Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Как мы увидим далее, важно, чтобы не только полюсы, но и нули функции уь(в) располагались в левой полуплоскости. Представление функции Яь (оз) в виде (10.27) называется ее 1ракторизачией. ц уд д В более сложных случаях можно воспользоваться общим методом факторизации. Пусть спектральная плотность Я,(оз) является дробно-рациональной функцией: Н (ог) Я (из) = где Н(ы), С(оз) - - полиномы от оз, а дисперсия конечна: Р„= — ( Я„(оз) Аз < оо.
1 о (10.28) Спектральная плотность 5,(из) обладает следующими свойствами: 1) Н, (ю) — четная функция, причем полиномы Н(ы), С(ы) содержат только четные степени оз; 2) в силу условия (10.28) (Ял(ы) в 0 при ы — в оо) степень полинома Н(оз) строго меньше степени полинома С(ы); 3) в силу (10.28) уравнение С(ю) = 0 не имеет действительных корней; 4) корни уравнений Н(оз1 = 0 и С(ы) = 0 расположены симметрично относительно обеих осей системы координат. слэазстпоризация спемтаральной алотностьь В простейших случаях факторизация спектральной плотности н нахождение передаточной функции формирующего фильтра не представляет труда.
Например, случайный процесс с корреляционной функцией Кл(т) = = Де" ~'~, как было показано в примере 10.3, имеет спектральную плотность 2а Яу(оз) = )3 которая может быть представлена в виде ( ) чс2еД зо/+ а Поэтому передаточная функция формирующего фильтра такого проесса б ет иметь ви 10.3. Винеровеная задачи оптимальной фильтрации 373 Пусть полиномы Н(ьо) и С(ы) имеют вид Н(ы) =Фоаз'"+(31аз( — Ц+ +Д„о 2п+ 2(п — Ц+ + Разложим их на элементарные множители и представим спектральную плотность в виде ( ) ч11о Н., иь'о Н (з) ' ч'ь'о Нь ( — з) ч'До Н (РО 20) чеао Са иеао С" О)" чеао Со ( — 1)" ьеао С вЂ” ' где Нл, Са произведения элементарных множителей, соответствующих корням уравнений Н(ы) = 0 и С(ьо) = О, расположенным в верхней полуплоскости; Н, С вЂ” произведения элементарных множителей, соответствующих корням уравнений Н(о~) = 0 и С(ы) = О, расположенным в нижней полуплоскости.
Положим Р(фа) = О)'" ъ%Н+ ьдО ) = (у)" ~ма Сч. (10.30а) Тогда имеют место следующие равенства: Р( — фы) = ( — 1)™ Ро Н ., (ь)( — фм) = ( — у)" /ао С .. (10.30б) Лействительно, пусть а+уф (а > О, Д > 0) один из корней уравнения Н(ю) = О. Тогда его корнями будут также — а — 1Д., а — 1(э' и — а+ фЯ Этим корням будут соответствовать следующие множители в полиномах На и Н Н,: [ы — (а+1~))[о~ — ( — а+ (В)[; Н: [ы — (а — 1Я[[ы — ( — а — 1(З)[. Этим множителям в выражениях (ф)тН. и ( — 1)а'Н соответствуют следующие множители: (1') Нч-: ф[~ — (а+фЯ[у[ы — (- +1)1)[= = [1( — а)+ЯМ( +а)+(1)[( (-1)"'Н-: ( — 1)[ — (а — 1()[( — 1)[ — ( — — И)] = = [-у(о~ — а) -(- Ц)[[-1(ы -(- а) -(- Ц)[.
Правые части приведенных двух соотношений являются комплексно- сопряженными выражениями. Итак, используя обозначения (10.30), соотношение (10.29) можно представить в виде ) Р(фм)Р( — уы) Р(уы1 з (0О )С( — ф ) (2(1 ') Отсюда для передаточной функции формирующего звена получаем Р(в) ~"'= е'г 374 Гл. КЬ Анализ систем и синтез оптимальньи систем управления Заметим, что корням уравнений Н(ьз) = 0 и С(ьз) = О, расположенным в верхней полуплоскости на плоскости корней ы, на плоскости е = уы соответствуют левые корни. Поэтому в соответствии с построением полиномов Р(ь) и Ц(в) все нули и полюсы передаточной функции формирующего фильтра располагаются в левой полуплоскости. П р и м е р 10.5.
Определить передаточную функцию формирующего фильтра для стационарного случайного процесса со спектральной плотностью Решение. В данном случае нулями спектральной плотности яв- ляются сог = уЬ, ьзг = — уЬ; полюсами являются ыг — — у, ьзг = — у, ь~з — 3 ьз4 = —,1. Поэтому имоем Нт — — ьз — гЬ, Р(1'ьз) = г'(ьз — у'Ь) = усе + Ь, гг (, )г свз( ) г( )г Передаточная функция формирующего фильтра есть И'(в) = = (в + Ь)Яв + 1))'. 10.3.4. Фильтр Винера.
Передаточная функция оптимального фильтра (ф льтра Винера) имеет вид (10.31) где И'ф Цсо) — частотная передаточная функция формирующего фильт- Ра входного сигнала Х(с) = Я(с) + гас(г); Яь,(оз) взаимнаЯ спек- тральная плотность входного и полезного сигналов:, (...] — выра- жение, которое получается, если в разложении на простые дроби дробно-рациональной функции, заключенной в квадратных скобках, исключить те слагаемыо, полюсы которых расположены в нижней по- луплоскости на комплексной плоскости ьз или в правой полуплоскости на комплексной плоскости в = уьз.
Прежде чем доказать формулу (10.31), рассмотрим пример. Пример 10.6. Принимаемый сигнал Х(Ь) представляет сумму полезного сигнала Я(с) и помехи Л(с): Х(1) = Я(1) + 1ч'(1). Корреляционные функции полезного сигнала и помехи имегот вид К,(т) = лге "~, К (т) = Ноб(т), полезный сигнал и шум не коррелированы. Определить передаточную функцию фильтра Винера. Решение. В соответствии с формулой (10.31) для определения искомой передаточной функции необходимо знать передаточную функцию формирующего фильтра принимаемого (входного) сигнала Исф(з) 10.3.
Винеровеная задачи оптимальной фильтрации 375 и взаимную спектральную плотность входного и полезного сигналов Я„(ьв). Так как полезный сигнал и помеха не коррелированы, имеем К,(т) = К,(т) + К„(т), Я,(аз) = Я,(ы) + Я„(ы). Спектральные плотности полезного сигнала и помехи имеют вид Я(ьз)=п ., о (ьз)=зто Подставив эти выражения в приведенную выше формулу для Я,ь(ьв), получим 1Уо(д -> ь' ) из+ ~з у 2о Теперь найдем выражение, заключенное в квадратные скобки в формуле для оптимального фильтра (10.3Ц; Я,,(ы) 2сьт~(о — ум) 2оа И'ф( — уы) (мв + о'И№в Р— Уы) (Уь -'; о) ч'№в Р— ум) Палее, разложив правую часть методом неопределенных коэффициентов на элементарные дроби, находим Я (м) 2овз (' 1 1 Р ф(-ум),/№(о ) 1~ Ум б-У~)' Отбросив вторую элементарную дробь, полюс которой расположен в нижней полуплоскости на плоскости аз, получим 1 5*,(ю) ~) 2оа 1 Итф( У )) - Чт№ (о т11) о+ум Подставив это выражение и выражение для передаточной функции формирующего фильтра в (10.3Ц, найдем искомую передаточную функцию й И'(в) = где й= 1Увб(о -~ Р) 1 Т= —, )1' или уе№в (б -'г Ум) з о -~- 1м где Дз = 2егзо/Хв + о~.
Из последнего соотношения находим 1№в у+у ) о -~-ум Найдем взаимную корреляционную функцию входного и полезного сигналов; К„(т) = М(ХЯЯ(1+ т)) = М[ф(1) + Я(1))У(1+ т)] = К,(т). Отсюда след ет 376 Гл. КЬ Анализ систем и синтез оптимальном систем управления Вывод формулы (10.31). Представим оптимальный фильтр в виде соединения двух звеньев (рис. 10.4): обратного фильтра И' '(р), преобразующего входной сигнал Х(1) = Я(1) + М(1) в белый шум ь'(1) с единичной интенсивностью: Рис.
10.4, Структурное пред- и звена с пеРедаточной фУнкцией И'1(Р), ставление оптимального которую предстоит определить. фильтра Пусть входной сигнал представляет собой белый шум: Х(1) = Ъ'(1). Тогда, так как Ка(т) = о(т) и весовая функция фильтра Винера ю(1) = = иц(1), уравнение Винера.-Хопфа (10.24) /К,(т — Л)и~(Л) дЛ = К„(т) о принимает вид ~б(т — Л)юд(Л) с1Л = К„,(т), о или ю1(т) = Ка,(т). В связи с тем, что передаточная функция связана с весовой функцией преобразованием Лапласа, из последнего равенства получаем И'ь(з) = ~К„(т)е '" Йт. (10.32) о Таким образом, Итг(в) есть передаточная функция фильтра Винера, когда входной сигнал является белым шумом с единичной интенсивностью. Как следует из структурной схемы (см.
рис. 10.4), в общем случае, когда входной сигнал не является белым шумом, передаточная функция оптимального фильтра определяется по формуле И'(в) = Итф '(в)Иса(в). (10.33) Следовательно, решение уравнения Винера — Хопфа сводится к определению передаточной функции формирующего звена входного сигнала и вычислению интеграла (10.32).
В соотношение (10.32) входит корреляционная функция Кь„(т), которая не задана. Найдем ее, основываясь на корреляционной функции К„(т). Положим Й(в) = Ит, а(в). Тогда имеем (см. рис. 10.4) Г(1) = /ю(Л)Х(1 — Л) дЛ. о Умножим обе части на Я(1 + т) и выполним операцию математического ожидания: К„л(т) = ~ю(Л)Кл,(т + Л) дЛ. о 377 10.$, Фальгггрм Калагана — Боюоа Подставив в зто равенство взаимнуко корреляционную функцию К (т + Л) — Я (ОГ)ЕГг-ГЛПЗ 1 г 2я / и поменяв порядок интегрирования, получим Ко,(т) = —, ~ Б„(аг)ез " (7йг(Л)еэ"'з г1Лйа = 2гг у о 1 г — / Б„(аг)еэю Иг( — уга) г1га. 2гг Учитывая Йгоаг) = И', (у г), последнее соотношение можно записать — 1 в виде 2я У И;о(-ую) Подставим это выражение в (10.32): 2гг,/ / И'и( — ум) о Таким образом, передаточная функция оптимального фильтра имеет вид (см. (10.33)) о Если Я„о(аг)гИге( — айаг) — дробно-рациональная функция, то двойной интеграл вычисляется (с помощью теории вычетов) в конечном виде, и передаточная функция оптимального фильтра принимает вид (10.31).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
