Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Утверждение 7.1. Евклидова норма матрицы А равна квад- ратному корнто из макси вольного собстпвенного значения Лм произ- ведения матприц АтА: 'цАц = зттЛм. (7.32) Показательство. В соответствии с определением евклидовой нормы матрицы А имеем '5А(! = зпр — = тпах $$,$ $$ та ) 'А = шах ен зхз хел" (х! хен )х( хко Согласно леммы 4.1 квадратичная форма хтАтАх принимает максимальное значение Льт)х)~. Подставив это значение в последнее равенство, получим (7.32).
7.4.2. 'Устойчивость агрегированной системы. Рассмотрим систему, которая после декомпозиции описывается уравнениями е хж) =хь(х(И,И)+™, -Ня1хе (Хя(0,1) =0 и > 1,), з=-1 (7.33) ,'Фь в = 1,2,...,т, где Нту числовая (пь х п.)-матрица. Если пренебречь взаимосвязями, то получим т независимых подсистем Яя (к = 1,2,..., т), которые описываются уравнениями хрп = Х"(х~ь~,с) (Хя(0,1) = 0 Ч1 > 1о), й = 1,2,...,т.
(734) Пусть каждая из этих подсистем обладает функцией Ляпунова 1тя (х~ "1, 1), которая удовлетворяот следующим соотношениям: сетях ~ (~ тть(х,у) ~ (сьз~х (7.35а) 1тя(х1"~,1) < — сьз(х~"~)~, (7.35б) х(я> т (7.35в) дхое В (7.35б) Ъть(х~ь~,с) являются производными по времени в силу уравнений (7.34). Так как эти производные отрицательно определены, подсистемы Яя (к = 1, 2,..., т) асимптотически устойчивы. Кроме того, в силу условия (7.35а) функция 1 ь (х~ь~, 1) имеет бесконечно большой нижний предел. Поэтому подсистемы Яя (й = 1,2,..., т) асимптотически устойчивы в целом.
В случае когда подсистемы являются линейными стационарными, имеет место экспоненциальная устойчивость. Согласно теореме 7.3, если подсистемы экспоненциально устойчивы, то выполняется соотношения (7.35). Однако в общем случае выполнение соотношений (7.35) не гарантирует экспоненциальную устойчивость. 222 Гл. 7. Системы больюой размерносгпи. Теорема 74. Нутпь подсистемы (7.34) обладают у4ункциями Ляпунова Ъь(х~ь~, 2), удовлетворяютими соотноиьениям (7.35), и элементы матрицы Р = (дь;) (Ь, ь = 1,2,...,г), составленные аз констант сяо входящих в соотношения (7.35), и евклидовых норм ,магприц взаимосвязи Нь, из (7.33), имеют вид сьз Й=ь, 2сьз ' (сь )з ~ зНь,зз ~(2с„зс ) ь У',; (7 Зб) э'=з уфь Тогда если положение равновесия х = О системы х=Рх, хЕН", (7.37) асимптотически устойчиво, то положение равновесия = (( ~0)т( 50)'...
( ~"~)') ~ = О агрегированной системы (7.33) асимптотически устойчиво. Система (7.37) является системой сравнения для агрегированной системы (7.33). С ее помощью исследование устойчивости системы (7.33) н-го порядка л = 2,' пь сводится к исследованию ь=1 устойчивости линейной стационарной системы г-го порядка. Ниже при доказательстве теоремы 7.4 используется неравенство Ьз — азз+ Ьг < — — гз+ — (а > О, Ь > О, з > О), (7.38) которое доказывается следующим образом.
Умножим обе части неравенства на — 1 и перенесем многочлен из правой части в левую. Тогда получим Ьз а 2 — з — Ьз+ — > 0 2а или — (ьГаг — — ) > О. Доказательство теоромы 7.4. Производная по времени функции Ъ~ (х, ь) в силу уравнений (7.34) имеет вид Фь)(зь) = ь Х '(х '~,2) + Производная по времени функции ьь(х,с) в силу уравнений (7.33) имеет вид щ„„= "~х"(''эрьзя„ э=-1 (ь'ь)[з4~ + ~ Ньэх ~ . зать 7.4. Векигорные фднкиии Ляпунова 223 Используя соотношения (7.356), (7.35в) и (7.31), получим а~,.
(Ю(зз) (еь)<з4> + я ~~' Ньзх ~ < она < — сьз(х~ ~! + — ~~ ~Нь х~г1( < дхол 1=4 газ < -с,з)х~"~/'+ сяв)х~"~! ~ '~5н„9 (х®!. 4=1 гфя Лалее, используя неравенство (7.38), полагая в нем г а = сим Ь = сь4 ~ ~/)Ня )/ (т~г~), г = (х~ь~), 4=4 1фь а также неравенство Коши-Шварца (4.19), найдем (Ъе)(зз) < сьз)х~~~)~ + сь4~х~~~! ~ зНя с (х®! < 4=4 1фь с г з г < евз ~ (ь)~г+ (с44) ~ вН о ~ (г)~ < 2евз г=г лез 2 < ЕЗЗ ~ <Ь)~г (СЯ4) ~ оН ог ~~ ~ ~ (В~г 1=1 г — 1 1кь 1МЯ Из (7.35а) получаем — /х~"'~! < — — Ъь(х~ ~,Х), !х~"~/ < — Ъь(х~ ~,1).
еяг Еь4 Позтому последнее соотношение можем записать в виде Ъ' хе~ 4 (1г ) < еяз 1; ( Щ 4) + (са4) ~ ~~ ~~Н ~р ~-~ ~~Н ~~г ~1(х' ~~) 2 еег ' 2 сез сод 1=1 1=1 1Фь 1тж Используя векторную функцию Ляпунова Ъ (к~1) [1гг(х ~ 4) 1 г(х ~1) . ° 1 е(х ~4) ~ эти неравенства при й = 1, 2,..., г можно представить в векторном виде: '(Г(Х,Ь) < Ргу(х,1), или Ъ(1) < РК(Ь), 224 Гл, 7. Системы болыиой размерности. где Ъ'(1) = ч'(х(й),й), х(й) -- решение системы уравнений (7.33). Пусть х(1) решение уравнения (7.37) при начальном условии х(1в) = Ъ"(х(1в),1в). Тогда согласно теореме 7.2 выполняется неравенство 1' (1) ы х(1) 1 ~> 10.
Так как положение равновесия х = О системы (7.37) асимптотически устойчиво, .то х(г) э 0 при 1-+ со. И в силу того, что все компоненты векторной функции Ляпунова являются положительно определенными функциями, Ч(1) = Ъ'(х(1),1) -э 0 и соответственно х(1) ь 0 при г — э оо. Тоорома доказана. 7.4.3. Критерий устойчивости М-матриц. Матрица Р уравнения системы сравнения обладает специфическим свойством: все ее элементы, расположенные вне ее главной диагонали, являются неотрицательными. Такие матрицы, как отмечалось, назывэзотся М-магприцами.
Критерий Севастьянова — Коте лянского [16]. Если (и х п)-матрииа С = (с; ) является М-матрицей, т. е. с, > 0 (1, у = = 1,2,...,и:, 1 у'. -7), то для того чтобы вещественные части всех ее. собсгпввнных значений были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие сы сьг сы 1)ь с21 сзз ... сзь > О, и = 1, 2,...,п. (7.39) сы сиз ° ° сьь Если вещественные части всех собственных значений квадратной матрицы отрицательны, то такая матрица называется устойчивой.
Поэтому критерий Севастьянова-Котелянского является критерием устойчивости М-матриц. Соотношение (7.39) называют условием Севастьянова -Котелянсного [16[. Необходимое условие устойчивости М-матриц. 27ля того чпшбы М-мптрица С = (с„) была устойчиви, необходимо, чтобы все ее элементы главной диигонили бьти отрицатсльньс си(0 (1=1,2,, и). Пример 7.4. Исследовать устойчивость системы, состоящей из следующих трех подсистем: 31 . О) (О 0) (з] х, = — 5х, — 10хз +02х, х< = — (4+кйп 1)х< +х +0,2х~ ~, хг — — — 2 х< — (2+ е ь)хз + 0,2 х< ~ з ~ ~ ~ ~ 2 !| 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 <1 ~ ~ 2 2 ~ 2 ~ ! 1 ~ ~ | 3 ~! ~ Ез.
х, = — 4х, — зшх, + 0,2хг лз~ (з) . 1з) 0) 225 7.4. Векгаорнме фднкиии Ляпунова Здесь х~ ~ = — 8 — 10 0 0,2 ! — 14+ зшг 1) 1 — 2 — (2+ е ')1' 02 0 Нгз О О х~ ~ = х1з1 = и,, Нзг — — (О 0,2). Если пренебречь взаимосвязями, .то получим Я1. х10 = Азх1Ц, Яг. хЦг1 = Агх1г1 Яз; тЦз~ = 4т1') яйпт Пля подсистемы Я1 функцию Ляпунова будем искать в виде квадратичной формы 1'"1 = (х ) Вгх, В1 —— , а1 > О. (11 т 00 Г1 О1 Производная по времени функции 1'1 в силу уравнения подсистемы Я1 имеет вид Р~ — — 2(хц~)тВ1 х01 = 2(х~О)~В~ А~ х10 = — 1х10)тС1х1Ц, где С1 — — — 2В1А1 — — — 2 „„„= 2 Преобразуем и выразим производную 7~ с помощью симметрической матрицы: Г~ — — — 1х~ ~) С х~ ~ = — — (х~ ~) 1С + С1 + С вЂ” С )х~ ~ = 2 = — — (х~ ~) (С, + С, )х» — — (х~ ~) (С, — С, )х~ ~. 15 Д.П.
Кин Решение. В векторной форме приведенная система уравнений принимает следующий вид: 51: хч 0 = А х111 + Н1 х(г1 + Н и(з1 Яг. 'хч~~ = Агхбб + Нгзх01 + Нгзт1о1, Нз: 21з1 — 4 т1з1 — зш т1з1 + Нзье01. 226 Гл. 7. Светелся болотов раэлерноесаи. Второе слагаемое в полученном выражении равно нулю, так как ~хс 1) (С вЂ” С )хс ~ = [( С ~) (ф— С )х( )~ = -( (О) (С, — С',) с'~.
Поэтому имеем Г = — (х~ ~) С х~ ~, г де 16 10+ 5аг1 10+ 5 аз 20аг Для того чтобы производная 1сс была отрицательно определенной, согласно критерию Сильвестра необходимо и достаточно, чтобы 16 сгесС = 10+5 10+ 5 аз 20 ас = 220ссс — 100 — 25сс > О. Это неравенство будет выполнено, в частности, при сег = 1. При этом имеем В'- О 1 С'- 15 20 с1е1 (Сс — 1Л) = = Л вЂ” 36 Л + 95 = О. 16 — Л 15 Корнями этого уравнения являются Лс — — 2,9 и Лг = 33.,1. Следовательно, минимальное и максимальное собственные значения матрицы Сг равны Л„= пп = 2,9 и Лзс1 = Лг — — 33,1.
Согласно теореме 7.3а имеем ссг = Лм' —— 1, в, сы=2Лм =2 в, сгз = Л~' = 2,9, г„= Лв =1, Для подсистемы Я функцию Ляпунова будем искать в виде квадра- тичной формы Ъг=(т ) Вгт, Вг= ~, сзг>0. ,г, т ,г, ~ 1 О 1 0 аг Производная по времени функции Иг в силу уравнения подсисте- Так как матрица Вс является диагональной, то ее собственные значения совпадают с диагональными элементами. И, следовательно, ее минимальное и максимальное собственные значения равны единице: Лв' = Лвм' = 1. Найдем собственные значения матрицы Сы Ее характеристическое уравнение имеет вид 227 7.4.
Векгаорнвге функиии Ляпунова мы Яг имеет вид Ъ' = 2(х~г~)тВгх~г~ = 2(х~г~)тВгАгх~г~ = = 2(х~г>)т 1 0 — (4+ Яп г) 1 (О ог)( — 2 — (2+с е)) = — 2((4+ зли 1)(х, ) + (2ог — 1)хг ~хг ~+ (2+ с ')ог(хгя) ~. Коли положить ог = 1/2, то производная Рг принимает вид Иг —— — 2[(4+яп «)(х1 ) + — (2+с ')(хг ) 1, и является отрицательно определенной. При этом матрица Вг при- нимает вид Вг = 6 1)2 и ее минимальное и максимальное собственные значения равны Лв, 1/2 и ЛВ' = 1. м Так как 2~(4+э~в 1)(х ~) + — (2+с ~)(хг ) 1 > 2[(х1 ) + (хг ) ~, то гг < — 2~х~~~ ~~. Поэтому имеем (см.
(7.21а), (7.21в) и (7.16б)) ся = Л,„= 1/2, сгг = Лкгг — — 1, сгз = 2, сг4 = 2Лкгг — — 2. для подсистемы яз функцией Ляпунова является Гз = (х~з~)г = = (х )г. Пействительно, производная от этой функции по времени в силу уравнения подсистемы Яз имеет вид Гз = 2хг~ хз ~ = 2х~г ~( — 4хнб — япхбб) = — 2(4(хг~ ~) + х~г ~япхз ] и отрицательно определена. Функцию Ляпунова можно представить виде 1ез = х~з~Взт~з~, где Вз = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
