Бесекерский (950612), страница 68
Текст из файла (страница 68)
и, На основании изложенного ошибку системы можно представить в виде х (г) = Ь (г) — у (г). (11.130). Выходная величина системы управления у(г) = ~гр(т -т) те(т)г(т, (11.131) где ят (г) - я (г) + у (г), а в (т) — весовая функция замкнутой системы. Подставляя (11.130) и (11.131) в формулу (11,129), получаем 2 — 1'~ ха = !нп — ( Ь(г) — ~ ~р(г — т) га(т)г(т г(г. г 2Т -т' (11.132) Задача закл1очастся в том, чтобы найти частотную передаточную функцию замкнутой системы, связаннукт с весовой функцией преобразованием Фурье Фцо)) = )ге(т)е лый, о (11.133) таким образом, чтобы минимизировать значение х . 2 Раскроем в выражении (11.132) скобки и изменим порядок интегрирования: — 2 1т2 1 х = !нп — ~)ть(г)г(1 — 2 ~ге()) й, йт — ~Б(т) тр(г-Х)г!г+ г~2Т г 'г -2Т 1 + 1ья(Х) гт) арго(ч)г(ч !! — 1 р(е-)) р(г- ) ттб г — 2Т, (11.13~) Введем корреляционные функции: 1 Я„(т) = Вш — ~л(г+ т) л(г) гтг, т. -2Т (11.135) ложснныс на входе системьь Перел системой ставится задача прсобразовывап входной сигнал д (г) 'гак; чтобы на сс выходе воспроизводилась величина Ь (г), связанная с д (т) некоторой формулой преобразования 1.
(й (т)! - Н(р)1 (я(г)1, Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 341 1 Л (т) = !пп — ~гр(г+т)гр(г)г2г = Л,(т)чЛг(т)+Л,, (т)+Лгв(т), (1! 13! ) Т-г ь,(т)= г!!ш —. *)Л(г+т)'р(г)г2 =Лов(т)+Лоу(т). 1 (11.! 37) Этим корреляционным функциям соответсгвуютснсктральныс плотности 5ь (го).
5Ф (го), 5л (го), 5У (го), 5хг (го), 5ух (го), 56в (го) и 5ьу (го). Кроме того, 1 т !гш — ! Ь~(г)туг= Лл(0). т -2Т, В результате выражение (11.134) можно преобразовать к виду х =Ло(0)-2 )гг~())Лл (Л)г(Л+ ) ге()г)г()г )ю(ч)Ло()г-ч)оГж (!! !38) рак как в реальных системах та (г) = 0 при г < О, то нижнис пределы интегрирсованпя в (11.138) пало положить равными нулю. В результате получим х =Ль(0)-2) го())Лл (Х)Ю.ч-)ге(!)Юг!и(о)Л, () -о)ггж (1! !30) о о о Лл (т)- )Л (т-))и~(л)г(а=О, т>0. о (11.140) Оптимальная передаточная функция (11.133), соответствующая оптимальной весовой функции, являющейся рсшсписм уравнения (11.140), может быть представлена в виде ~„-ле (г~ ьо е' ага, 5ьо(гл) лм 2квг( гго) „Чг (.1 1.!41) где ч (ьо) ч**((оз) -!Ч'(ьо)~в =5ч(").
(11,142) Из последнего выражения видно, что оптимальная весовая функпия, соответствующая минимуму среднего квадрата ошибки, определяется только видом коррсляционных функций полезного сигнала и помехи. Можно показать (88!, что нсобходимос и достаточное условие минимизации вьгражсния (11.139), которое должно быть положено на весовую функцию, заклк>чается в том, чтобы она была рсшением интегрального уравнения Винера — Хоггфа 342 Непрерывные линейные системы автоматического управления В частном случае, когда преобразующий оператор О (р) = 1, т. е. в так называемом случае оптимального сглаживания, имеем Ь(г) =В(г), 5е(ш) = 5я(о!) — 5.(ш) + 5„((ш) + 5в(ш), 5ьч (ш) = 5вч (ш) = 5х (ш) ' 5а'("). В этом случае решение (11,141) может быть представлено в более простом виде: Вош) рОш) (11 143) 5кч(ш) ч ц, ч Ь; " е,.
чгош)!о!!)!от+а!'!го у' (11.144) Здесь т), — полюсы 5, (о!), расположенныс в верхней нолунлоскости, ( — а,)— полюсы 5' (ш), расположенные в нижней полуплоскости, причем полюсы предполагаются йростыми, а у; — нули Ч'* (тш). Тогда В(тш)=Х " ;=! го — и! (11. 145) При реализации в системе оптимальной передаточной функции получится теоретическийй минимум среднего квадрата ошибки. Этот минимум определяется выра- жением (11.146) или в другом виде х' ь, = — Ц5„(ш)-! В()ш)) ) Йо.
(11.147) Рассмотрим иллюстративный пример. Предположим, что полезному сигналу и помехе на входс системы соответству!от спсктральп!>!с плотности: 5,(ш)=, 5у(ш)=йг, грВ шт ерз' Числитель этого выражения определяется еледуюпгим образом. Рассмотрим следующее выражение: Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 343 причем корреляция межлу пнми отсутствует и 5,г (ш) = 5',х (ш) .- О. 11айлбм спект- ральнуго плотность, соотвстствукппую (! !.13б): В (ш) В (ш)+5 ( ) 2Ф -)УН'+Лгш" ( ) ( у или в другом виде (1 е )аш)(1- )аш) (Н+ у~)(Н тш) тле А=2НЛ+УН, а Лг Х 2Н1) е т'ГН' Отсюда знаменатель искомой передаточной функции (11. 143) Г-1ч- !аш Н.~- /ьо 1(роме того, получаем 5кр(ш) Ук(со) 2Н0 1 Отбросив первый член в скобках, соответствующий полюсу в нижней полуплоскости, находим числитель искомой нерелаточпой функции (11.143): 2Н0 1 1 В()ш) =— ,/А 1+НАт Н+ро Окончательно получаем ФОш) = —, Вцш) 2 НО 1 ту(уо) А(1е ра) 1+ таш Ф(р)= 2НО 1 А(1ера) 1еар 344 Непрерывные линейные системы автоматического управления В соответствии с (11.147) 2я ~рз+юз Л(1+На)з рз +газ( 1( 2О 1+ — 1е — — 1 2 ~ р)«' Иахожлеиис оптимальной передаточной функции ешс не означает, что реальная автоматическая система может быть выполнена оптимальной, так как реализация ес может быть сопряжена с болыпими трудностями.
Оптимальиу1о перслаточпую фуикцию, за искл«>чепием простейших случаев, следует считать идеальной фуикпией, к которой 1ю возможпости пало стремиться при выполнении реальной автоматической системы. Теория оптимальиых систем излагается в работах ~ 22, 88, 89], Глава 12 МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 5 12.1. Общие соображения Пол сиптезом гистсмы автоматичегкого управлспия попимается направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание рациональной структуры системы и устаиовлсиис оитимальиых величин параметров се отдельных звсиьев. По отпошеиию к основе синтеза в настоящее время имеются разные точки зрения.
Синтез можно трактовать как пример вариациоцпой задачи и рассматривать такое построение системы, при котором лля даииых условий работы (управляюшие и возмущающие воздействия, помехи, ограничения по времени работы и т. п.) обеспечивается теоретический минимум оппгбки. Синтез также можпо трактовать как инженерную задачу, сводяпгуюся к такому построепию системы, при котором обеспечивается выиолисиис технических требований к ней, Полразумсвастся, что из многих возможных решений инженер, просктируюп1ий систему, будет выоирать те, которые являются оптималыпями с точки зрения существующих конкретных условий и требований к габаритам, весу, простоте, цалежпости и т. и. Иногда в понятие иижсиерпого синтеза вкладывается егце более узкий смысл и рассматривается синтез, имеющий целью определение вида и параметров коррскти рук>щих средств, которые исобхолимо добавить к иекоторой неизменяемой части системы (объект с управляющим устройством), чтобы обеспечить требуемые липами ческис качества..
При и ижсиериом си итсзс системы автоматического управ.|опия иеобхоли мо обсе. лечить, во-первых, требуемую точность и, во-вторых, приемлемый характер пере хоЛиых процессов. Глава 12. Методы синтеза систем автоматического управления 345 Решение первой задачи в болыцицстве случаев сводится к опрелелепию требуемого общего коэффициента передачи разомкнутой системы и, в случае необходимости, — вида коррсктирую1пих средств, повьцнающих точность системы (козгбинированное управление, изодромпые механизмы и т.
н.). Эта задача может решаться при помощи определения ошибок в типовых режимах па основе тех критериев точнсюти, которые были изложены в главе 8. Решение атой задачи, как правило, не сопряжено с трудностями принципиального глли вычислительного характера, так как критерии точности достаточно просты для их практического исгюльзонапия. В сложных случаях можно прибегать к помощи моделирования. Решение оказывается сравнительно простым вследствие необходимости установления значений относительно небольшого числа параметров.
В простейшем случае необходимо найти только коэффициент передачи разомкнутой системы. Решение второй задачи — обеспечение приемлемых переходных процессов — оказывается почти всегда более трудным вследствие болшпого числа варьируемых параметров и многозначности решения залачи демпфирования системы.
Поэтому существу1ощие инженерные методы часто ограничнвак>тся решением только второй задачи, так как их авторы сч итак>т, что обеспечение требуемой точности может быть достаточно просто сделано на основании использования сущсствуюц[их критериев точности и совершенствования их практически пс требуется. В настоящее время для целей синтеза систем автоматического управления широко используются вычислительные машины, позволяющие производить полное илн частичное моделирование проектируемой системы.
При таком моделировании становится возможным наиболее полно исследовать влияние различных факторов нелинейности, зависимость параметров от времени и т. и. Однако моделирование на вычислительных машинах цс может заменить расчетных методов проектирования, которые во многих случаях позволиют исследовать вопрос в общем виде и среди многих решений найти оптимальное. Поэтому, несмотря на развитие и распространение машинных методов синтеза, теория должна располагать собственными методами, которые дополняли бы моделирование и являлись бы теоретической базой при отыскании оптимального решения.
9 12.2. Корневой метод Наиболее простой корневой метод разработан Т, Н. Соколовым [85~. Сущность его сводится к слелугощему'. Пусть имеется характеристическое уравпени системы Р" + А 1Р" ц .... + А, = О. Й соответстиы с изложенным в Э 12 1 рассматривается з олзко задача получения приемлемых динамических качеств при заданном значении козффипиепта. т, с поглсппего члена характеристИческого уравнения. 346 Непрерывные линейные системы автоматического управления С точки зрения скорсйшсго затухания переходного процесса важно, чтобы вощсствснпыс части всех корней характеристического уравнения бьщи наиболыцими Сумма вещественных частей всех корней численно ранна первому коэффициенту характеристического уравнения (12.1).
Г!сеток>у цри заданной величине этого коэи>- фицисита иаивыгодпсйшис результаты получаются при равенство нещсствсинь>х частей всех корней. Однако расчеты и исследования построенных систем показывают, что стремление удоелстворить поставле иному требованию приводит к со вери ецио псреальным конструктивным характеристикам отдельных звеньев. Эти расчеты и исследования показыван>т, по из общего числа корней характеристического уравнения всегда можно выделить два или три корня с мсиыпсй по абсолк>гному значению вещественной частью, которые и опрслсляют ход основного прг>цесса, Остальные жс корни характеризуют быстро затуха>ощис составляющие, оказывающие влияние только па начальной стадии переходного процесса, Примем, что основной характер переходного процесса определяется двумя корнями, Тогда уравнение (12.!) удобно представить в виде -в С п.з„„С а„В (12.2) Второй сомпожитель (12.2) и будет определять основной характер процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
