрицы Е и Р представляют скалярные величины; Е = — 2 и Р = 1. Поэтому уравнения (11.40) и алгоритм управления (11.41а) принимают вид 6з = — 2ел+и, з~ = — 2зз+у, и = й„зиз + йл,з~ + мяу + й д.
Так как й = (йе~ йы йо ид) и зи = (из зз у д)т, то алгоритмы (11.41б) и (11,41в) принимают вид йе, йе1 "Г 1ся 1 -1- (зи(а йо Ю~ юз . теу ьбз и 1 ~ Р ю4 где вз = Ис (р)иы юз = Иги(р)кы юз = Х„(р)у, юл = Ис (р)д, % — % +юз+юз+'~л: Ч 1с зи Ии~р)~1с ис) слм е=е+рп, с=у †11.2.5. Адаптивное управление по состоинню нелинейным объектом. Методы синтеза алгоритмов адаптивного управления разработаны и для определенного класса нелинейных объектов. Обычно такой класс объектов характеризуется тем, что неизвестные параметры входят в уравнение объекта линейно, вектор состояния доступен измерению и от нелинейности можно избавиться путем соответствующего выбора закона управления, если параметры известны.
436 Гл. Гб Адаиптвные системы управления Посглановко, задачи. Пусть объект описывается уравнением 011 ао у + ~ а;71(х,1) = и, (11.46) 0'-О т где х = (у у ... у ) — вектор состояния; г1(х,1) (1 = 1,2,... ...,п) известные нелинейные функции, ограниченные при ограниченном векторе состояния и любом 1) со, а; (1 = 0,1,...,п) неизвестные постоянные параметры, знак ав известен; все фазовые переменные доступны измерению.
Эталонная модель задается уравнением ут+о1 ут+ .,+оиу =~Зоб(1). (11.47) Здесь д(1) задающее воздействие. Естественно, предполагается, что характеристический полипом этого уравнения устойчив. Требуется определить алгоритм адаптивного управления, при котором все переменные ограничены и ошибка слежения сходится к нулю: е(1) = у(1) — у (1) — ь 0 при 1 — 1 оо. Ниже при записи алгоритма адаптивного управления используется (п х 1)-матрица 0 1 0 ...
0 0 0 1 ... 0 (1.48) 0 0 0 Ои Сьи — 1 Оп — 2 ° О1 Элементами последней строки матрицы А являются коэффициенты уравнения эталонной модели с обратными знаками. Утверждение 11.5. Алгорип мам адаптивного управления с ЭМ (11.47) 'нелшпейпым объектном (11.46), обесиеыиваютим глобальную устойчивость и сходимость ошибки е(1) = у(1) — ут(1) к нулю при 1 — 1 оо, является и=а и, (11.49а) (11.496) а = — в18п(ае)риБ Рх. Здесь а = (ао а1 ... аи)т .—.
вектор варьируемых параметров рееулятора; Г положительно определенная ((п+ 1) х (и+ 1))-матрииа; ч = (2,71 22 ... Я~ — — вектор сигналов, где г =,Сед(1)— 1и — 11 1и — 21 — (О1 У +Ог У +...+Ои). В=(О О ... 1) и (п х п)-матрица Р, которая является решением уравнения Ляпунова РА+ АтР 1 где матрица А имеет вид 1пу, Апгорпгпмм едеп1пнвного упреепеннв с ЭМ 437 Показательство. В данном случае варьируемыми параметрами регулятора являются оценки неизвестных параметров, и их идеальные значения а,* совпадают с истинными значениями: а,' = а, (1= 0,1,...,п). Получим уравнение в отклонениях — переменных е = у — у, и а, = оа — ао (1 = О, 1,..., п).
Алгоритм управления (11.49а) в скалярной форме имеет вид 1и — 11 и = ао [(дед(1) — (о1 у +... + ггпу)] + ~', а1.(1. и=1 Подставим сюда вместо Дед(1) левую часть уравнения эталонной модели: 1и1 (и — 11 и = ао[ у „— (ог е +...+аие)]+~ а111. Подставив это выражение для управления в уравнение (11.46), получим уравнение основного контура 1и1 . '1п~ 1п — 11 ао У = ао[ Ут — (а1 е +... +опе)] + 7 511~. 1п~ 1и — 11 Ксли из обеих частей вычесть выражение ао [ у — (ог е +... ..
+ оие)], то последнее соотношение можно преобразовать к виду п 1и1 1п — 11 1 / 1 -т Е +О1 Е +...+Оив= — (аег+~ап~,) = — а Ч, ао [, ') во еи1 где а = (ао аг ... Пи) т. Это уравнение, записанное в нормальной форме,примет вид х = Ах+ — В(атч). (11.50а) ао 11 т Здесь х = (е е ... е )т.
Так как а = а, то алгоритм адаптации (11.49б) можно записать в виде а = — зц;и (ао)ГчВ Рх. (11.50б) Таким образом, адаптивная система управления в переменных е и а описывается уравнениями (11.50). В качестве кандидата на функцию Ляпунова примем квадратич- ную форму тР + 1 -трг~ао~ где Р - решение уравнения Ляпунова РА+ АтР = — 1. Производная по времени от этой функции в силу (11.50) имеет вид =-х х<0.
Следовательно, адаптивная система управления устойчива по Ляпунову. Так как 1' > 0 и Ъ' < О, то функция Ляпунова ограничена и 1'и. 11. А даптиеные системы упраепения имеет конечный предел при 1 — ~ оо. В силу ограниченности функции (6 Ляпунова переменные х, а и соответственно у, а; [1 = О, 1,...,п — 1) ограничены. При ограниченном у[1) ограничены производная х и вторая производная Ё = — 2хгх. Поэтому по лемме Барбалата Г[1) и соответственно е[1) стремятся к нулю при 1 — г оо.
11.2.6. Адаптивное управление и робастность. Выше алгоритмы адаптивного управления получены при условии, что имеется только параметрическая неопределенность. Другими словами, принималось, что неопределенность обуславливается наличием только неизвестных постоянных параметров. В действительности неопределенность может быть обусловлена множеством других факторов, например: неточностью используемой модели объекта; наличием шума измерения: внешними возмущающими воздействиями; ошибками округления и запаздыванием, возникающими при использовании цифровых устройств; изменениями параметров во времени.
Все неучтенные факторы, обуславливающие неопределенность, выступают как возмущения. Выводы об устойчивости, ограниченности переменных и сходимости к нулю ошибки слежения были сделаны при идеальных условиях, т.е. при условии, что возмущения отсутствуют. Однако в действительности любая система функционирует в условиях действия всех или части указанных выше возмущающих факторов. Поэтому пригодные на практике системы управления должны обладать свойством робастности [грубости), т. е. их свойства не должны качественно изменяться при наличии не очень больших возмущений.
Алгоритмы адаптивного управления, при которых адаптивная система управления обладает свойством робастности, называют рооастньями. Для того чтобы обеспечить ограниченность всех переменных и избежать потери устойчивости при нарушении идеальных условий, необходимо, чтобы алгоритмы адаптивного управления были робастными. Как показывают исследования, проведенные путем моделирования на частных примерах [69), полученные выше алгоритмы адаптивного управления обладают определенной робастностью по отношению к некоторым возмущениям, когда сигнал и удовлетворяет условию постоянного возбуждения (11.11). Если сигнал и является простым [например, задающее воздействие является постоянным), то малое возмущение может привести к неустойчивости.
По этой причине синтез адаптивной системы управления, как, впрочем, и обычной системы, должен сопровождаться моделированием. И при необходимости алгоритм адаптивного управления должен модифицироваться. Простейшим методом модификации является так называемый метод,мертвой эолы. Так как этот метод прост и эффективен, то он 11.г. Алгвригпмы идатпавнвгв управвгная с ЭЛг 439 чаще всего используется. Метод мертвой зоны заключается в том, что, когда ошибка слежения мала и на розультат адаптации преобладающее влияние оказывает возмущающее воздействие, процесс адаптации приостанавливается.
Это достигается заменой алгоритма адаптации а = — учг на алгоритм вида — ухе, [е[ > сз, О, [е[<гз, где Ь вЂ” размер мертвой зоны. Другой метод - это метод замены рггрессора [69). Под рсгрсссором понимается вектор сигналов ч (в формуле (11.30) вектор ю). Этот метод основан на следующей идее. Вектор сигналов находится путем обработки измеренных значений выхода у. Поэтому он подвержен влиянию шума измерения п(1).
Но так как алгоритм адаптации включает произведение ч(1) и е(1), скорость обновления параметров зависит от квадрата шума наблюдения (измерения), что может стать причиной неустойчивости. Например, в присутствии шума измерения п(1) в алгоритм адаптации уг, = — гуяп (бо)'ууе вместо у нужно подставить р + п(1): йг — — — ггяп(1го) у[у+ п(1))[у+ п(1) — у = — ггяп (Ьо) у [у(у — р,п) + н(1)(у — у ) + п (1)]. В правой части последнего равенства первый член содержит информацию о параметрах, второй член определяет усредненную величину полезного сигнала и шума, третий член включает только шум, он является основной причиной дрейфа параметра Й, и соответственно неустойчивости адаптивной системы управления. Метод замены регрессора состоит в том, что при малой ошибке слежения переменную у, зависящую от шума, заменяют на переменную р, не зависящую от шума. В заключение остановимся на выборе параметра у и положительно определенной матрицы Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
