Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 31
Текст из файла (страница 31)
дх дх Пусть Г(х) и 6(х) --- две гладкие векторные функции: Г: Лв -в — з Л", и: Л" — з 1Г". Производная Ли от векторной функции фх) по векторной функции Г(х) является векторной функцией и определяется аналогично производной Ли от скалярной функции: Г,,6 = — Г. дх Скобки Ли функций Г(х) и и(х), к определению которых сейчас переходим, обозначают [Г, и) или адеи (второе обозначение особенно удобно при записи скобок Ли второго и более высоких порядков). Определение 6.2.
Векторная функция, определяемая соотно- вдЛ = [Г,К! = з76à — вГК = Губ — АдГ, называется скобками Ли функций Г(х) и и(х). Скобки Ли высокого порядка рекурсивно опрецеляются следующим образом: аН~~ц = аду(ад~ ~8) = [Г,ад~' ~и), ь = 1,2,... Скобки Ли нулевого порядка функций Г(х) и 6(х) равны 6(х): ад~~8 = и. Пример 6.3. Пусть функции Г(х) и 8(х) имеют вид Г(х) = з, 6(х) = Определить скобки Ли первого и второго порядков этих функций. Решение. Производные функций Г(х) и 6(х) по х равны б.Х Некоторые сведения из дифференциольной геомегприи 179 Поэтому скобка Ли первого порядка имеет вид О О з 3 г О 1 О Производная скобки Ли по х равна — (адуК) = и соответственно для скобки Ли второго порядка имеем айУ~К = аду(адуК) = 11(адуК)1' — 17ХадуК = О О тз Зягь О О Зяг~ Лемма 6.1.
Пусть Г(х), Г1(х), Гг(х), К(х), К1 (х), Кг(х) — гладкие векторньге функции, а(х) гладкая скалярная функция, а1, аг скалярные постоянные. Скобки Пи облвдаюл1 следуюьцими свойствоми: 1) билинейность [а111+ агег К] = а1[11,К] + аг[ег, К], [у, а1К1 + агКг] = а1[Г, К1] + аз[у, Кг]: 2) асимметрическая коммутвтивность [Р,К] = — [К,1']; 3) тоокдестпво Якоби Аьл оа = 7 77 а — Ь Йуа. Показательство.
Свойства1), 2) легко получакгтся непосредственно из опроделения скобок Ли. Остановимся на доказательстве тождества Якоби. Исходя из определения производной и скобок Ли левую часть тождества (обозначим ее Ц можно представить в виде да да /дК Ж Ь = Ь,я а = — адуК = — ( — 1 — — К). дх дх (,дх дх Правую часть (обозначим ее Р), основываясь на определении производной Ли, можно записать в виде Р = Буй о — Ы уа = — (Аоа)У вЂ” — (7 уо)К = д По правилу дифференцирования скалярного произведения по вектор- ному аргументу дальше получаем 12' 180 Гл. б, Линеаризация одратной связью Так как слагаемые являются скалярными выражениями, а матрид,д,т ца — ( — ) является симметрической., имеем дх дх "А(Й)' =(" — „'„(й)')'= А(й)'' Таким образом, в выражении для Р второе и четвертое слагаемые равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Поэтому их можно сократить. После сокращения, получим д* ди до дГ Р = — — Г- — — 6. дх дх дх дх Сравнивая выражения для Ь и Р, убеждаемся, что они равны. Лемма 6.2. Пусть г(х), н(х) (х Е Л") — гладкие векдлорные функции (д, и е Кн), а(х) — гладкая скалярная функция. Тогда если Ь Ь~о(х) = О, 1 = 0,1,...,т — 1, ЬдЬюо(х) ~ О, (6.2) О, О < 2+ й < т — 1, Ь,„, Ьфа(х) = .,„(6.3) ( 1)д1дь о(х) ~ 0 1 + й Доказательство. Воспользуемся методом математической ин- дукции по у.
При д = 0 формула (6.3) принимает вид О., 0 < й < га — 1, Ьд Ь ь о (х) ( ЬдЬ~™о(х) ф. О, й = т, и она справедлива в силу (6.2). Допустим теперь, что формула (6.3) справедлива при д = й О, 0<1+й<дп — 1, Ь,д Ььа(х) = (6.4) (( — ~)'~„Ф7 ( ) Ф О, Покажем, что она справедлива при д = 1 + 1. Из тождества Якоби (см. лемму 6.1) имеем ь„я,„л = ь,ь,л — ь,ь,л. Заменив Р' на аду~6 и Л на Ца(х), получим ь д~, ь~~а(х) = ьуь,г~ ь~~а(х) — ь г~ ь~~ 'а(х). В силу (6.4) первое слагаемое для любого й, удовлетворяющего усло- вииь 0 < 1 + й < т — 1, равно нулю, а второе слагаемое принимает вид О, 0 <1+й+1 < т, — 1, ь,а~ ь а(х) = ~ ( — 1)'ЬдЬ'"о(х) ~ О, (+ й+ 1 = т,. Лемма доказана.
б.вц Некоторые введения иэ дифференциальная геомеи»рии 181 Следствие. Путь»(х), н(х) (х 6 Л") -- гладкиг вгкзлорные функции (1, и 6 Лв), Т»(х) гладков скалярная функция и Ь~Т» = Тг, Й1Т2 = Тз, ..., 1 уТп — 1 = Тп ° Тогда если А,„, Т, = О, 1 = 0,1,...,н — 2; 5„„„- ~Т, ~ О. Это следствие получается из леммы 6.2, если принять о(х) = =Т1(х), й=О и т.=н — 1. Лемма 6.3. Пусть Г(х), н(х) (х Е Л") — гладкие векторные функции (», и 6 Л")., о(х) — - гладкая скалярная функция.
Тогда если 5,„» о(х) =О, й=0,1,...,т, (6.5) то ЬдЬ~~о(х) = О, й = 0,1,...,т. (6.6) Доказательство. При й = 0 равенство (6.5) принимает вид Хдо = 0 и совпадает с (6.6). При й = 1, используя тождество Якоби, из (6.5) находим Т л ~о = Й1й~о — 1 11о = О. Первое слагаемое равно нулю, так как в силу (6.5) Ьдо = О. Поэтому получаем Ддйуо = — Хан~до = О.
При й = 2 равенство (6.5), используя тождество Якоби, можно записать в виде Ьвл до Ь лД г»д»о Ь11вл~до А ~»дауа 0 Первое слагаемое обращается в нуль, так как в силу (6.5) Ь,л,до = О. Второе слагаемоо с учетом тождества Якоби преобразуется следующим образом: — !.~„11о = — (ТгЬ,(Ьуо) — ~,,Т, (Д о)) = Д Д (Д о) = Т, гг„— О, Продолжая эту процедуру при й = 3, 4,..., т, получим (6.6). 6.3.2. Диффеоморфизмы и преобразование нелинейных систем. Определение 6.3. Гладкаявскторнаяфункция к = Ф(х) (х, и 6 Е Л"), опредвленная в области П, называется диффеоморфизмом в области й, если существувт однозначная обратная функция х = Ф (я) и эта функция является гладкой. Если функции Ф(х) и Ф (х) опре— 1 делоны и являются гладкими на всем пространстве Л", то Ф(х) называют глобальным диффгоморфизмом.
Диффеоморфизм может использоваться для преобразования нелинейных систем. 182 Гл. б. Линеариэация обратной связью Пусть система описывается уравнением х = 1(х) + 6(х)и и х = Ф(х) — — диффеоморфизм. Так как к = х = [1(х) + 6(х)гг], дх дх то, учитывая, что существует обратное преобразование Т г(к), по- лучим й = Г(х) + Д(г)и, где У« = ",„'"' 6(.) й(к) = 6(х) дФ(х) Теорема 6.1. Пусть к = Ф(х) = (грг(х) грэ(х) ... грв(х))т гладкая г)гункция, оггределенная в области П С П". Еггли якобиан дФ(х) [дггг 1 = [ ""1 является неособым, т. е.
не обраигаепгся в нуль дх дкв1 в точке х" Е Й, то у)ункцггя Ф(х) является г)иффеоморфггэмом в некоторой окрестности 0(х ) этой точки (0(х ) С И). Пример 6.4. Определить, является ли векторная функция к = Ф(х) диффеоморфизмом. Решение. Якобиан имеет вид ИФ(х) [1 2кх дх [О 1 он отличен от нуля при всех х 6 Л~. Следовательно, данная функция является глобальным диффеоморфизмом. [Г,(х), Е)(х)) = ~~~ о вью~(х). я=1 Множество линейно независимых постоянных векторов всегда инвалютивно.
Лействительно, скобки Ли двух постоянных векторов 6.3.3. Теорема Фробениуса. Теорема Фробениуса устанавливает связь между инвалютивностью и интегрируемостью системы линейно независимых векторов. Поэтому прежде всего познакомимся с этими понятиями. Определение 6.4. Множество линейно независимых векторных функций (Гг(х),1э(х),...,1„(х)) называется инвалютивным, если скобки Ли любых двух функций Гг(х) и 4э(х) из этого множества (не обязательно разных) равны линейной комбинации функций из этого множества, т.е.
существуют функции ооь (а = 1, 2,..., г) такие, что б.Х Иекоторые сведения из дифференциольной геомеслрии 183 где Ег = $г(х) = (2хз — 1 О), Гг = Гг(х) = ( — хс — 2хг хз) Чтобы ответить на вопрос, имеет ли данная система уравнений решение, согласно теореме Фробениуса достаточно проверить инвалютивность множества (Гг, Гг). Скобки Ли двух функций этого множества имеют вид — 2 О] Л)- о12 д11 (1с уг) У1 уг 'х в'х — 1 0 0 являются нулевыми и тривиально представляются комбинациями исходных векторов. Множество, состоящее из одного вектора, является инвалютивным, так как скобки Ли двух одинаковых функций равны нулю: (Г(х), Г(х)) = ( 7Г)à — (ау)Г = О.
Определение 6.5. Множество г (г < и) линейно независимых тьмерных векторных функций (Гг(х), Гг(х),...,1с(х)) называется инпмгрируемьем, если существуют и — г независимых скалярных функций сез (х), аг(х),..., а„,(х), удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений ~7а,(х)Г (х) = О, 1 = 1,2,...,п — г; у' = 1,2,...,г. Скалярные функции аз(х), аг(х),..., а„„(х) независимы в некоторой области Р (т. е. при х Е Р), если векторы ~7а,(х) (1 = 1, 2,... ..., и — г') линейно независимы в этой области.
Заметим, что при т = = п — 1 независимость одного единственного вектора ~газ (х) означает неравенство этого вектора нулю: о'аг(х) ~ О. Теорема 6.2 (ггоЬеп1пв (68]). Мнохсесп~во г (г < и) лннеино независимых и-мерных векторных функций (Г~(х), гг(х),...,1,.(х)) интегрируемо в том и только том случае., когда оно инв лютивно. Пример 6.5. Задана система дифференциальных уравнений 2хз — = 0 дхе дхг д да да хг — 2хг +хз =0 дх, дхг дхз где а = а(хс,хг,хз) --- неизвестная функция. Требуется определить разрешимость это системы уравнений. Р е ш е н и е. Эту систему уравнений можно записать в виде ба оа — Г,=О, — Ге=О, е1х Их 184 Гж б. Линеаризания обратной связью Как легко проверить, скобки Ли каждой пары функций из множества (11, 12) могут быть представлены как линейные комбинации функций этого множества следующим образом: [11, Гг] = — 211 + ОГг; [ег, 11] = — [11, 62] = 211 — ОГ2,.
[Г1 Г1] [Гг Гг] ОГ1 + ОГ2. Таким образом, множество 171, 72) инвалютивно и, следовательно, по теореме Фробениуса рассматриваемая система интегрируема. 6.4. Лннеарнзацня обратной связью по состоянию Рассмотрим нелинейную систему х = 1[х) + К[х)и, х Е Л", и Е 17, [6.7а) [6. 76) где О 1 О ... О О О 1 А= [6.7в) Ь= О 1 О О О ... 1 О О О ... О Линеаризованная система имеет специальный вид (см.
(6.7в)) форму управления Бруновского (Вгппогз1гу сопсго11ег Гоьтп) [68]. Однако это не нарушает общности, так как любая вполне управляемая линейная стационарная система может быть преобразована к такому виду. Составим для системы (6.7а) матрицу [К ае 1 К . аду 1К]. [6.8) В случае линейной стационарной системы, когда Г(х) = Ах, К(х) = Ь, где 1(х), К[х) гладкие векторные функции. Начало координат при нулевом управлении является положением равновесия: ДО) = О. Уравнение вида х = Г(х) + К(х)ю(и + Зг(х)), если существует обратное преобразование ю ', можно подстановкой о = ю(и + Зг(х)) привести к взщу (6.7а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
