Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Как известно из теории линейных систем, эти функции связаны соотношением 10.2. Аналиэ линейных систем и синтез оптимальных наранетаров 359 В случае стационарной системы весовая функция зависит от одного аргумента, и формулы (10.7) принимают вид тпв(с) = ~ш(1 — т)т,(т) йт, (10.8а) о Кв(1,1') = ~~ш(1 — т,)ш(1' — тх)Кх(т.,ть) йт, йтз.
(10.8б) о о Эти формулы легко выводятся. действительно, учитывая, что операции математического ожидания и интегрирования можно переставлять местами, из (10.6) получаем шв (1): М(У(1)): М / ш(1 т)Х (г) йт: / ш(1 т)М[Х(т)] йт о о = ~ш(ь', т)тп,(т) йт. о Вычитая (10.7а) из (10.6), находим У(1) = /ш(1, т)Х(т) йт, (10.9) о где У(ь) = У(ь) — ти(1), Х(с) = Х(1) — тпх(С) -центрированныеслучайные процессы. Используя (10.9), получаем в„(, О=и~о(Осот=и~).(,,)х(. в,).,в .)х(ее,1 = о о = ~~ш(1, тз)ш(1, тз)М(Х(то )Х(тх)) йт, йтз —— оо = ~~ш(1, тх)ш(1', тх)Кх(ты тх) йть йтз.
оо Справедливость формулы (10.7) доказана. Формулы (10.8) непосредственно получаются из (10.7). Пример 10.1. На вход линейного звена с передаточной функцией И'(р) = 5/(р+ 1) приложен случайный процесс с математическим ожиданием т, = 2 и корреляционной функцией К,(т) = е Требуется определить математическое ожидание и корреляционную функцию выходного сигнала. Р е шеи ие. Записав уравнение звена и решив его при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях, найдем переходную функцию 6(1) = 5(1 — е ').
Продифференцировав ее, получим весовую функцию ш(1) = сЬ/й1 = 5е '. По формуле (10.8а) получим тпи(1) = /5е 0 '12йт = 10(1 — е ~). о 360 Гл. 10. Анализ систем и синтпез оптимальньи систем управления По формуле (10.86) получаем К„(1 С') =25('(е 0 Пе 0 '~е ~п "дтгдтз —— Р( оо = 21. 8+'>1 Р ~) о о =2Ь ( Ь) '(). (' гн Ы +) ~ тк Ы~)Ы о о 1 26 р + ~! ~) — [à — 6 (~+ л ц — (и-Г>~ 2 Установившийся режим.
При рассмотрении установившегося режима полагают, что входное воздействие подается при 1е = — оо, и формулу (10.6) записывают в виде У"(1) = / ш(1,т)Х(т)дт. (10.10) тз(ь) = / ш(ь' — т)т,(т) Йт, (10.11) Кь(1.,1) = ~ ~ ш(1 — тд)ш(1' — тз)Кл(ты та) дтг дтз. (10.12) Если на вход устойчивой линейной стационарной системы подается стпационарный случайный процесс в широком смысле, то на ее выходе в установившемся режиме устанавливаетпся стационарный случайный процесс в широком смысле. Иначе говоря, в этом случае математическое ожидание выходного сигнала в установившемся режиме является постоянным, а корреляционная функция зависит от одного аргумопта.
Покажем это. По условию имеем тл = сопз1, К,(1., 1') = К,(1 — 1') = К,(т). В формуле (10.11) сделаем замену переменных т' =1 — т. Тогда получим ти(ь) = т,~ш(т ) Йт . з Так как линейная система устойчива, интеграл сходится и принимает конечное значение. Формулы (10.8) для математического ожидания и корреляционной функции в случае стационарной системы в установившемся режиме принимают вид 10.2.
Анализ линейных систем и сиигнез оптнмальньгх параметров 361 Формула (10.12) в данном случае принимает вид я(1г~ ) / Г ю(й тз)ш(1 т2)К (т1 — т2) Йт1 Йт2. Сделаем замену переменньгх т' = 1 — тг и т' = 1 — тг. Тогда последнее соотношение примет вид Кя(1 1) — / / ш(Т1)го(тг)Кя(1 — т, '+ т,' — й ) с1т, 'с1тз = Ка(1 — 1), о о или, если положить 1 — у = т и опустить штрих, вид / ш(Т1)иг(Т2)Кг(т — Т1 + Т2) ЙТ1 ЙТ2 = Ку(Т). Г о о (10.13) Кя(т) = — / Яя(ш)е' 'Йш = — / ~У~Ц~ф~Б,.(ш)ез"'Йш. (10.15) Так как 12я — — Кя(0), из последнего соотношения находим .= —,'. Г,( ) -= —,'.
/'~И(а~я.(-)- (10.16) Получим формулу (10.14). В формулу (10.13) подставим выражение для корреляционной функции входного сигнала (см. (10.3)) К (Т „.,+,,) Е (Ш)Е1~(г-ггсгдЙШ 2гг У Тогда получим Ку(т) = — Ял(ш)е ю(т )ш(т2) Й 1Йтг Йт2 1 2 11 / оо- 1 — зг Ь вЂ” "(1' ( и" с 1' ( Ь'*~ ~с 21г о о Зависимостпь между спекгпральными плотпностями выходного и входного сигналов в устпановившемся режиме. Если иа вход устойчивой стационарной линейной системы с передаточной функцией И'(р) подается стационарный случайный сигнал с спектральной плотностью Я,(ш), то спектральная плотность Яя(ш) выходного сигнала в установившемся режиме связана со спектральной плогпносгпью Яя(ш) соотиогаением Ея( ) = ~И (у ) Р.( ) (10.14) В соответствии с формулой (10.3) для корреляционной функдии выходного сигнала можем записать 362 Гл.
10. Анализ еиетпем и еингпев оптимальньи снедаем управления — / Яа(~)е~ 'И'(уш)И'( — уод) ела = — / ~И'(у~)~ Я (~)е~ ' е1од. Согласно формуле (10.3) имеем К, (т) = — / Яд(од)едн" е1од. Сравнив правую часть этой формулы с правой частью предыдущего соотношения, получим формулу (10.14).
10.2.2. Анализ линейных систем в переходном режиме. Выше были получены все расчетные формулы, которые необходимы для вычисления вероятностных характеристик случайных процессов, продпедших через линейную систему. Рассмотрим систому управления, представленную на рис. 10.2. Пусть задающее воздействие С(1) Ю) б(д) Рис.
10.2. К анализу систем при случайных воздействиях и возмущение являются случайными процессами с известными математическими ожиданиями и корреляционными функциями. Определим систематическую и среднеквадратическую ошибки в переходном режиме. Учитывая, что среднеквадратическая ошибка равна корню квадратному из дисперсии, ограничимся вычислением последней. Передаточные функции ошибки от задающего воздействия и от возмущения имеют соответственно вид 1 1+ И;(р)И'д(, ) ' По передаточной функции можно определить весовую функцию ю, (ь) ошибки от задающего воздействия и весовую функцию иау(1) от возмущения.
В соответствии с формулой (10.6) можем записать Ф Ед(1) = /иде (1 — тС'(т) е1т, Е1(1) = /ше1($ — т)Е(т) г1т, о о где Ед(1) ошибка от задакощего воздействия (Р(1) = О), Еу(1) ошибка от возмущения (С(1) = О). Здесь принимается, что система стационарна. Согласно принципу суперпозиции имеем Е(1): Ед (1) + Е1 (1) — / ьдед (1 т)С(т) г1т + / ьдеу (1 т)1г(т) дт. о о (10.17) «0.2. Анализ линейных сисглем и синтез оптимальных параметров 363 Отсюда для систематической ошибки получаем М[Е(1)] = М[Едт+ М[ЕХМ = ~ш(1 — т)М[С(т)] йт + ~ш(1 — т)М[Е(т)] йт.
(10.18) о о Если внешние воздействия не коррелированны, то дисперсия ошибки равна сумме дисперсий ошибок от задающего воздействия и от возмущения: «од+ «Р где Р, = Р[Е(с)], Р, = Р[Е (1)], Р«у = Р[ЕуЯ. действительно,из (10.17) имеем Л(') ="(') ' (') - У"('-.)'(.)""У.('-.)'(.) йт Отек>да находим Р = М[Е'] = М[(Е (1) + Е (1))'] = М[Ед(1)] +2М[Ед(1)Е«(1)] +М[Ет(1)]М[Ед(1)] +М[Ет(1)] так как о)влад«ог = а[д' д — )«лс«д' о — о«( ) «] о о = ~ ~ш(1 — тг) ш(1 — тг)М[С(тз)Е(тз)] йтъ йтг = 0 о о в силу М[С(тз)Е(тг)] = О. 10.2.3. Анализ линейных систем в установившемся режиме.
В соответствии с формулой (10.11) систематическая ошибка от задающего воздействия дпед(1) и систематическая ошибка от возмущения т,у(с) в установившемся режиме определяются следующим образом: с ш«д(г) = / ш«д(с т)тд(т) йт т 1(с) = ] доет(с — т)тУ(т) йт. (10,19) Систематическая ошибка ш, (1), когда к системе приложены оба внешних воздействия, равна сумме этих ошибок: ш«Ф = ш«дЯ + ш«тИ). Как следует из формул (10.19), при вычислении систематических ошибок можно считать, что к системе приложены не случайные процессы, а детерминированные воздействия их математические ожидания.
Поэтому здесь, как и при рассмотрении детерми- 364 Гл. 10. Анализ систем и синтез овтимальныт снедаем управления нированных систем, для вычисления систематических ошибок гл, (1) и т,у(1) можно воспользоваться коэффициентами ошибок. С по- мощью коэффициентов ошибок эти ошибки определяются следующим образом: т,д(1) = Соотг(1) + Сдг + Сдг +..., (10.20а) Йглд(г) е1 тд(г) г1г д сад теу(1) = Скоту(1) + Суг „+ Суг, +..., (10.20б) 1г где коэффициенты ошибок от задающего воздействия Сдг и коэффи- циенты ошибок от возмущения Сгч определяются так [ЗЦ: 1 сРИс„(в) Сдо = Иед(0), Сдг = —, гб дв в=о г=1,2г Сго — Иег" (0) Суг . ~ ° г': 1 2 ° 1 г1*И'ы(в) Если система астатическая, то коэффициенты ошибок до первого отличного от нуля коэффициента включительно можно определять по более простым формулам [31) Сдг — — " [, Су, = "г' ', г = 1,2,...
(10.21) в* ~ =о' г=о Пример 10.2. Дана система (см. рис. 10.2) с передаточными функциями О,ас(2р + Ц 2 1 гг+ 1 г Так как Исг содержит одно интегрирующее звено (множитель 1гр), система является астатической с астатизмом первого порядка как относительно задающего воздействия, так и относительно возмущения. Поэтому первые коэффициенты ошибок равны нулю; Сдо = О, Суо = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
