Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 20
Текст из файла (страница 20)
И здесь, хотя функция 1х(х,1) не является знакоопределснной, предполагается,что она обладает всеми свойствами, которыми были наделены знакоопределенные функции при их определении: функция 1'(х, 1) непрерывна, обладает непрерывными частными производными по всем своим аргументам и в начале координат обращается в нуль. Показательство. Согласно определению 2.7 неустойчивости положения равновесия нужно показать, что найдется такое положительное число с.
что в любой малой б-окрестности начала координат найдется такая точка, что возмущенное движение, которое начинается в этой точке, в какой-то момент р достигает границы с-окрестности. Так как функция г'(х,й) допускает бесконечно малый верхний предел, то для любого положительного числа с' найдется такое положительное число О', что ~1г(х,1)~ < с' при 1 > 1о, если ~х( < б'. (4.8) Покажем, что если положить с = б', то в любой малой окрестности начала координат существует точка х = х такая, что ~х(х~,1)~ > с в какой-либо момент 1 = У. Лопустим противное: положоние равновесия х = 0 устойчиво и для заданного с = б' найдется такое положительно число б, что ~х(х,о)~ < с = б' при всех 1 > оо, если ~х~~ < б.
(4.9) Так как Ъ'(х,1) .. положительно определенная функция, то при любом х = хо и, в частности, при )хо~ < б И(х(х,о), 1) ) Ъ'(х,с) = )го при всех 1 ) 1о. (4.10) По условию теоремы в любой малой окрестности начала координат найдется точка х = х', в которой Г(х',1) > О.
Если положить хо = = х', то 1'о > О. Так как функция Г(х.,о) допускает бесконечно малый верхний предел, то для данного положительного 1го найдется такое и, что ~1г(х,с)~ < Ц~ при всех 1> йо, если ~х~ < 1ь 118 Гл. 4. Метод функций Ляпунова Отсюда и из (4.10) следует, что ~х(хв,1)~ > Ь, и с учетом (4.9) полу- 6 < ~х(х, 1)) < е = б'. Так как Ъ'(х,1) . положительно определенная функция, то сущест- вует такая положительно определенная функция ю(х), что 1'(х,1) > > ю(х) при всех 1 > 1в.
ПустЫЗ вЂ” минимум функции ю(х) на полу- ченном выше интервале; (1 = сшп ю(х). л<ь.~цм Тогда на этом интервале ю(х) > (э' и из последнего неравенства имеем Г(х(х, г), г) > ю(х) > )э'. Проинтегрировав это неравенство, получим 1'(х(х г) г) > го +ьэ(с — го). Правая часть и соответственно функция Ъ'(х(х, г) 1) с увеличением времени неограниченно возрастают, что противоречит условию (4.8) и показывает неправомерность предположения об устойчивости. Тео- рема доказана.
Т ео ром а 4.8 (вторая теорема Ляпунова о неустойчивости). По- ложение равновесия х = 0 неавтономной системы (4.'2) неустой- чиво, если суи1ествует функция 'г'(х,1), допускающая бесконечно малый верхний предел, такая, что ее производная 1г(х,1) в силу уравнения этой системы имеет вид 'г'(х, 1) = ор'(х, 1) + ю(х, 1), где ю(х,1) -- положительно полуопределенная функция, и при всех 1 > 1в в любой малой окрестности начала координат найдется точ- ка х = хе, в которой функцил $'(х,1) принимает положительное значение.
Доказательство. Так как функция $'(х, г) допускает беско- нечно малый верхний предел, то для любого положительного числа е' найдется такое положительное число б', что (1'(х,1)( < е' при всех 1 > 1в, если )х/ < б'. (4.11) Покажем, что если положить е = б', то в любой малой оквпестности начала координат существует точка х = х такая, что ~х(х,1)~ > е в какой-либо момент 1 = 1'. Действительно, по условию теоремы — $'(х(х, 1), 1) = и 1' (х(х, 1), 1) + ю(х(х, 1), 1), или — ае — (е а~1'(х(х,1), 1)1 = е ею(х(хв, г), 1) > О. Отсюда получаем Ъ'(х(х",.1), 1) > е~" г'(х: 1в). Коли выбрать начальную точку х = хв там, где г'(хв, 1в) > О, то из последнего равенства следует, что Г(х(х .,1), 1) неограниченно возрастает. А это противоречит условию (4.11), если допустить,что ~х(х ,.1) ~ < е = б'.
Теорема доказана. 4.У. Устойчивость автпономных систпем 4.3. отстойчивость автономных систем Пусть система описывается уравнениями х, = Х1(х1, хз,..., х„), 1 = 1, 2,..., п, (4.12а) или, в векторной форме, х = Х(х). (4.12б) На тало координат, т. е. точка х = О, является положением равновесия: Х(О) = О. Правая часть приведенных уравнений не зависит явно от времени. Система, которая описывается такими уравнениями, и сами эти уравнения называются авв1ономными системами. 4.3.1. Теоремы об устойчивости.
При исследовании устойчивости автономных систем в качестве функций Ляпунова используются функции Ъ'(х), не зависящие явно от времени. Производная по времени функции 1т(х) в силу уравнений (4.12) определяется следующим образом: ~ ) Х ( ) = ~ ) Х(зс). Теорем а 4.6 (теорема Ляпунова об устойчивости). Положение равновесиях = О автономной системы (4.12) устойчиво по Ляпунову, если существует положтппельно определенная у1ункция К(х) тпаная, что ее производная по времени в силу уравнения этой системы являеп1ся отприцательно полуопределеннои 1руньцттей. Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 4.1.
П р и м е р 4.4. Исследовать устойчивость систему, которая описывается уравнениями .С1 — Х2; Х2 — Х1. Решение. Функцию Ляпунова будем искать в виде квадратичной формы 1 1х) = хт + 2 оъ, х 2 + ттх,. где о и Д неизвестные параметры. Согласно критерию Сильвестра эта форма будет положительно определенной функцией, если выполняется неравенство аз =12 — оэ >О. Производная по времени квадратичной формы в силу заданных урав- нений имеет вид 11(х) = 2хтх1+ 2 охтхя -1- 2ох1222+ 2)зхзх2 —— = 2 хтхз + 2 стхз ~— 2 ох1~ — 2 ~3хэх1. Если принять о = О и Д = 1, то квадратичная форма будет положительно определенной, .а ее производная будет равна нулю, т.е.
120 Гл. 4. Метод функций Ляпунова функция удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова. Следовательно., положение равновесия х = О устойчиво по Ляпунову. П ример 4.5. На тело с массой т действует сила Г, обладающая слелующими свойствами: Е = — 1"(у), ДО) = О, 1(у)у ) О при у ф О. Лвижение тела описывается уравнением ту = г'о или, в нормальной форме, уравнениями 1 х1 х21 х2 У(х1) Исследовать устойчивость положения равновесия х = О.
Решение. В качестве кандидата на функцию Ляпунова рассмотрим полную энергию. Кинетическая и потенциальная энергии соответственно имеют вид оо оо о1 Кандидат на функцию Ляпунова принимает вид 1 $'(х) = И + У = '+ 1ьх1)дх1. о 1 Эта функция является положительно определенной. Ее производную по времени в силу уравнения движения 1 1'(х) = тхзхз + Д(х1)х1 = -тхз — ф(х1) + ф(х1)хз = О можно считать отрицательно полуопределенной. Следовательно, не- возмущенное движение х = О устойчиво. Теорема 4.7 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Лолозкение равновесия х = О атпономной, системы (4.12) асимптотачески устойчиво, если существует опакая положительно определенная функция 1'(х), что ее производная по времени в силу уравнения эпоой системы является отрицательно определенной функцией. Так как функция У'(х) непрерывна и равна нулю в начале координат, то она допускает бесконечно малый верхний предел. Поэтому эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 4.2.
Пример 4.6. Исследовать устойчивость положения равновесия х = О системы х1 = — х1 + 2х , хз = — х1 — Зхз. ,з .,з Решение. Лля решения этой задачи воспользуемся методом рпзделения переменных, предложенный Е.А. Барбашиным (7). Метод состоит в том, что функция Ляпунова ищется в виде функции, которая вместе со своей производной представляет сумму функций, 121 4.эц Устойчивость автономных систпем каждая из которых зависит только от одной фазовой переменной: Г(х) = ~ ~г',(х,), Ъ'(х) = ~ Ф,(х,).
В соответствии с этим методом в качестве кандидата на функцию Ляпунова принимаем функцию 1 (Х) = Р1 (21) + Рг(Х2). Производная по времени от функции в силу уравнений заданной системы имеет вид йр1 дрг др1,3 йр1 дрг дуг,,з 1' (х) = — х1 + — хг = — — х1 + — 2 хг — = Х1 — — 3 хг. йх1 дхг дх1 НХ1 дхг дхг И чтобы она представляла сумму функций, каждая из которых зави- сит только от одной переменной, разность средних членов справа в последнем соотношении должна быть равна нулю: дГ1 дК2 — 2хг — — х1 = О, дх~ " дхг или Так как левая часть зависит от х1, а правая часть от хг, то последнее равенство возможно, если обе части являются константами и равны, например, единице. Тогда имеем дЕ1 — = Х1, дх1 дхг — = 2хг.
дХ2 1 (х) = 21 322 = — (21 + бх2) дх1 дх2 Итак, полученная методом разделения переменных функция является положительно определенной, а ее производная в силу уравнений рассматриваемой системы отрицательно определенной. Слодовательно, положение равновесия х = О асимптотически устойчиво. Теорем а 4.8. (обобщенная теорема об асимптотической устойчивости). Положение равновесия х = О автономной системы (4.12) асимпгпотически устойчивщ если существует такая положительно определенная функция 12(х), что ее производная по времени в силу уравнения этой системы является отрицагпельно полуопределенной функцией, и она обращается в нуль вне начала координат на множестве М С П, не содержащим цельгх траекторий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
