Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Из последнего соотношения на основе преобразования 1 и= (я1-> 1) т1я2(л1 + 1) т2тз + и) получим У = о. Точка и1 = — 1 для этого преобразования является особой: оно в этой точке не определено. Пля определения требуемого закона управления воспользуемся методом обратной задачи динамики. Если потребовать, чтобы ошибка слежения е = у — у изменялась в соответствии с уравнением 'е'+ й1е+ йзе+ базе = О, то, найдя отсюда У = У ~ Й1с йзс йзс и подставив в преобразованное уравнение для выхода, получаем О = Уж ь1Е Й2Е ЙЗЕ.
Подставив это выражение в преобразование для управления, находим искомый закон управления 1 и= (21 -|- 1) [ — тзтз(т1 + 1) — тзяз+ У ь1(1З Рж) ь2(У У ) йЗ(У Уж)) или, после подстановки выражений для выходной переменной и ее б.б. Пинеаризаиия обратной связью ао выходу 191 производных, 1 и=— (х1 4- 1) [(х1 + 1)(х1х2 + н1хз) + х2хз + нгхг + йзх1— — 'У' — АУ.
— АУ вЂ” Азу.)]. В данном примере число дифференцирований для получения явной зависимости между выходом и входом равно порядку системы. Воз- никают дополнительные проблемы, когда это число меньше порядка системы. Рассмотрим пример. Пример 6.8. Пусть система описывается уравнениями х1 = хг + (хг + 2)тз, хг = *1 + хз; хз = *, + и, У = х1. з 4 Требуется определить алгоритм управления, обеспечивающий сле- жение за траекторией у (1) (остальные переменные ограничены). Решение. Продифференцируем у столько раз, сколько потребу- ется для получения прямой зависимости между выходом и входом: У 21 г'2 + (хг + 2)'ез У' = (1 + хз)хг + (хг 4- 2)хз = = (1 + хз)(хз + хз) + (хг + 2)х4 + (х» + 2)и, или У' = (1 4- хз) (хз 4- хз) + (хг + 2)х4 + (хг + 2)и Из последнего соотношения на основе преобразования и = [ — (1+ хз)(х1 + хз) (хг+ 2)х1+ и] получим у = и.
Как в предыдущем примере, воспользуемся методом обратной задачи динамики. Задав желаемый закон изменения ошибки е = =у — у ввиде (6.17) е+ йге+ йге = О, получим и = у — йге — Йге = ун — ое1[хг + (хг + 2)хз] — Йгхг + угу - + лгун. Подставив зто выражение в преобразование для управления, получим и = — [(1 + хз)(х1 + хз) + (х» + 2)х1 + хг 4-2 + к1[хг + (х2 + 2)хз] + нгх1 Уж й1уж нгуж] При таком управлении ошибка слежения описывается уравнением (6.17). В силу устойчивости этого уравнения огпибка е(1) -4 0 при г — 4 со. Однако пока нельзя делать вывод о том, что полученный алгоритм управления решает поставленную задачу. Это связано со следующим обстоятельством. Порядок синтезированной системы совпадает с порядком исходной системы и равен 3, так как найденный алгоритм управления не вносит 192 Гл.
б. Пинеаризания обратной связью дополнительный порядок. В то же время уравнение ошибки (6.17) имеет порядок 2 и описывает часть динамики. Для получения полного описания синтезированной системы необходимо к уравнению (6.17) добавить еще одно уравнение первого порядка, которое описывает так называемую внутреннюю (скрытун>) динамику. Полученный алгоритм управления применим, если внутренняя динамика устойчива. В противном случае координата, характеризующая внутреннюю динамику, и управление могут принимать недопустимо большие значения, что может сопровождаться перегревом двигателей или возникновением сильных вибраций механической части (69).
6.5.1. Относительный порядок. Основным методом получения прямой зависимости между выходом и входом (управлением) является повторное дифференцирование выхода, пока не получится явная зависимость выхода от входа, и последующее преобразование обратной связью. Число дифференцирований выхода, необходимых для получения явной зависимости между выходом и входом, называется относительной степенью или относительным поряднолс Для вполне управляемой системы относительная степень г не превышает порядка системы и; г ( г>. Пусть система описывается уравнениями х= >(х)+и(х)и, у = Ь(х), х 6 77", и и Л, у6 В, (6.18) где 1'(х), п(х) и Ь(х) гладкие функции в некоторой области П С Ла.
Продифференцируем выход у по й у = — х = — (Г(х) + 8(х)и) = ь1Ь + (> вЬ)и. Если 7,вЬ = О для всех х Е П, то дифференцируем выход еще раз: у = — (ЬуЬ)х = — (7 уЬ)(1'+ ии) = Й~~Ь+ (7яйуЬ)и. Если А ЬуЬ = О, дифференцирование продолжаем, пока не получим 7в7" >Ь ф О. Затем, применяя преобразование обратной связью и = „, ( — Ь~сЬ -ь и)> 1 ЬЬ" 'Ь >г> получим линейное уравнение у = и. Как отмечалось, число г дифференцирований выхода, необходимых для появления управления и, называется относительной степенью (или относительным порядком) системы. Для системы (6.18) это понятие определяется следующим образом. Определение 6.8.
Одномерная система (6.18) ил>ест относительную степень г в области П, если для любых х Е П ЬвА~Ь(х) = О, > = 0,1,...,г — 2, (6.19а) б.б, Пинеаризаиия обратной связью па вв1хвдр 193 АзЛ~ 16(х) ~ О. (6.196) Приведенное определение согласуется с интуитивным определением,. связанным с числом дифференцирования, и с определением относительной степени (или относительного 1юрядка) линейной системы как разности между степенями знаменателя и числителя ее передаточной функдии.
В силу леммы 6.2, если система (6.18) имеет относительную степень г, то в силу (6.19а) и (6.196) О, 0(у+9(т — 2, А„з, А" Ь(х) =,, (6.20) ~(-Ц Л,Ц-1Ь(х) ~О, у+Ь= П р и м е р 6.9. Линейная система описывается уравнением Определить относительную степень этой системы в соответствии с определением 6.8. Р е ш е н и е. В нормальной форме уравнение данной системы имеет вид йг = тз, йз = — (озх1 + пгниг + огиз) + и, У = Ьглг + Ьвлг. Если эти уравнения записать в векторной форме в виде (6.18), то Лг 0 1(х) = яз я(х) = 0 (аг'е1 + аг'ег + а1ЛЗ) Ь(21) = Ьгхг + Ьояг.
Отсюда имеем 0 ~вЬ = ~Ьй = (Ь, Ь, О) 1 Лг 1у11 = '711 г' = (Ь1 Ьг 0) лз = Ь1*2 + Ьглз, — (азл1 + аглг + аглз) 1 ЬуЬ=Ч(УуЬ)8=(О Ьг Ь )я=Ь ФО. Следовательно, в соответствии с определением 6.8 относительная степень г = 2, и она совпадает с относительным порядком передаточной функции, равным разности ее степени знаменателя и степени числителя. 6.5.2. Внешняя и внутренняя динамика. Если относительная степень г меньше порядка системы в (г ( и), линеаризация обратной связью разбивает уравнение системы на уравнения внешней и 13 Д.П. Ким 194 Го. б. Лииеариэаиия обратной оояэью внутренней динамики.
При этом внешняя динамика имеет порядок г и характеризуется г независимыми переменными, а внутренняя динамика имеет порядок в — г и характеризуется и — г независимыми переменными. Обозначим вектор переменных внешней динамики к~ = (хг х х ) (ф ,т = (ххчм хг-~2 ° ° ° ха) Рассмотрим, как можно выбрать эти векторы. Согласно теоремы 6.1 для того чтобы переменные хг (г = 1, 2,... ..., п), связанные с исходным воктором состояния х соотношениями хг = уг(х) (г = 1, 2,..., п), могли служить новыми переменными состоянии, нужно, чтобы градиенты ~7у,(х) (г = 1,2,...,п) были линейно независимыми., или якобиан был отличен от нуля: ду„дзго дзг дхг дхо ' ' ' дх„ Если система (6.18) имеет относительную степень г ( в, то она может быть преобразована в нормальную форму вида хг — хг яг — хз ~ ° хх — 1 — хо й, = а(к~г~, Х1г~) + Ь(к~г~.
Х~г~) и, (6.21а) к =зи(к г,х )., у=хг. (6.216) Как легко убедиться, уравнение внешней динамики примет вид (6.21а), если в качестве переменных ее состояния принять выход и его производные у, у, ..., у: хг = у = Ь(х) = й~~й(х), хг — — у = Ьуй(х), ( -1) „.1 у = 1" й(х), Покажем, что градиенты этих преобразований линейно независимы. Попустим противное: существуют функции с, = с,(х) (г = 1, = 2,...,г) такис, что его хг + сг~7хг +...
+ с„~7хг = О, а вектор переменных внутренней динамики дггг дггг дхг дхг др, др, дхг дхг др, дх др, дх б.б, Линеаризаиия обратной связью ао выходу 196 или сьЛЬ+ сЛйуЬ+... + с„~7Т" 'Ь = О. (6.22) Умножим справа обе части последнего равенства на и. Тогда получим сгТ, Ь+ свЬдАуй+... +с„Т Ь" й = О. В соответствии с соотношениями (6.19а) и (6.19б) в этом равенстве все слагаемые, кроме последнего, равны нулю. Поэтому оно принимает вид С Ьдй" ~Ь = О. Так как ЬдЬ' ~6 ф О, то с„= О. Умножим (6.22) справа на ае(еи.
Тогда, учитывая, что с, = О, получим сьТааедй+ сзТоаед1УЛ + + сх — 1 той дТ е В соответствии с (6.20) в этом равенстве все слагаемые, кроме последнего, равны нулю. Поэтому имеем с, ьЬ а Ь" 6 = О. Так как Ь,й дА" 6 ф О, то отсюда получаем с„ь = О. Продолжая эту процедуру с ад~~б, ..., ада ~н, получим, что все с; = О. Следовательно, градиенты 7х, (1 = 1, 2,..., г) линейно независимы. Так как система из одного вектора н инвалютивна, то по теореме Фробениуса существуют п — 1 независимых функций Лд (и = 1, 2,..., и — 1), удовлетворяющих системе уравнений Ь Лу(х) =О, й= 1,2,...,ть — 1, Чхб й. (623) Напомним, что скалярные функции Ль (х = 1, 2,..., и — 1) независимы, если их градиенты линейно независимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
