Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Произвести преобразование, при котором каждое уравнение содержит не более одной управляющей координаты. Р е ш е н и е. Воспользуемся преобразованием Луенбергера. В данном случае матриды А и В имеют вид А= 0 0 1, 2 1, В~Ц= 2, ВОО= 1 Примем пг — — 2 и пг — — 1. Тогда имеем 2 1 2 2 АВОЦ = 3, Т = [ВО~ АВО~ В~г~) = 2 3 1 5 3 5 1 7.3.2. Преобразование Луенбергера.
Ниже при рассмотрении децентрапизации по управлению используется преобразование Луенбергера (ЬпепЬегбег). Это преобразование позволяет представить уравнения системы в таком виде, при котором каждое уравнение включает не более одной управляющей координаты. Пусть система описывается уравнением х = Ах+ Вп, х Е В", .и б В~. 216 Гл, 7. Системы болыаой размсрносгпи. Т'= — 1 — 5 3 Для матриц преобразованного уравнения получаем О 1 — 1 2 О А=Т 'АТ= 1 1 1, В=Т 'В= — О О О О О О 2 Уравнения в новых переменных в скалярной форме принимают вид й» =22 — яз+и„ 22 21 + 22 + 23~ 23 и2.
7.3.3. Децентрализация по входу. Пусть система после декомпозиции описывается уравнением хтн» = Х" (х» О и 1) + Ь~"~(х» «х»" «х» '" «х» "«) хг»~ Е Ла», и Е Л~. В данном случае подсистема Я» (й = 1,2,...,т) зависит не от локального векторного управления цг»», а от вектора управления всей системы.
В таких случаях говорят,что система управления является системой централизованного управления. В системе, которая описывается уравнением (7.23), подсистема Я». (й = 1, 2,..., т) зависит только от локального векторного управления и». Такие системы называют сиоасмами дсцс»»гпрализованного управления. Для того чтобы можно было синтезировать локальные регуляторы для каждой подсистемы отдельно, нужно произвести децентрализацию по управлению (входу). Рассмотрим порядок децентрализации по входу линейной системы., которая в общем случае описывается уравнением х = Ах+ Вп, х 6 Л", и 6 Л~.
(7.26) Децентрализация по управлению производится поэтапно слсдующим образом. 1. Производится декомпозиция, и уравнение (7.26) представляется в виде г хон»= Аьх»ь»+ ~~ Аь«хбб+ В»ц, х»н«Е Ла», й = 1,2,...,г, «=1 уф» (7.27) где А» -- (пь х 11»)-магРицаз А». -" (и», х и )-матРица, В» (пь х 1)-матрица. Эта декомпозиция может быть произведена произвольно. Однако должны быть соблюдены следующие два условия: во-первых, размерность вектора х»ь«не должна быть меньше размерности вектора управления В и» ) 1; во-вторых, пара (АыВ») 217 7.У.
Пеиомпозииио и деиеитпрализаиия Т. = ГВ"' Л.В"' ... (Л )и" -'В"' ... я=~ е ь е . ь В~~~ Аев~ ~ ... (Ае)О'"' ')В~О~, (7.29) где  —. е-й столбец матрицы Вь. И 3. Подсистемы 3~1., содержыцие одну и ту же управляющую координату и„объединяют и получают подсистему Я,. Пример 7.3. Система описывается уравнением х = Ах+ Вц, х е Лз, и е Лз, где — 1 2,'3 2 3 Π— 4,:1 О 2 1 1 О 4 2 2 1 О А= 2 1,'1 1 2 1 О,.'2 — 2 1 2 1,'2 Π— 1 Требуется произвести декомпозицию и децентрализацию.
Рещение. 1. Произведем декомпозицию. Разобьем матрицы А и В на блоки так, как это показано пунктирной линией. Используя блочные матрицы А=~ ' ~, е= уравнения системы можно записать в вице уравнений двух подсистем: хО~ = Агх® + А~ах~аз + Взн, кт о = Аззхбн + Азхбб + Взп, где х~~~ = (тз тз)~, хбб = (тз тл ие)т. Блочные матРицы имеют вид Π— 4'~~192''94 должна быть вполне управляема, т.е. ранг матрицы управляемости Уя = [Вь Аявь .. (Аь)"" 'Ве), й = 1,2.....,г, (7.28) должон быть равен пь. С другой стороны, чтобы иметь дело с более простыми подсистемами, числа нь должны быть примерно одинаковыми.
2. Подсистему Яь разбивают на 1 подсистем Яз (г = 1, 2,,1) так, чтобы каждая подсистема Яз включала не более одной управляющей координаты и,. Лля того чтобы такая декомпозиция подсистемы Яя была возможна, использукзт преобразование Луенбергера. Если размерность подсистемы Яз обозначить пь, (г = 1,2,...,1), то матрица Ть преобразования Луенбергера хь = Техь имеет вид (см. (7.25)) 218 Гл, 7. Снстель~ больыой раэмерносьли.
Ам= 1 О, Аг= 2 — 2 1, Вг= 1 О Проверим управляемость подсистем. Лля этого вычислим их матрипы управляемости АгВг= 2 — 2 1 2 2 1 О 2 3 1 1 2 2 — 2 1 2 Π— 1 15 17 8 3 12 15 [Аг) Вг = Аг(АгВг) = Матрица управляемости Уг имеет вид 2 2 7 8 15 17 Уг= 1 О 4 7 8 3 2 3 2 1 12 15 Определитель, составленный из первых трех столбцов, отличен от нуля. Следовательно, ранг матрицы управляемости Уг равен З,и вторая подсистема вполне управляема.
2. Произведем преобразование Луенбергера. Так как размерность первой подсистемы совпадает с размерностью вектора управления., то пы = гцг = 1, и матрица Т, преобразования Луенбергера х О) = Т, хы~ для нее совпадает с матрицей Вг (см. [7.29)): 7,— В,—, т, Размерность второй подсистемы равна пг = 3. Положим пг г — — 2 и пгг = 1. Тогда матрица Тг преобразования Луенбергсра хбб = = Тгх1г~ имеет вид [см.
[7.29)) где Вг и Вг — — первый и второй столбцы матрицы Вг. Так как [ц [г) Вг = О, АгВг = 2 — 2 1 Уг = [Вг АгВг] Уг = [Вг АгВг (Аг) В ]. Размерности первой и второй подсистем соответственно равны гм — — 2 и пг = 3. Поэтому они будут вполне управляемы, если ранг матрицы управляемости Уг равен 2, а ранг матрицы управляемости Уг равен 3. Ранг матрицы управляемости Уг равен 2, так как уже ранг матрицы Вг равен 2. Для произведений матриц, входящих в матрицу управляемости Уг, имеем 219 Ху. Деиозеиозииив и де14ентрализаиия то 12 -17 -8 — 3 2 2 — 10 Матрицы преобразованных уравнений к01 = А1к10 + Аггк121+ Вгп, кц21 = Аггк10+ Агк121 + Вгп имеют вид А — 1Т(~п)А — 1(и53~Д5~31 Π— 4~' 'г ' " ' ~ 1,5 2,75 2~' 0 5,78 3,44 А2 — — Т, 'А2Тг — — 1 0,56 0,89 0 — О, 22 — 2,5 ] [] А21 = Тг АюТ1 = — 1 1 0 В,=Т,В,= 00 О 1 — 0,78 0,44 2.22 В скалярной форме уравнения в новых переменных принимают вид — 21 + 1122 + 12,52з + 32,3524+ 1325+ и1, — 422+ 152з+ 2 7524+ 225+из, 2, — 0,7822+ 5,7824+ 3,4425+ и1, 0,4422+ ге+ 0,5624+ 0,8925, 2,22 22 — 0,22 24 — 2,5 25 + иг.
24— 25— 21 — 21 + 12,5 гг + 32,35 гз + 11 24 + 13 25 + 'и', Я1: 22 = 21 + 5,78 22 — 0,78 24 + 3,44 25 + и1, 5 зз = 22 + 0,562з — 0,4424 + 0,8925,' ( 24 = 1,522+ 2,75 ез — 424+ 225 + иг, 2 ° ( 25 = — 0,222з + 2,2224 — 2,5625+ иг. 3. Объединим уравнения, содержащие одинаковые управления, в одну подсистему. При этом уравнение, не содержащее управление, включим в подсистему, содержащую управление и1. 5 21 — — — 21+ 1122+ 12,52з+ 32,3524+ 1325+ и1, Я1: йз = 21 — 0,78 22 + 5,78 24 + 3,44 25 + и1, 24 = 0,4422+ гз+ 0,5624+ 0,892;; 1 5 5 5 22 — — — 42г + 1,52з + 2,75 24+ 225+ иг, Яг ..
25 = 2,2222 — 0,2224 — 2,5625 + иг. Лля упорядочения переменных произведем еще одно преобразо- вание: 21 21~ 22 24~ 22 22~ 24 23~ 25 25 Тогда уравнения подсистем примут вид 220 Гл, 7. Системы болоевой размерносспи. 7.4. Векторные функции Ляпунова После анализа и синтеза подсистем их объединяют в одну систему с учетом отброшенных взаимосвязей. При этом возникает задача исследования устойчивости объединенной системы. При решении этой задачи используется метод векторной функции Ляпунова. Согласно этому методу на основе векторной функции Ляпунова, которая формируется из функций Ляпунова подсистем, строится система сравнения, с помощью которой исследуется устойчивость агрегированной [объединенной) системы.
Впервые векторные функции Ляпунова для исследования устойчивости рассмотрели Р. Беллман [66) и В. М. Матросов [44). Р. Беллман исследовал систему, состоящую из двух подсистем. Ф. Н. Беилей [65) обобщил предложенный Р. Беллманом метод на более сложные системы. 7.4.1. Норма матрицы. Палыче в этой параграфе используется норма матрицы. Вкратце остановимся на этом понятии. Пусть А --. произвольная прямоугольная (тв х и)-матрица и задано преобразование у=Ах, х6В", уей В пространствах Рсо и Я'" определены нормы [[х[[ и [[у[[ соответственно.
Норма .матрицы А определяется следующим образом [2Ц: [[А= [[= .'., [[""['. [7.30) .',л- [[~П ' хто Здесь [[Ах[[ — — норма вектора Ах в пространстве Яо'. Норма матрицы А определяется как самой матрицей А, так и теми векторными нормами, которые введены в пространствах Вн и В"'. При изменении норм в этих пространствах изменяется норма матрицы.
Если в пространствах В" и Л™ введены евклидовы нормы то норму матрицы А будем называть евклидовой. Из определения нормы следует неравенство [[Ах[[ ( [[А[[ [[х[[. [7.31) Для (т х ц)-матриц А и В при одном и том же определении векторных норм справедливо неравенство [[А + В[[ < [[А[[+ [[В[[. Пусть Л " число. Справедливо равенство [[ЛА[[ = [Л[ [[А[[. 7мб Вектпорнтяе функции Ляпунова 221 Если определены нормы (тп х 1)-матрицы А, (1 х и)-матрицы В и их произведения АВ, то справедливо соотношение '5АВц < 5Ац 'цВц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
