Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 62
Текст из файла (страница 62)
В переводной литературе ковариационной функцией или ковариа- цией, называют корреляционную функцию (см., например, [48]). Если Х(1) и У(1) . две случайные процессы, то функция Кья(11;12) ™[Х(11) 1 (ь2)] называется взаимной корреляционной функцией. Если К,в(11,12) = О, то случайные процессы Х(1) и У(1) называются некоррелированными, а если К,„(11,12) ф О, то называются коррелированными. Если Х(ь) -- векторный случайный процесс, то корреляционная функция К(11, 12) = М[Х(11) Х~(12)] представляет собой симметри- ческую матрицу, и ее также называют корреляционной матрицей.
Математическое ожидание, корреляционная функция и ковариаци- онная функция обладают слсдуюпзими свойствами: 1) К(ь1:12) К(12~11), В(11,12) = зз(ь2,ь1); 2) если У(С) = Х(1) -~- уз(1), где |р(1) детерминированная функ- ция, то М[1 (1)] = М[Х(1)]+ Р(1), К.(1„12) = К„(1„22); 3) если У'(1) = у1(1)Х(1), где 1р(1) -- детерминированная функция, то тр(1) = 1р(1)т (1), Кв(11.,12) = 1р(11)22(12)К, (11,12). 10.й Случайньье величины и процессы 10.1.3. Некоторые типы случайных процессов. Гауссов процесс. Случайный процесс называется гауссовым или норма ьнь м, если каковы бы ни были число и и моменты времени 11,12ь..., й„, случайный вектор [Х(11) Х(12) ... Х(ьп)] имеет плотность распределения ,1п(л1 ь1 .Е2 ь2; ° ° тп) ьп) ехр( — ( — (х — гп )тК 1(х — пзе)~ ~, ГДС Х = (21,22,...,тп)т; ПЗ, = (ть,тз,.,,,тп)т тических ожиданий; К = [К,ь.] (ь, к = 1, 2,..., и) матрица. При и = 1 имеем вектор матема- корреляционная К = Кп = ьь[Х(ь)] = оз (1), я = 21, та = М[Х(1)], и гауссова плотность распределения принимает вид у (, 2) — Ьл — ьп)~Д2с ~1 оье2т Г(яь, 11 + С ...; ип, 1.
+ О = Г(иь, 11:...., тп. 1.) при любом ~. Если случайный процесс является строго стационарным, то его математическое ожидание не зависит от времени и корреляционная функция зависит от одного параметра. действительно, имеем откуда следует т, = сопзФ. Аналогично можно показать, что Кл(ь1 ьз) — Кл(ь1 ' З ~2 и Ч). Отсюда, положив С = — 11, получим Ке(ь1; 12) — Кл(ь2 ь1) — Кл(Т) (Т = ь2 — 11). В силу свойства К (11, 12) = Кл(12, 21) корреляционная функция К(т) является четной функцией: К(т) = К(-г).
Случайный процесс Х(1) называется слабо стационарным или стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание не зависит от времени и корреляционная функция зависит от одной переменной: 1) тп, = сопзЦ 2) Кл(11,12) = К (т). 23' Как видно, гауссов закон распределения однозначно определяется математическим ожиданием и корреляционной матрицей.
Стационарньье процессы. Случайный процесс Х(ь) называется строго стационарным или стационарным в узком смысле, если при любом и его и-мерная функция распределения не зависит от сдвига времени, т.е. обладает следующим свойством; 356 Гл. 10. Анализ вивтпем и сингпез оптимальных сисгпем управленил Если моменты гпь, и Ки(т) существуют, то строго стационарный случайный процесс является и слабо стационарным. Однако не всякий слабо стационарный процесс является строго стационарным. Стационарные процессы Х(1) и У(г) называются стааионарно связанными, если их взаимная корреляционная функция зависит от одного параметра: К,„1ьы1з) = К,ь(1~ — 1з).
Стационарные процессы, помимо законов распределения и моментов, характеризуются еще спектральной плотностью. Спентпральной плотпностпью стационарного в широком смысле случайного процесса Х(1) называется двустороннее преобразование Фурье от его корреляционной функции: Я,„.(ьз) = / Кл1т)с зм" дт. (10.2) Корреляционная функция выражается с помощью спектральной плотности обратным преобразованием Фурье: Кл(т) = — / Ял(ьз)ез 'Йо. (10.3) Аналогично определяется взаимная спектральная плотность двух стационарных и стационарно связанных случайных процессов Х11) и У1г): Ял„(ьз) = / Кл„(т)е з~'Йт, л,(-) — /' ~.,~-) Эрводииесмий проз4есс. Стационарный случайный процесс Х11) называется эргодическим, если выполняются следующее соотношение: 1пп — 1 х(1) д1 = т„ 1 Т-льь Т, ь (10.4) тт 1пп —, д Лл (и, о) ди ьЬ = О. тг Т 11 оо где х1г) 1произвольная) реализация случайного процесса Х(г).
Соотношение (10.1), определяющее математическое ожидание, можно трактовать как среднее по множеству реализаций, а соотношение (10.4) -- как среднее по времени одной реализации. Поэтому эргодический процесс можно определить как такой процесс, для которого среднее по множеству реализаций равно среднему по времени одной реализации. Стационарный процесс Х(г) является эргодическим, если его корреляционная функция удовлетворяет соотношению 10.1.
Случайные величины и процессы 357 Процессы с независимььми и ортпогональньини приращениями. Случайный процесс Х(1) называется процессом с независимыми приращениями, если случайные величины Х(1,), Х(1,) — Х(уо), ..., Х(гл) — Х(1о ) при любых 1о < 1г « ... 1ь (из области опрсделения случайного процесса) взаимно независимы [48]. Если эти величины только некоррелированы, процесс Х(1) называется процессом с неиоррелированными или ортогональными приращениями.
11роцесс с независимыми приращениями полностью определяется распределением Х(1о) и распределением приращений Х(1) — Х(в) для произвольных 1 и в. Если распределение Х(1) — Х(в) зависит от 1 — в, то процесс Х(1) называется процессом с независимыми стационарными приращениями; если Х(1) — Х(в) имеет нормальное распределение --- процессом с независимыми норма ьиыми приращениями Векторный процссс с нулевым средним значением и независимыми нормальными приращениями называя>т винвровснам процессом.
Корреляционная функция для случайного процесса Х(1) с ортогональными приращениями имеет следующий вид: (10. 5) ( Кг (1г ~ 1г) 1г ь. 11 ° Действительно, имеем: при 11 < 1г М[Х(1г)Х(1г)] = М(Х(1,)[Х(1г) — Х(1,) + Х(1г)]) = М[Х(1г)Х(1г)]; при 1г < 1г М[Х(1г)Х(1г)] = М([Х(1г) — Х(1г) + Х(1г)]Х(1г)) = М[Х(гг)Х(1г)]. Белый шум. Стационарный случайный процесс Х(1) называется белым шумом, если его спектральная плотность постоянна: Я,(ы) = = С (С = соггзФ). Постоянная С называешься интенсивностью белого шума.
Если исходить из определения спектральной плотности (10.2), то спектральная плотность будет постоянна, когда корреляционная функция имеет вид К(г) = Сб(г). Здесь б(т) . функция Дирака (б-функция). Более общее определение белого шума основано на корреляционной функции. Случайный процесс Х(1) называется белым шумом, если его корреляционная функция имеет вид К,(1, т) = С(1)б(1 — т). Белый шум называется стационарным, если его интенсивность является постоянной. Процесс $'(1) является белым шумом, если процесс Х(1), связанный с 7 (1) уравнением Х(1) = су(1)Ъ'(1), где Я(1) --- детерминированная функция (матрица), является процессом с ортогональными приращениями. Если Х(1) является винеровским процессом, то белый шум $'(1) называется нормальным (гауссовым) белым шумом.
358 Гл. Кй Анализ систем и сиизвоз оптимальных систем упраолониа 10.2. Анализ линейных систем и синтез оптимальных параметров при случайных воздействиях Если на систему управления действует случайное воздействие, то его выходная переменная У(1) и ошибка Е(1) будут случайными процессами. И в этом случае для оценки качества системы управления используют вероятностные характеристики ошибки: математическое ожидание ш, = М(Е(ь)] и среднее квадратическое отклонение и, = Математическое ожидание ошибки называется систематической ошибкой, ее среднее квадратическое отклонение .
- среднекеол)ратической оигибкой, Анализ качества систем управления сводится к определению указанных ошибок по вероятностным характеристикам случайных внешних воздействий. й(1) = ~ш(1, т)г(т) Йт. о Точно так же связаны сами процессы Х(г) и У(г): У(1) = /ш(1,т)Х(т) йт. о (10.6) Математическое ожидание пья(1) и корреляционная функция К., (1, Е) выходного сигнала, связаны с математическим ожиданием т,(г) и корреляционной функцией К,(1,г') входного сигнала соотношениями гло(1) = /ш(ь, т)злл(т) йлт, (10.7а) о ьь К„(1,1') = Ош(1, П)ш(1',тз)Кл(ты те) йт, йтз. (10.76) оо 10.2.1. Преобразование случайных процессов линейными системами. Пусть на вход линейной системы с весовой функцией ш($о т) подается случайный процесс Х(1) — ]:":.] ХП) и,( ) УП) (рис.
10.1). По заданным математическому х(1) у(1) ожиданию т (1) и корреляционной функрис 10 1 П вхож е ции Кл(1, й) входного сигнала найдем матение слу„йиого про магическое ожидание ти(г) и корреляционцесса через линейную ную функцию Ки(1,1') выходного сигнала У(1). систему Переходный режим. Пусть когда на вход подается реализация х(1), на выходе имеем й(ь) реализацию случайного процесса У(ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
