Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В результате проведенного преобразования по существу граничное условие из точки 1у на временнбй оси переносится в точку 1 е (1с,1у]. 9.6. Синпгез оппгимавьнмх систем управления 343 Подставив выражение для гр из последнего соотношения в (9.99), получим оптимальный закон управления П = В В [721(о, уу) — Ягг(у., уу)у][711(о, оу)— — Лгг(г,уу)г] ~х(1). (9АОЗ) Решая ту же самую задачу методом динамического программирования, получили (см.
(9.74)) и* = — В 1ВТКх. Сравнивая зто соотношение с (9.103), получаем К = 7г (У гу) — ~гг(у,уу)В][Яп(У Уу) — Ягг(у,гу)Г] '. (9.104) [ди] « 1, .[9„] « 1. (9.107) При указанных допущениях в первом приближении уравнения движения перехватчика можно записать в виде П Рис. 9.5. К задаче пе- рехвата пиЧп ~ Чп = игп: где х1 текущее расстояние от перехватчика до траектории движе- ниЯ цели; е и - УгловаЯ скоРость пеРехватчика.
ПРинимаЯ УгловУкг скорость перехватчика за его управление и вводя обозначения ди = хг, ы„= и, уравнения перехва.тчика можно записать в векторной форме х=Ах+Ви, где в= [ '], в= [~). Примем за начальное время уе = О. Время перехвата гу = гауеос, и, -- скорость сближения перехватчика и цели. В силу условия (9.107) При г' = 0 формулы (9.103) и (9.104) принимакгт соответственно вид и" = ус В Ягг(1 Уу)Яы (1,1у)х(У), (9.105) к = -г„(у,уу)г;,'(у,уу). (9.106) Соотношения (9.104) и (9.106) определяют решение уравнения Риккати (9.75а) при Е ф 0 и Р = 0 соответственно через фундаментальную матрицу системы, состоящей из уравнения объекта и уравнения Эйлера- Лагранжа для сопряженных координат.
Простейгаая задача перехвата. Решим изложенным методом прогонки задачу перехвата, несколько отличную от задачи, рассмотренной в [13]. Пусть цель движется равномерно и прямолинейно на постоянной высоте со скоростью и„. Перехватчик движется с постоянной скоростью и„. Курсовые углы цели ди и пе- на Ц рехватчика д„(рис. 9.5) достаточно малы: 344 Пж о. Методы теории онтпимиевного управления в первом приближении можем положить ие = о„+ пю т = [Ш~; промахом будет х1(11), Потребуем, чтобы промах был равен нулю. Тогда граничные условия примут вид х(ео) = хо, х1(11) = О.
Рассмотрим задачу синтеза оптимального управления с обратной связью при критерии оптимальности д = -/(е хг+и )Ж. 1 т 2 2 2,/ Го о) В данном случае имеем Ц = [ г~, Н = 1. Гамильтониан и урав- [О пения Эйлера — Лагранжа имеют вид (е х2 + и ) ге1и х2 + геги~ 2 2 2 дН дН г дН ф1 = - — = О, ~2 = - — 4 е хг + ~1сю — = -и+ г)12 = О. д*, ' д.г ди Если записать уравнения объекта совместно с уравнениями Эйлера — Лагранжа в виде (9.100), то для матрицы 11 получим 0 — и„О 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ег ти 0 Условия трансверсальности имеет вид гр (еу) = О. Из последнего урав- нения Эйлера -Лагранжа находим (9.108) и = угг.
Поэтому задача сводится к определению ерг как функцию х. Так как матрица Р постоянна, то фундаментальная матрица зависит от одного аргумента: е (1.,1') = е (1 — 1') = Х(т) = [гм(т)), т = 1 — 1'. С учетом граничных условий решение объединенной системы можно записать в виде х1(1) = 212(С вЂ” Су)хг(11) + 212(С вЂ” 1Х)4(11(11), хг(е) 222(е 11)хг(11) + ггз(в 11)гг1(1у)~ 1ог(1) = 242(1 1у)хг(1у) + 243(1 11)гр1(11) Найдем из первых двух уравнений хг(11) и ф1 (11), а затем подставим их в последнее уравнение.
Тогда получим йб. Синтпез отнималъных систем управленим 345 утг(г) = — 1243(г 17)[ггз(1 17)х1(с) 213(г 17)хг(г)]+ 1 .тз + 243(1 — 17)[212(1 — 17)хг(1) — 222(4 — 17)х1(1))), (9.109) где л = гьг(1 — 17)ггз(1 — 17) — ггг(1 — 27)гы(1 — 17) (9.110) Найдем фундаментальную матрицу Х(т). Так как матрица 11 постоянна, то имеем я(т) егзт т+ 71т+ 172т2 + + 11ити + (9 111) 2 2 1 и и Вычислим степени матрицы В: 112ь Рь-Цдг 12214-1 2[ь-Црз ь 2 3 ) Подставив эти степени в (9.111), получим з ггг(т) = — и„(т+е — +е — +...~ = — — "(е- — е ), 23 43 тЗ т 3! от! / 2е 3 Б т 2 ззз(т) = — и ( — +е — +е — +...) = — — — (е — е - ), Т2Т4ТоТ'о "(,3! 5! 7! ) ег 2ез 21 4" 1 тт 222(т) = 1+ в — + р — +...
= — (е-'+ е ' ), 2! 4! 2 4 В ггз(т) = и„ ~ — + е~ — + е~ — + ...1 = — — + — (е" + е "), " ~ 2! 4! б! / е' 2ег 3 3 242(т) =е т+е — +е — +... = — (е — р ), 3! б' 2 т 4 т и, (Т) и (Т+Е2 +Е4 + ) и (Ест р — тт) 3! 5! ) 2е Подставив зти выражения в (9.109) и (9.110), а затом найденное ВЫражЕНИЕ дпя туг В (9.108), ПОЛУЧИМ ОПтИМаЛЬНЫй ЗаКОН уПраВЛЕНИя е (е — р )(х1 + и тх21 ои р- — р " — рт(е" 4- е ") При ег « 1, разложив экспоненциальные функции в ряд и отбросив члены, содержащие множитель е выше пятой степени, находим и'(х) = (3+0,2е т )( —,, + — ').
0 О 0 — ти 0 ег и„ 0 0 0 0 0 0 О 0 вг 0 — и„е — и„ г 0 0 0 0 0 0 0 Р~ ииег 0 рг 0 0 346 Гл. у. Методы теории опепималеного упраоления В исходных переменных это соотношение принимает вид = (3+ 02е )( + — ") С учетом (9.101) можно записать (см. рис. 9.5) Чав ои(ее — Е)' или, после дифференцирования, Используя это соотношение, оптимальный закон управления можно представить в виде — (3из + 0 2 еггз)д и и Это соотношение определяет закон пропорционального сближения с переменным коэффициентом навигации (30). Задачи 1. Сформулировать задачу вывода летательного аппарата (ЛА) на заданную высоту за минимальное время при ограничении на максимальную перегрузку.
2. Сформулировать задачу вывода ЛА в заданную точку «геометрического» пространства при минимальном расходе топлива и ограничении максимальной перегрузки. 3. Сформулировать задачу поворота вала двигателя на максимальный угол за время Т при ограничении на максимальный ток в цепи якоря: а) с остановкой; б) без остановки. 4. Сформулировать задачу поворота вала двигателя на заданный угол при минимальной затрате энергии и ограничении максимального тока в якорной цепи: а) с остановкой, б) без остановки.
5. Сформулировать задачу поворота вала на максимальный угол с остановкой за время Т при заданном расходе энергии. 6. Записать уравнения Эйлера — Лагранжа и условия трансверсальности при условии, что объект описывается уравнениями х1 — х2; х2 — и1 ез — х4 х4 — и2 а краевые условия и критерий оптимальности имеют вид х1 (0) хз (0) 0~ хз (0) + х4 (0) и (и сопя ) ~ х1(1у) = О, хз(1у) = О, хз(1у) = ее (о = сопзс), 11 ~ = / (и1 + и2) ~~~" о у.б.
Синтез опгппмалвнмх систем управленим 347 7. Записать уравнения Эйлера-Лагранжа и условия трансверсальности при условии, что объект описывается уравнениями х1 — х2 х2 — и1 хз — х4 х4 — и2; на управление наложено ограничение ~(и1 + иг) с(1 = )с (Ъ' = сопзФ), о а краевые условия и критерий оптимальности имекзт вид: а) 21(0) = хг(0) = хз(0) = х4(0) = О, Х4(1у) = О,,У = — хз(1у); б) х1(0) = хг(0) = хз(0) = Х4(0) = О, .хз(1у) = О, 1 = -Х1(1у).
х1 =х2, х2 =и1,. хз =х4, х4 =и2, ~П~ < и, ~(и„+ иг) 411 = 1' (иео 'Г' = СОПЗЦ., о х1(0) = хг(0) = хз(0) = Х4(0) = О, хз(~у) = О, в' = — Х1(1у) 4 шш 9. Определить оптимальное программное управление и оптимальную траекторию в следующих задачах оптимального управления: а) Х1 — — хг, хг = и, )и(<и,, х(0) = О, и, !и/<и„о — Х1(еу) — Хо и — 1, /и/ ( 2, к(0) = О, и — 1, !и/ ( 2, = О, х1(~у) = х,", (1у) = х1 ,1 = 1 е -4 ПЗШ; б) 21 = .'сг, хг = хг(су) = О, х(0) ,У = 1у -4 ппп; в) х1 = хг, хг = Х1(1у) = хо, в =Ру-41ПШ; Г) Х1 =Х2, Х2 х(0) ,1 = 1у -4 ппп; д) х1 = х2, х2 = и, х(0) = О, х1(Фу) = Х01, в' = /и сМ -4 ппп; о е) хг=хг., хг= х(0) = 0 хг(1у) = 0,,7 = / иг 111 -4 ппп.
о Х1 (41 ) Х01 8. Записать уравнения Эйлера-Лагранжа и условия трансверсальности в следующей задаче оптимального управления; 348 Гл. 9. Методы теории отпцяолвного управления 10. Исследовать наблюдаемость и обнаруживаемость следующих управляемых систем: хг = хз, хз = и, хз = и, хз =и хз=и, у=х1+х2. 11. Записать уравнения объекта в нормальной форме и исследовать наблюдаемость и обнаруживаемостге 5 10 )У= р(р -1- 1) ' р(рг + 2р + Ц и; б) у = и; 12. Определить, при каких значениях параметров управляемая система вполне наблюдаема, обнаруживаема: а) Х1 =Х1, Хг =Х1+Хг+и, У = ах1 +Ьхг; б) х1 =х1, х2 =ах1+х2+и, У=ах1+Ьх2.
13. Определить оптимальный закон управления 1управление с обратной связью) в следующих задачах оптимального управления; ю а) х = 12е ' — 1)т+ ц х(0) = хо д = /(хг+цг) г11 — 1 Лпгп. о ЛО б) х х+ ц хф) хо у ~(хг+ из) е11 1 п11п о 14. Определить оптимальный закон управления (управление с обратной связью) в следующих задачах оптимального управления: хг = охг, х(0) = хо, 10 у = ~ (ХЛ + хг + и~) е11 -г Лшп; а) х1 = х1 + и, х10) хо б) х1 = Х1, ю л' = / 1хг + 2Ьхгх + ахг + и') лЫ -Л ппп о аг — Ьг > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
